e1 Zvi Bodie 投資學 v10: 21.5 布萊克-斯科爾斯公式應用

e1 Zvi Bodie 投資學 v10

21.5　布萊克-斯科爾斯公式應用

21.5.1　對衝比率與布萊克-斯科爾斯公式

在第20章中，我們考慮過對FinCorp股票的兩種投資：購買100股股票或者1000份看漲期權。我們看到看漲期權頭寸比全為股票頭寸對股票價格波動更為敏感。但是，為了更精確地分析股票價格的總體風險，有必要給這些相關敏感性定量。有一個工具使我們可以在總體上概括包含有不同行權價格和到期期限期權的資產組合的風險，即股票價格上漲1美元時期權價格的變化。因此，看漲期權的對衝比率為正值，看跌期權的對衝比率為負值。對衝比率（hedge ratio）通常被稱為期權的德爾塔（delta）。

如我們在圖21-9中對看漲期權所做的，如果畫出期權價值與股票價格的函數曲線，那麼對衝比率就是曲線在當前股票價格上的斜率。例如，假設當股票價格為120美元時，曲線斜率為0.6。當股票價格上升1美元時，期權價格近似增加0.6美元。

圖21-9　看漲期權價值與對衝比率

每出售1份看漲期權，就需要0.6股股票對衝投資者的資產組合。例如，某人出售10份看漲期權並且持有6股股票，根據0.6的對衝比率，股票價格上升1美元，股票收益增加6美元，而售出10份看漲期權則損失10×0.60美元，即6美元。股票價格變動沒有引起總財富變動，這就是對衝頭寸所要求的。

布萊克-斯科爾斯對衝比率非常容易計算。看漲期權的對衝比率是N（d₁），看跌期權的對衝比率是［N（d₁）-1］。我們將N（d₁）定義為布萊克-斯科爾斯公式的一部分，N（d）表示標準正態曲線中至d的區域面積。因此，看漲期權的對衝比率總是正值且小於1.0，而看跌期權的對衝比率總是負值且絕對值小於1.0。

從圖21-9中也可看出看漲期權價值函數的斜率小於1.0，只有當股票價格超過行權價格很多時，斜率才接近於1.0。這就告訴我們，當股票價格變化為1時，期權價格的變化要小於1，為什麼會這樣呢？假設目前期權處於實值，那麼期權肯定被執行。在那種情況下，股票價格上升1美元，期權價值也會上升1美元。但如果看漲期權到期時是虛值，即使股票價格經歷一定漲幅後，股票價格上升1美元也未必增加看漲期權的最後收益。因此，看漲期權價值不會相應地增加1美元。

對衝比率小於1.0的事實與我們前面觀察期權的槓桿作用與對股票價格波動的敏感性並不矛盾。儘管美元計量的期權價格變動要比股票價格變動小，但是期權收益率波動性卻遠比股票高，因為期權的價格較低。在我們的例子中，股票價格為120美元，對衝比率為0.6，行權價格為120美元的期權售價為5美元。如果股票價格上升至121美元，看漲期權價格預期增加0.60美元至5.60美元。期權價值增加百分比為0.60/5.00=12%，而股票價格漲幅僅為1/120=0.83%。百分比變動的比率為12/0.83=14.4。股票價格每上升1%，期權價格就上升14.4%。這一比率，即期權價格變動百分比與股票價格變動百分比的比值，稱為期權彈性（option elasticity）。

對衝比率是資產組合管理與控制中最基本的工具，例21-6將說明這一點。

【例21-6】對衝比率

考慮兩種資產組合，一種是持有750份IBM看漲期權和200股IBM股票，另一種是持有800股IBM股票。哪種資產組合對IBM股票價格波動的風險敞口更大？你可以利用對衝比率很容易地回答這個問題。

用H代表對衝比率，則股票價格每變動1美元，期權價格就會變動H美元。這樣，如果H等於0.6，股票價格波動時，750份期權就相當於750×0.6=450股股票。顯然，第一種資產組合對股票價格的敏感度要低，因為它相當於450股股票的期權再加上200股股票，要小於第二種資產組合的800股股票。

但是，這並不是說第一種資產組合對股票收益率的敏感度也較低。我們在討論期權彈性時知道，第一種資產組合的總價值可能低於第二種資產組合。因此從市場總價值來說，它的敏感度較低，但是它的收益率敏感度較高。因為一份看漲期權的市場價值要低於股票價格，所以其價格變化幅度要高於股票價格變動幅度，儘管它的對衝比率小於1.0。

概念檢查21-8如果股票價格為122美元，那麼行權價格為120美元，對衝比率為-0.4，售價為4美元的看跌期權的期權彈性為多少？

Excel應用：布萊克-斯科爾斯期權定價

下列電子數據使用布萊克-斯科爾斯模型對期權進行定價。輸入變量為股票價格、標準差、期權到期期限、行權價格、無風險利率和股利收益率。看漲期權定價用式（21-1），看跌期權定價用式（21-3）。對每個看漲期權和看跌期權，用經股利調整的布萊克-斯科爾斯公式替代S。該模型也可用來計算看漲期權和看跌期權的內在價值和時間價值。

該模型也用單向數據表顯示敏感性分析。第一個工作簿給出了看漲期權的分析結果，而第二個工作簿給出了看跌期權的分析結果。你可以在在線學習中心找到這些表格，網址是www.mhhe.com/bkm。

Excel問題：

1.將標準差改成0.25，運用表格中的參數求出看漲期權和看跌期權的值，每隻期權的值有什麼變化？

2.如果售價為9美元，隱含波動率是多少？

21.5.2　資產組合保險

在第20章中，我們已經知道，保護性看跌期權策略提供了一種資產保險。事實證明，投資者非常喜歡保護性看跌期權。即使資產價格下跌了，看跌期權依然被賦予以行權價格賣出資產的權利，這是一種鎖定資產組合價值下限的方法。平值看跌期權（X=S₀）的最大損失是看跌期權的成本。資產可以以X出售，與其初始價值相等，所以即使資產價格下跌，投資者在這段時間內的淨損失僅僅是看跌期權的成本。如果資產價格上升，潛在的空間卻是沒有限制的。圖21-10畫出了保護性看跌頭寸在標的資產價值P變動時的利潤與損失。

圖21-10　保護性看跌期權策略的利潤

保護性看跌期權是實現投資組合保險（portfolio insurance）的一種簡單方便的方法，它限制了資產組合在最壞情況下的收益率，但在對股票資產組合保險時，有一些實際的困難。首先，除非投資者的資產組合與看跌期權交易的市場指數相符，否則無法買到資產組合的看跌期權。其次，當用指數的看跌期權來保護非指數的資產組合時，會產生追蹤誤差。例如，如果市場指數上升，資產組合價值下跌，看跌期權將失去應有的保護作用。最後，交易期權的到期值可能不在投資者的意料範圍內。因此，相比使用期權策略而言，投資者更願意使用類似保護性期權收入的交易策略。

一個人們普遍接受的觀點是：即使想要的資產組合的看跌期權不存在，如果這種期權確實在交易的話，也可以通過理論上的期權定價公式（例如布萊克-斯科爾斯模型）來確定期權價格對資產組合價值的反應。例如，如果股票價格將來要下降，看跌期權價值會增加。期權定價模型可以量化這種關係。保護性看跌期權資產組合對股票價格波動的淨風險敞口是資產組合中兩個組成部分（股票和看跌期權）的風險敞口之和。淨風險敞口等於股票的風險減去看跌期權的風險。

通過持有一定數量的股票，且該股票對市場波動的淨風險敞口與保護性看跌期權頭寸相同，我們就可以構造“合成”的保護性看跌期權。這種策略的關鍵是期權的德爾塔，或者對衝比率，也就是標的股票資產組合價值的單位變化引起的保護性看跌期權價格的變化量。

【例21-7】合成的保護性看跌期權

假定現在一個資產組合的價值為1億美元。以該資產組合為標的物的看跌期權的德爾塔值為-0.6，意味著該資產組合價值每變動1美元，期權價值就朝相反方向變動0.6美元。假定資產組合價值減少了2%，如果存在看跌期權的話，合成的保護性看跌期權的利潤如下表（上表）所示（以100萬美元計）。

我們通過出售等於德爾塔值（即60%）的股票併購買等額的無風險短期國債，來構造合成的期權頭寸。基本原理是，看跌期權可以抵消股票資產組合價值變化的60%，所以可以直接出售60%的股票並將收入投資於無風險資產。6000萬美元投資於無風險資產（如短期國債）與4000萬美元投資於股票所組成的資產組合的利潤如右表（下表）所示（以100萬美元計）。

合成的和實際的保護性看跌期權頭寸具有同樣的收益率。我們的結論是，如果你出售等於看跌期權德爾塔值的股票，換成現金等價物，那麼你在股票市場的風險敞口等於想要的保護性看跌期權頭寸的風險敞口。

這種處理的困難在於德爾塔值經常改變。圖21-11表明，股票價格下跌，恰當的對衝比率將增大。因此，市場下跌時需要增加額外的對衝，也就是將更多的股票變為現金。不斷更新對衝比率被稱為動態套期保值（dynamic hedging，也稱為德爾塔對衝、動態對衝）。

圖21-11　對衝比率隨股票變化而變化

動態對衝是資產組合保險對市場波動性有影響的原因之一。市場下跌時，資產組合保險者努力增加對衝，從而導致額外的股票拋售。這些額外的拋售又會加劇市場的下跌。

在實踐中，當更新對衝頭寸時，資產組合保險者並不直接買入或者賣出股票。作為替代，他們通過買入或賣出股票指數期貨替代買賣股票使交易成本最小化。你將會在下一章中看到，在跨市場套利作用下，股票價格與指數期貨價格通常緊密相連，所以期貨交易就可以代替股票交易。保險者賣出相應數額的期貨合約來代替賣出基於看跌期權德爾塔值的股票數量。^[1]

1987年10月19日市場崩盤，有些資產組合保險人遭受了巨大的挫折，當時市場在一天之內約損失了20%。對當時所發生一切的詳細描述會讓你體會到看似簡單直接的對衝概念的複雜性。

·崩盤時市場波動性比以前更大。基於歷史經驗的看跌期權的德爾塔值過低，保險者未完全對衝，持有過多的股票，所以遭受了額外損失。

·價格變化太快使得保險者無法保持必要的再平衡。他們總是在不斷“追逐德爾塔”，卻總被甩開。期貨市場總是“跳空”開盤，並且開盤價比前一日收盤價低將近10%，在保險者更新他們的對衝比率之前價格就已經下跌了。

·操作問題更嚴重。首先，無法獲得當前的市場價格，伴隨著交易執行和行情報價延遲數小時，計算正確的對衝比率不再具有可能性。其次，有時股票交易與期貨交易會中止一段時間。市場崩盤時，連續再平衡的能力消失了，而這是可實施的保險項目所必需的。

·與股票價格相比，期貨按其正常價格水平時的折扣價交易，這使得賣出期貨（作為賣出股票的替代）的成本很高。儘管你在第22章中將看到股票指數期貨價格通常超過股票指數，但圖21-12表明10月19日的期貨價格遠低於股票指數。當一些保險者打賭期貨價格將恢復至保持對股票指數正常的升水，並選擇延遲出售時，他們就沒有完全對衝。隨著市場價格進一步下跌，他們的資產組合遭受了嚴重的損失。

圖21-12　每間隔15分鐘標準普爾500指數期間價差

注：期貨合約在12∶15~1∶05期間暫停交易。

儘管大多數觀察家認為，資產組合保險行業將永遠不會從市場崩盤中復甦，但是德爾塔對衝在華爾街仍然富有生命力。動態對衝依然被大公司廣泛地用來對衝期權頭寸的潛在損失。例如，華爾街實戰21-3表明，當微軟結束了它的員工股票期權計劃和摩根大通買入大量微軟員工持有的存量期權時，市場普遍預期摩根大通會根據德爾塔對衝策略賣出微軟公司股票來保護它的期權頭寸。

華爾街實戰21-3　摩根大通在微軟期權上擲骰子

微軟昨天表示計劃停止向僱員發行股票期權，而將向他們提供限售股。這種轉變在技術商業領域很容易被效仿。

儘管計劃的細節還不是很清晰，摩根大通有效地計劃從有限售股選擇權的微軟員工中購買股票期權。僱員股票期權可以看作補償金的一種形式，它賦予僱員把期權交換為公司股票的權利。

提供給僱員的期權價格大概比現在的市場價格低，這給摩根大通一個通過這筆交易創造利潤的機會。人們熟悉的投資策略是摩根大通可能在股票市場為它從微軟僱員購買的每一份期權做一個配對交易以對衝賭博風險並帶來邊際利潤，而不是持有期權，然後賭微軟股票價格會上升。

對於華爾街從事像這樣複雜的金融交易的專家來說，摩根大通與微軟的這筆交易背後的策略並非獨一無二或者極為精巧的。他們補充說摩根有幾種處理幾百萬美元微軟期權的方法。

例如，摩根可以通過賣出微軟的股票對衝期權頭寸。微軟是市場上最大市值的股票，並且它的股票最具有流動性，這意味著能夠很容易地對衝持有那些期權的風險。摩根大通也可以把期權賣給投資者，就像它對待銀團貸款一樣，於是分散了風險。

21.5.3　期權定價與2008~2009年的危機

默頓^[2]顯示了期權定價模型可以洞察2008~2009年的金融危機。瞭解其論點的關鍵是要記住，當銀行借給或購買有限責任公司的債務時，它含蓄地寫一個對借款人的選擇（見第20章的20.5節）。如果借款人有足夠的資產來償還到期的貸款，那麼它就會這樣做，並且貸款人將得到全額償還。但是，如果借款人有足夠的資產，它就可以宣佈破產，並通過將其所有權轉移給公司的債權人來履行義務。借款人轉移所有權來償還貸款的能力相當於以債權人的貸款面值“出售”本身的貸款。因此，這項安排就像是在公司內部的一個看跌期權，行使價等於貸款償還。

在貸款到期時（時間T），考慮貸款公司價值的函數V_T；在面值為L的貸款到期時，考慮支付給貸款人的收益。當V_T≥L時，貸款人全額付清，但是當V_T<L時，借款人得到公司，即低於承諾的收益L。

我們可以用一種強調隱含的方式來寫下收益：

式（21-4）表明，貸款的回報率等於L（當公司有足夠的資金償還債務），減去看跌收益對於公司的價值V_T，行權價格為L。因此我們可以認為風險貸款是一種組合的安全貸款，擔保收益為L，加上一個看跌期權借款人的短期頭寸。

當公司銷售信用違約掉期合同時（見第14章的14.5節），隱含的看跌期權更為清晰。在這裡，信用違約掉期的賣方同意彌補由於債券發行人破產所帶來的任何損失。如果發行人破產，那麼就只給債權人留下了價值為V_T的資產，信用違約掉期的賣方有義務彌補（L-V_T）的差額，這在本質上是一個純粹的看跌期權。

圖21-13　隱含期權價值在貸款擔保中的價值（貸款期限為1年，公司價值的標準差為40%，無風險利率為6%）

現在想一想，這些內幕的曝光，使公司的財務狀況發生了變化。看跌期權的價值如圖21-13所示。當公司金融狀況良好時（比如，V的值遠遠大於L），曲線的斜率幾乎為0，由此表明關於借款公司的價值，隱性期權賣出者幾乎沒有任何曝光。例如，當公司的價值是其債務價值的1.75倍時，圖中期權價值曲線的切線斜率只有-0.040。但如果對經濟有很大的衝擊，而且公司價值下跌，那麼不僅內含期權的價值上升，且其斜率變得陡峭，這意味著對未來股票的曝光將比現在更大。當公司價值僅為貸款金額的75%時，曲線斜率變得陡峭，為-0.644。你可以看到，當你越來越接近懸崖的邊緣時，它變得越來越平滑。

我們經常聽到人們說，金融危機對資產價值產生的巨大沖擊為10-西格瑪事件。他們的意思是說，這樣的事件非常極端，與預期值相差了10個標準差，這樣的結果幾乎是難以想象的。但這一分析表明，標準差可能是一個變動的目標，隨公司價值減少而急劇增加。在經濟不穩定的情況下，再次投資期權，他們對進一步衝擊的敏感性增加，更糟糕的結果可能就在眼前。內置不穩定的風險敞口使得像危機這樣的情景更加合理，同時在我們低估一個極端情況並認為其“幾乎不會發生”時，給予我們警告。

21.5.4　期權定價與投資組合理論

我們剛剛看到期權的定價模型預測出安全風險特徵是不穩定的。例如，隨著公司實力的減弱，其債務的風險可以迅速增大。因此，隨著公司財務狀況惡化，股權風險也會急劇變化。我們從第20.5節可以看出，槓桿企業的股權就像是公司價值中的看漲期權。如果公司的價值超過公司到期債務的價值，該公司可以選擇償還債務，從而保留公司價值和債務面值之間的差異。如果沒有，該公司可以拖欠貸款，把公司移交給他的債權人，而股權持有人則什麼都得不到。從這個意義上來講，股權是一種看漲期權，而公司的總價值是基礎財產。

在第21.5節中，我們看到期權的彈性是用來衡量其收益率對於基礎資產回報率的敏感程度的。例如，如果看漲期權的彈性為5，其回報率將為基礎資產收益率的5倍。這意味著期權的β值和標準偏差是標的資產的β值和標準差的5倍。

因此，在編制一個有效的投資組合的“輸入清單”時，我們不妨將股權作為一種隱含期權，並計算其彈性與公司的總價值。例如，如果公司的資產與其他證券的協方差是穩定的，那麼我們可以使用彈性來找到該公司的股票與這些證券的協方差，這將使我們能夠計算β值和標準差。

不幸的是，彈性本身就是變化的。隨著公司實力的減弱，其彈性將會迅速增加。圖21-14使用布萊克-斯科爾斯模型來描繪看漲期權的彈性關於基礎股票價值的函數。注意，當期權越來越不值錢時（股票價格跌至100以下），彈性迅速增加，並且沒有限制。同樣，隨著企業接近破產（企業資產的價值低於債務的面值），股權彈性開始萌芽，即使很小的財務狀況變化都有可能導致風險的巨大變化。當公司健康發展時，彈性是更加穩定的（更加接近1），即隱含看漲期權很值錢。同樣，對於健康的公司來講，股票的風險特徵更為穩定。

圖21-14　看漲期權彈性隨股票價格波動（參數：σ=0.25，T=0.5，r=0.06，X=100）

21.5.5　對錯誤定價期權的對衝賭博

假定你認為IBM股票收益在未來幾周的標準差為35%，但是IBM股票看跌期權的售價卻與33%的波動率相一致。因為看跌期權隱含波動率比你對該股票波動率的預測值要低，所以你認為該期權價格被低估。利用你掌握的像布萊克-斯科爾斯模型這種期權定價模型對波動率的估值，你可以得出看跌期權公平價格超過其實際價格。

這是否意味著就該買入看跌期權呢？也許可以，但如果IBM股價表現非常好，即便對波動率的估計是正確的，這筆投資仍將面臨虧損。你希望將對波動性的賭博和買入看跌期權附帶的對IBM股價下跌的賭博分離。換言之，你只不過是想通過買入低估的看跌期權來投機期權錯誤定價部分，卻將自己置身於IBM股價表現的風險敞口。

期權的德爾塔可用一個對衝比率來表示。德爾塔被定義為：

因此，德爾塔是期權定價曲線的斜率。

這個比率確切地告訴我們，為了抵消購買IBM股票的風險，必須持有多少股股票。例如，如果德爾塔是-0.6，對衝每一份期權我們需要持有0.6股股票。如果我們購買10份期權合約，每份合約100股，則我們需要購買600股股票。如果股票價格上升1美元，每份看跌期權價值就會減少0.60美元。但是，看跌期權的損失就會被持有股票得到的收入1×600=600美元所補償。

為了說明這種策略如何獲得利潤，讓我們來看下面的例子。

【例21-8】錯誤定價期權投機

假定期權期限T為60天，看跌期權價格P為4.495美元，行權價格X為90美元，股票價格S為90美元，無風險利率為4%。我們假定在未來60天裡股票不支付股利。給定這些數據，期權的隱含波動率是33%，正如我們所假定的。但是，你認為真正的波動率應該是35%，意味著看跌期權的公平價格是4.785美元。因此，如果市場對該波動率的估值調整到你所認為是正確的值時，你的利潤就是每一份看跌期權0.29美元。

回想一下看跌期權的對衝比率，即德爾塔，等於［N（d₁）-1］，其中N（·）是累積的正態分佈函數，且

你估計σ=0.35，對衝比率N（d₁）-1=-0.453。

因此，假定你購買了10張期權合約（1000份看跌期權），併購買了453股股票。一旦市場“追上了”你估計的波動率水平，看跌期權價值就會增加。如果市場對波動性的估計在你購買這些期權之後立即改變，則你的利潤等於1000×0.29=290美元。當然，股票價格的任何變動都會對期權價格造成影響，但是對衝比率選擇是合適的，則這部分風險就可以被消除。你的利潤應該僅是基於看跌期權隱含波動率變動帶來的影響，而股票價格帶來的衝擊已經被對衝掉了。

假定看跌期權價格變化反映了你對波動率的估計，表21-4表明你的利潤是股票價格的函數。表21-4b表明就看跌期權而言，它的利潤或損失取決於股票價格的上升或下降。但是，我們從表21-4c中可以看出，不管股票價格如何變化，每一個對衝的看跌期權提供的利潤基本上都等於最初價格錯估部分。

表21-4　對衝的看跌期權資產組合的利潤

注意例21-8中，利潤並非完全獨立於股票價格。這是因為隨著股票價格的變化，用來計算對衝比率的德爾塔也隨之變化。原理上，對衝比率隨德爾塔的變化而不斷調整。德爾塔對股票價格的敏感度稱為該期權的伽瑪（gamma）。期權伽瑪類似於債券的凸性。在這兩個例子中，價值函數的曲率意味著對衝比率或久期隨市場條件變化而變化，使得再平衡成為對衝策略的一個必要部分。

概念檢查21-9

假定你在賭波動率時購買看漲期權而不是看跌期權，那麼你會如何對衝股票價格波動帶來的風險敞口？對衝比率是多少？

例21-8中策略的一個變體是跨期權投機。假定你觀察到期限為45天的IBM看漲期權，行權價格為95，出售價格與波動性σ=33%的期權一致，而另一個期限為45天，行權價格為90的看漲期權，其隱含波動率僅為27%。因為標的資產和到期期限都是等同的，你就得出結論，具有高隱含波動率的看漲期權價格被高估了。為了利用這個價格錯估，你可以購買便宜的看漲期權（行權價格為90，隱含波動率為27%）並賣出貴一點的看漲期權（行權價格為95，隱含波動率為33%）。如果無風險利率是4%，IBM股票價格為每股90美元，則購買的看漲期權定價為3.6202美元，賣出的看漲期權定價為2.3735美元。

事實上，儘管你既是一個看漲期權的多頭又是另一個看漲期權的空頭，但這種策略並沒有對衝掉IBM股票價格不確定性帶來的風險敞口。這是因為行權價格不同的看漲期權對標的資產價格變動的敏感度不同。較低行權價格的看漲期權具有較高的德爾塔，因此對IBM股票價格的風險敞口更大。如果在這兩種期權上你持有相同數量的頭寸，就不可避免地建立了IBM股票的牛市頭寸，因為你購買的看漲期權的德爾塔高於你賣出看漲期權的德爾塔。事實上，回想一下第20章，這個資產組合（買入較低行權價格的看漲期權並賣出較高行權價格的看漲期權）稱為牛市價差套利。

我們可以利用對衝比率來建立一個對衝頭寸。考慮你賣出的是行權價格為95的期權，你用它們對衝你買入的行權價格為90的看漲期權的風險敞口。於是，對衝比率為：

為了對衝你購買的每個較低行權價格的看漲期權，你需要賣出較高行權價格的看漲期權的數量大於1。因為具有較高行權價格的看漲期權對IBM股票價格敏感度較低，所以需要更多數量的股票來抵償風險敞口。

假定該股票真正的年波動率介於兩個隱含波動率之間，比如σ=30%。我們知道看漲期權的德爾塔是N（d₁）。因此，這兩個期權的德爾塔和對衝比率就可以這樣計算：

行權價格為90的期權：

行權價格為95的期權：

對衝比率：

因此，每購買1000份行權價格為90的看漲期權，我們需要賣出1589份行權價格為95的看漲期權。利用這種策略，我們就可以對兩種期權的相對錯誤估價打賭，而不用持有IBM股票的頭寸。表21-5a表明該頭寸會產生151.30美元的現金流。賣出看漲期權的權利金收入超過了購買看漲期權花費的成本。

表21-5　德爾塔中性期權資產組合的利潤

當你在股票和期權上建立了一個頭寸，該頭寸根據標的資產價格的波動進行了對衝時，你的資產組合就被稱為德爾塔中性（delta neutral）。這就是說當股票價格波動時，該資產組合的價值既沒有上漲趨勢也沒有下跌趨勢。

檢查我們的期權頭寸，會發現其實就是德爾塔中性。假定這兩個期權的隱含波動率在剛建立頭寸之後又重新調整，兩個期權都按30%的波動率定價。你預期從買入的看漲期權價值的增加以及賣出的看跌期權價值的減少中獲得利潤。表21-4b給出了波動率為30%時期權的價格，表21-4c給出了不同股票價格下頭寸的價值。儘管每份期權的利潤或損失都受股票價格的影響，但是德爾塔中性期權組合的價值卻是正的，並且本質上獨立於IBM股票的價格。再者，我們可以從21-4a中看出建立這樣的資產組合並不需要現金支出。無論是在建立資產組合時，還是在隱含波動率收斂於30%後平掉頭寸時，你都會有現金流入。

之所以出現這種不尋常的利潤機會是因為你認識到了價格的偏離。如果價格處於均衡水平，這種機會就不會發生。通過德爾塔中性策略來利用價格差異，不管IBM股票價格如何變化，你都可以獲得利潤。

德爾塔中性策略也會遇到一些實際問題，其中最重要的困難就是準確估計下一個時期的波動率。如果波動率的估計是不準確的，則德爾塔也不準確，那麼總的頭寸就不會被完全正確地對衝。再者，如果波動率隨時間變化，期權或期權加股票頭寸通常不再是中性的。例如，用股票對衝的看跌期權可能是德爾塔中性的，但不是波動率中性的。即使股票價格保持不變，市場波動率的變化也會影響期權價格。

這些問題很嚴重，因為波動率的估計不是完全可靠的。首先，波動率不能被直接觀察到而必須從歷史數據中估計，應用於未來時就存在計量誤差。其次，我們已經看到歷史的和隱含的波動率都隨時間而變化。因此，我們總是瞄準一個移動的目標。儘管德爾塔中性頭寸對衝了標的資產價格的變化，但是它仍然面臨波動率風險，該風險來自波動率的變化不可預測。期權價格變化對波動率變化的敏感度稱為期權的引申波幅敏感度（vega）。這樣，儘管德爾塔中性頭寸能夠對衝掉標的資產價格變化帶來的風險敞口，但是並不能消除波動率風險。

[1] 但是，需要注意指數期貨的使用又引入了資產組合與市場指數之間的跟蹤誤差問題。

[2] 這一資料來源為羅伯特·默頓2009年3月在麻省理工學院的一個演講，你可以在http://mitworld.mit.edu/video/659網站上找到這一演講內容。