附錄F
美式期權定價

對於美式期權進行定價，我們需要將期權的期限分成n個等份，每一個等份的長度為Δt。假設資產在時間開始的價格為S，在Δt時間後，S上漲為Su的概率為p，S下降為Sd的概率為1-p，對於不提供中間收入的資產，變量u、d及p分別為

其中

a = e^rΔt

r為無風險利率，σ為波動率。

圖F-1顯示了一個期限為5個月的美式看跌期權的定價二叉樹，這裡的標的資產為某不付股息的股票，股票的當前價格為50，期權的執行價格為50，無風險利率為10%，波動率為40%，在二叉樹中總共有5步，Δt=0.083 3，u=1.122 4，d=0.890 9，a=1.008 4，p=0.5073，圖中每一個節點上部所對應的數值為股票價格，節點下部所對應的數值為期權價格。

在二叉樹最終端期權價格為期權的內含價格（intrinsic value）。例如，在節點G上，期權價格為50-35.36=14.64。在到期之前的每一個節點，我們假定期權持有者會將期權持有到下一個時間Δt，並且持有者會驗證提早行使期權是否會為最優。首先讓我們考慮節點E，如果期權會被持有到下一個時間段，如價格上漲時（對應概率p），期權價格為0；如價格下跌（對應概率為1-p）時，期權價格為5.45，期權價格的期望為0.507 3×0+0.492 7×5.45，即2.686，利用10%利率進行貼現，對應於節點E的期權期望值的貼現為2.66。因此期權在E點不應該被得以行使，因為這樣做所得回報為0。接下來考慮節點A，假定期權仍然會持有到一個時間段，通過一個類似的計算我們可以得出期權在A點的價格為9.90，如果期權在這一時刻得以行使，回報值為50-39.69=10.31，這時期權在A節點應該被提前行使，因此期權在A節點的價格為10.31。

從二叉樹的最終端開始以後退的形式繼續計算，在到達初始節點D時，我們得出的期權價格為4.49。當我們採用的二叉樹步數增大時，期權價格的精度也增大，利用30、50及100步的二叉樹，我們得出的期權價格分別為4.263、4.272及4.278。

為了計算delta，我們考慮在Δt時的兩個節點，在我們的例子中，從低位節點轉移到高位節點時，期權價格變化由6.96變為2.16，相應的股票價格由44.55變為56.12，因此delta的近似值為期權價格的變化除以股票價格的變化

為了計算gamma，我們考慮在2Δt時刻的三個節點，由樹的上半部分兩個節點（C及F）所計算的delta為-0.241，這一delta所對應的股票價格近似為（62.99+50）/2=56.49，由樹的下半部分兩個節點（B及C）所計算出的delta為-0.639，這一delta所對應的股票價格近似為（50+39.69）/2=44.84，因此gamma的近似值為期權delta的變化除以相應股票價格的變化

由D及C節點我們可以估計出

即-4.30（每年）。以上數量對得出每個日曆天所對應的theta為-0.011 8。vega的估計可以通過加大波動率、重新構造新的二叉樹並計算新的期權價格來取得，rho的計算方式和vega類似。

如果標的資產的中間收入的收益率為q，以上計算方式除了a=e^（r-q）Δt（而不是e^rΔt）以外，其他計算過程完全相同（當標的資產是外匯時，q等於外國的無風險利率）。當期權標的資產為期貨或遠期價格時，a設為1，二叉樹各節點可顯示出期貨或遠期的價格。以上我們描述的過程可利用軟件RMFI來實現，這一軟件可在作者的網頁上下載。在軟件中選擇“期權類型：二叉樹美式期權”（Option Type：Binomial American）。在赫爾（2018）關於衍生產品定價的著作中有關於美式期權定價的更詳細描述。^[1]

[1] See J. C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 10th ed. (Upper Saddle River, NJ: Pearson, 2018).