華章教材經典譯叢

風險管理與金融機構（原書第5版）

Risk Management and Financial Institutions (Fifth Edition)

（加）約翰·赫爾（John C. Hull）　著

王勇　董方鵬　張翔　譯

ISBN：978-7-111-67127-5

本書紙版由機械工業出版社於2021年出版，電子版由華章分社（北京華章圖文信息有限公司，北京奧維博世圖書發行有限公司）在 中華人民共和國境內（不包括香港、澳門特別行政區及臺灣地區）製作與發行。

版權所有，侵權必究

客服熱線：+ 86-10-68995265

客服信箱：service@bbbvip.com

官方網址：www.hzmedia.com.cn

新浪微博 @華章數媒

微信公眾號 華章電子書（微信號：hzebook）

本書側重講述銀行和其他金融機構所面臨的風險，首先從風險與回報的替代關係入手，逐步深入地討論了市場風險、信用風險和操作風險等。在討論基礎風險類型的同時，本書還用大量篇幅討論了《巴塞爾協議Ⅲ》，並列舉了近年來發生在金融界的重大損失案例。此外，本書章後習題能幫助學生進一步理解概念、掌握操作程序及流程。

本書適合金融專業以及相關經濟專業的師生作為教材使用，也適合作為專業人士的參考用書。

譯者序　The Translators' Words

一本好書可以改變你的人生方向，助你成就事業。約翰·赫爾教授的著作對於金融從業者，尤其是對於金融衍生產品以及風險管理領域的從業者，有著持續、廣泛而深入的影響。對這種影響，我們三位譯者有著切身的體會。儘管前後相差數年，但我們都是循著赫爾教授的著作，先後跨進了金融業的大門。時至今日，在我們的日常工作中，他的著作仍在很多方面時時影響、幫助著我們。在當前信息爆炸的時代，找書讀似乎變得異常容易，但事實上，尋覓一本好書卻更加困難了。赫爾教授的這本《風險管理與金融機構（原書第5版）》無疑是金融風險管理類著作中的精品。

本書內容深入淺出，作者巧妙地避免了枯燥地講述金融學中常見的數學理論、定理和公式，而是將它們與業務直觀的、具體的例子結合在一起。本書可以作為高校金融專業的教材，在傳授知識之餘，更能幫助學生開拓思維並學以致用。特別是作者對書中所列舉的業界事例（Business Snapshot）及其借鑑意義的透徹分析，會成為金融專業畢業生進入風險管理領域的敲門磚。書中的練習題以及作業題會幫助學生進一步理解概念並掌握操作流程。我們相信本書會成為高校學生的良師益友。

我們對於很多術語的翻譯，力求做到與國內業界普遍採用的術語保持一致；對一些較新出現的概念，我們在給出自己的翻譯的同時，還保留了英文原文，以避免不必要的誤解。同時，對本書之前版本中的錯誤和筆誤，我們也竭力進行了排查和糾正。

在本書的翻譯過程中，我們的家人給予了巨大的支持、體諒和關懷，對此，我們銘記在心。我們還得到了許多人的熱情幫助，他們分別是歐伊露、黃昕和沈佳磊，在此我們向他們表示感謝。

我們還要特別感謝機械工業出版社華章分社的編輯，他們對於本書的翻譯提供了幫助，並對譯稿提供了寶貴的意見及建議。本書的中文翻譯肯定會有不盡如人意之處，衷心希望讀者批評和指正。

王勇　董方鵬　張翔

作者簡介　About the Author

約翰·赫爾　衍生產品及風險管理教授。他是一位享有國際盛譽的金融學教授，現任職於多倫多大學約瑟夫·羅特曼管理學院，關注的領域側重於應用。他曾在衍生產品以及風險管理領域出版過多本著作，發表過多篇文章。1999年，他被國際金融工程師協會（International Association of Financial Engineers）評為“年度金融工程大師”（Financial Engineer of the Year）。他曾為北美、日本和歐洲的多家金融機構提供金融諮詢。赫爾教授曾榮獲多項大獎，其中包括多倫多大學著名的Northrop Frye教師大獎。

譯者簡介　About the Translators

王勇　博士，國家千人計劃專家，上海市千人計劃專家，現任天風證券首席風險官和首席信息官，曾任光大證券首席風險官、加拿大皇家銀行風險管理部董事總經理。王勇博士持有加拿大達爾豪斯大學數學博士以及特許金融分析師（CFA）和金融風險管理師（FRM）證書。

王勇博士著有《金融風險管理》（升級版），並且翻譯了《期權、期貨及其他衍生產品》《區塊鏈：技術驅動金融》《數字化金融》《商用機器學習》《金融數智化未來》等多部頗具影響力的著作。

董方鵬　博士，現任加拿大皇家銀行資本市場量化分析總監。他曾任職於加拿大皇家銀行市場風險部、蒙特利爾銀行、德勤等機構，從事金融工程、衍生產品定價、風險管理、數據分析等工作。董方鵬博士是註冊金融風險管理師（FRM），他曾與王勇博士合作翻譯了《風險管理與金融機構（原書第4版）》和《價值投資：原理與實踐》。

張翔　博士，副教授，現任西南財經大學大數據研究院副院長、博士生導師，中國系統工程學會金融系統工程專業委員會委員、中國通信學會金融科技委員會委員、中國金融四十人論壇（CF40）青年會員、四川省天府萬人計劃專家。他曾任美國加州大學伯克利分校哈斯商學院訪問教授。他的主要研究方向為資產定價、金融風險管理以及金融大數據在衍生產品市場、量化投資與監管創新中的應用。

前言　Preface

在過去3年中，金融機構的風險管理實踐及其面臨的監管要求都在不斷變化，為了反映這些變化，我在《風險管理與金融機構》一書的新版中，對於相應的內容進行了擴充和更新。該書和我的另外一本暢銷書《期權、期貨及其他衍生產品》^[1]（Options, Futures,and Other Derivatives）一樣，其目的是為風險管理從業人員和相關專業學生提供幫助，準備FMA和PRM考試的專業人士會發現這本書尤其有用。

本書可用作風險管理或金融機構課程的教材，學生在選修以本書為教材的課程之前，無須先修有關期權和期貨市場的課程，但如果學生確實已經學過這類課程的話，那麼本書前9章的某些內容在課程中就可以跳過。

在對書中的內容進行擴充時，為了使盡量多的讀者讀懂本書，我儘量做到深入淺出，盡力降低書中數學知識內容的複雜度。例如,在第11章中講述Copula函數內容時，我首先將Copula這個概念直觀化，然後舉出一個較為詳細的數值例子；在第10章中講述極大似然方法以及在第13章中講述極值理論時，我儘可能給讀者提供詳盡的數值例子，以使讀者可以根據這些例子開發出自己的Excel表單。我也提供了很多相關應用的Excel計算表單，讀者可以從我的網站www-2.rotman.utoronto.ca/～hull上下載。

本書的主題是風險管理，因此涉及衍生產品定價的內容比較少（這是我的另外兩本書《期權、期貨及其他衍生產品》和《期權與期貨市場基本原理》^[2]（Fundamentals of Futures and Options Markets）的主要內容）。但在本書後面的附錄中，我會簡要描述一些在風險管理實踐中有重要意義並與定價相關的重點內容，這其中提到的RMFI（1.00版本）軟件可以從我的網站上下載。

本版新增的內容

我對第5版的內容做了全面的更新，更新內容中包含了許多嶄新的內容，特別是：

（1）新增了一章講述金融創新（第28章）。

（2）新增了一章講述對場外衍生產品市場的監管（第17章），包括已清算和未清算的交易，同時還解釋了什麼是標準初始保證金模型（SIMM）。

（3）重寫了第18章關於交易賬戶基本審查（FRTB）的部分，以便提供更完整的描述並反映最新的變化。

（4）重寫了第14章關於運用模型構建方法估計在險價值和預期虧空的部分，以更好地反映市場變量對利率的反應，以及在SIMM和FRTB下使用模型構建的方法。

（5）重寫了第23章關於操作風險的部分，以反映這方面的監管發展。

（6）重寫了第25章關於模型風險管理的部分，不僅僅涵蓋了估值模型，還包括諸如SR11-7之類的監管要求。

（7）在本書的不同章節中，還介紹了諸如IFRS 9和SA-CCR等監管的最新發展。

幻燈片

在我的個人網站或Wiley高教（Wiley Higher Education）網站上，讀者還可以下載數百張幻燈片。歡迎採用本書的教師對這些幻燈片進行適當修改，以用於教學。

問題解答

每章最後的問題被分為練習題（Practice Questions and Problems）和作業題（Further Questions）兩組，並在本書的最後為練習題提供瞭解答。對於作業題及相關軟件，採用本書的教師可以從Wiley高教網站上獲取解答手冊。

教師手冊

Wiley高教網站還為採用本書作為教材的教師提供了教學手冊，其中包括作業題的答案以及相關的Excel工作表、對每章教學內容的註解和對課程組織的一些建議。

鳴謝

在本書的寫作過程中，許多人提供了幫助，我在此表示感謝。在與許多學術界及金融風險管理從業者的交流中，我受益匪淺。我要感謝選修我在多倫多大學MBA和金融碩士項目中開設的金融風險管理課程的學生，這些學生提出了很多有益的建議，這些建議使得本書內容更加完善。

我要特別感謝我在多倫多大學的同事艾倫·懷特（Alan White）教授，艾倫和我在一起共事了大約30年。在此期間，我們在衍生產品以及風險管理方面有許多合作研究，同時我們也一起給其他機構提供過許多諮詢服務。在這個過程中，我們花了大量的時間共同探討一些關鍵性問題。本書中的很多新想法以及用來解釋已有概念的新方法是艾倫和我共同擁有的，艾倫還是RMFI軟件的主要開發者。

我還要特別感謝Wiley出版社的許多工作人員，尤其是本書編輯Bill Falloon、Mike Henton、Kimberly Monroe-Hill、Judy Howarth和Steven Kyritz。我衷心感謝他們給予的熱情幫助，非常感謝他們提供建議和鼓勵。

歡迎讀者對本書提出建議，我的e-mail地址是：hull@rotman.utoronto.ca。

約翰·赫爾
多倫多大學約瑟夫·羅特曼（Joseph L.Rotman）管理學院

[1] 中文版已由機械工業出版社出版。——譯者注

[2] 中文版已由機械工業出版社出版。——譯者注

第1章
引言

假如你是一家大公司的首席風險官（Chief Risk Officer，CRO），公司首席執行官（CEO）想了解你對一個項目的看法。呈現在你面前的大量風險報告顯示這個項目的當前價值為正，同時該項目也會提升股價，那麼公 司CEO想從你這裡得到什麼樣的分析和建議呢？

作為CRO，你需要考慮的是如何將該項目融入公司現有投資組合之中，找出該項目與公司其他業務的關係。你要回答當公司的其他業 務表現欠佳時，該項目的回報^[1]是會同樣變得很差，還是會在其他業務上下波動時，起到抑制震盪的 作用。

公司為了生存發展必須承擔風險，風險管理部門的主要責任就是要了解公司現有業務組合的風險以及將來發展計劃可能帶來的風險，風 險管理部門必須判別當前持有業務的風險是否可以接受。如果風險不能接受，則應提出相應的解決措施。

本書主要是討論銀行以及其他金融機構的風險管理方法，當然，我們在此將要討論的很多想法和方法也同樣適用於其他行業。在過去幾 十年中，風險管理在所有企業的管理行為中變得越來越重要。尤其金融機構發現自己必須加強對風險管理的投入。如果銀行能夠建立較為完善的交易數據管理流程，那麼 諸如1995年巴林銀行（Barings Bank）、2002年愛爾蘭聯合銀行（Allied Irish Bank）、2007年法國興業銀行（Société Générale）及2011年瑞銀（UBS）等因為無賴交易員（rogue trader）所造成的重大金融損失則完全可以避免。如果風險管理人員確實能做到說服公司高管拒絕承擔那些不可接受的風險，類似花旗集團（Citigroup）、瑞銀、美 林（Merrill Lynch）在次債危機中的損失也許可以大大降低。

本章的主要目的是為我們今後將要闡述的問題介紹背景知識。在本章的開頭，我們將對投資者的股票以及債券組合中風險-回報的替換 關係這些經典理論進行回顧，然後討論這些經典理論是否也適用於一些新項目的判別，以及這些經典理論是否可用於管理風險頭寸。在本章的最後，我們將給出幾個原因 來說明公司（特別是銀行）應注重管理自身面臨的整體風險，而不只是關心那些已經做到風險分散的投資者所看到的風險。

[1] return，也稱收益。——譯者注

1.1　投資者的風險-回報關係

所有的基金經理都知道，投資時風險和回報之間有一個替換關係：風險越大，可能實現的回報越高。事實上這種替換關係介於風險和預 期回報之間，而並非風險與實際回報之間，“預期回報”一詞有時會使人產生誤解，在日常生活中“預期”一詞通常被理解為非常可能發生的事情，但統計學家卻將某一 變量的預期值定義為其平均值。因此預期回報是指對投資回報的加權平均，這裡的權重對應於這一投資回報所出現的各種可能的概率。可能的回報及相應的概率可以從歷 史數據中估計，或者通過主觀估計。

表1-1　將10萬美元資金投資於股票在1年後所得的回報

例如，假定你用10萬美元資金進行投資，投資期限為1年。一種可能是將所有資金投資於國債，其相應的年回報率為5%^[1]， 此項投資無風險，但預期回報率只有5%。另外一種可能是將所有資金投入某隻股票。為簡單起見，我們用表1-1來顯示該股票各種可能的回報以及相對應的概率。表 中回報率+50%所對應的概率為0.05，回報率+30%出現的概率為0.25，其他不同的回報率以及概率在表中均有顯示。將回報率記為小數點形式，股票的預 期回報率為

0.05×0.50+0.25×0.30+0.40×0.10+0.25×（-0.10）+0.05×（-0.30）=0.10

計算結果顯示，當你願意承擔一定的風險時，投資的預期回報率可以由投資國債的5%提高到10%。如果投資一切順利，你的回報也 可能達到+50%，但如果投資不順利，也可能是-30%，其相應損失為3萬美元。

馬科維茨（Markowitz，1952）是研究投資風險-回報替換關係的先驅之一，後來夏普（Sharpe，1964）及其 他人以馬科維茨理論為基礎，進一步發展了資本資產定價模型（capital asset pricing theory）。資本資產定價模型顯示了預期回報和系統性風險的關係。1976年，羅斯（Ross）發表了風險套利定價理論（arbitrage pricing theory），這一理論將資本資產定價理論中單一系統性風險假設延伸到多系統性風險。這些頗具洞察力的理論研究成果對投資組合管理人理解和分析風險-回報關係產生了巨大 影響，在下一節中我們將回顧這些重要理論。

1.1.1　風險量化

當你選定某一投資後，如何將所面臨的風險進行量化呢？一種便捷的方式是將風險量定義為年回報率的標準差，也就是

其中R指年回報率，E為 預期符號，E（R）代表年回報率的期望值。由表1-1可 知，我們可以算出E（R）為0.1。為了計算E（R²），我們必須以概率為權重對回報率的平方進行 加權平均：

E（R²）=0.05×0.50²+0.25×0.30²+0.40×0.10²+0.25

×（-0.10）²+0.05×（-0.30）²=0.046

故年回報率的標準差為， 即18.97%。

1.1.2　投資機會

假定用期望值及標準差來描述完全不同的投資機會，我們可以用圖1-1來表示具有不同風險的投資可能，其中橫軸表示回報率的標準 差，縱軸表示預期回報。

圖1-1　具有不同風險的投資資產

當得出某些投資回報率的標準差以及預期回報後，我們自然會想如果將這些投資進行不同的組合又會產生什麼效果呢？假設兩種投資資 產的回報率為R₁和R₂，如果我們按w₁的 比例投入第一種資產，按w₂=1-w₁的比例投入第二種資產，這樣所產生的投資組合的回報率為

w₁R₁+w₂R₂

投資組合的預期回報為

μ_P=w₁μ₁+w₂μ₂

（1-1）

其中μ₁為第一 種資產的預期回報，μ₂為第二種資產的預期回 報。投資組合回報率的標準差為

其中σ₁與σ₂分別為R₁和R₂的 標準差，ρ是R₁和R₂的相關係數。

假定μ₁為 10%，σ₁為16%，μ₂為15%，σ₂為 24%；R₁和R₂的相關係數為0.2。表1-2顯示出在不同比例投資下投資組合的預期回報以及回報率的標準差。以不同比 例投資於兩種資產會給投資者帶來範圍廣泛的回報組合，圖1-2是其圖形顯示。

表1-2　由兩種投資資產構成的投資組合的預期回報以及回報率的標準差

注：兩種資產的預期回報分別為10%及15%，回報率的標準差分別為16%及24%，兩種資產回報的相關係數為0.2。

大多數投資者都厭惡風險（risk-averse），他們希望在增加預期回報的同時也減少回報率的標準差，體現在圖1-1及圖 1-2中，他們希望自己的投資回報曲線朝“西北”（左上角）方向移動。從圖1-2中我們可以看到，對兩種投資進行不同的組合可以幫我們達到目的。例如，在第一 種資產中投入60%的資金，而在第二種資產中投入40%的資金，這樣做投資的預期回報率可以達到12%，其所對應的回報率的標準差為14.87%。這種組合比 只投資於第一種資產的效果要好（預期回報提高了2%，而回報率的標準差降低了1.13%）。

圖1-2　表1-2計算出的兩種資產構成的投資組合的不同的風險-回報

[1] 這一數值比較接近歷史平均值，但顯著高於2008年以來美國國債及其他一些國債的收益率。

1.2　有效邊界

在這裡我們引入第三種投資資產。這種資產可同前面的兩種資產進行任意組合，這樣做可以進一步產生不同的風險-回報組合，使我們 的投資回報率進一步往“西北”方向移動。在這之後我們又可以引入第四種資產，而這第四種資產又可以同前面3種資產進行不同的組合而產生新的投資機會，我們繼續 這一過程，當我們考慮了所有由圖1-1所顯示的風險投資資產以後，我們就可以構造出所謂的有效邊界（efficient frontier）。在圖1-3中，有效邊界是我們的回報曲線朝西北方向移動的極限。對應有效邊界的任意一點，我們不可能找到某種投資會比其更優化。這句話是 指我們不可能會找到某一資產投資回報比有效邊界的點所對應的投資回報更高，而同時所對應的標準差更低。圖1-3中有效邊界的東南方向代表所有不同的投資可能， 對應於有效邊界的“東南”（右下角）方向的任何一點A，我們都可以在有效邊界中找到一點並使其風險-回報替 換關係比所對應的點A的風險-回報替換關係更好。

圖1-3　由具有不同風險的投資資產所產生的有效邊界

在圖1-3中我們只考慮了具有風險的投資。如果引入所有可能投資的話，那麼有效邊界又會變成什麼樣子呢？特別地，當我們引入無 風險投資時，會發生什麼情況呢？假定無風險投資所對應的回報率為R_F， 在圖1-4中，我們用F點來代表無風險投資，從F點開始 我們引入同原有效邊界相切的一條直線，M代表切點。以下我們將要說明，直線FJ將 會是新的有效邊界。

如果將佔整體資金百分比β_I（0<β_I<1）的資金投入風險投資組合M， 然後將其他所有資金投放於無風險資產之中，這樣做會帶來什麼效果呢？如式（1-1）所示，我們進行這樣的組合之後，投資組合的預期回報E（R_I）由下式給出

E（R_I）= （1-β_I）R_F+β_IE（R_M）

由式（1-2）可知，我們得出投資組合回報率的標準差為β_Iσ_M^[1]，這裡σ_M代 表投資組合M的標準差。在圖1-4中，我們用I點來代表 以上表達式所闡明的風險-回報關係，從預期回報以及標準差兩方面來看，點I與F的 距離與點M與F的距離的比例為β_I。

圖1-4　包含所有投資資產的有效邊界

注：I點所對應的投資由投入百分比為β_I數量的資金在投資組合M中和1-β_I數量的無風險資產所組成，J點 所對應的投資是以無風險利率借入的β_J-1數量 資金，然後將所有的資金（擁有的和借入的）全部投入投資組合M中所組成的。

直線FM上的所有點均可以由投放一定數量資金在M投 資組合以及一定數量資金在無風險資產F來取得，此直線上任意一點所對應的風險-回報關係要優於我們之前所討 論的有效邊界上的風險-回報關係，直線FM也因此成為新的有效邊界。

假定我們可以按利率R_F借 入及借出資金，我們因此可以構造出從F點至M點以至於超 出M點的射線。假定我們的目的是構造出由圖中J點所表示 的組合投資，J點至F點距離是M點 至F點距離的β_J（β_J>1）倍。我們首先借入β_J-1數量的資產，然後將所有資產投入M點 投資組合之中。去掉應付利息之後，新的投資組合J所對應的預期回報為

E（R_J）=β_JE（R_M）-（β_J-1）R_F=（1-β_J）R_F+β_JE（R_M）

J點的標準差為β_Jσ_M。這樣我們清楚地展示了J點所對應的風 險-回報關係。

這裡的討論說明：當引入無風險投資後，有效邊界變成一條直線。換句話說，在由圖1-4所示的有效邊界上，預期回報與標準差之間 一定有一種線性的替換關係。所有的投資者都應選擇同樣的風險性資產，即M點所對應的投資組合，然後將風險性 資產與借入或借出的無風險資金進行不同比例的組合來體現他們的風險偏好。

現在要簡要說明一下投資組合M必須包含所有可能的風險投資資產。假設某個特 殊的投資資產沒有含於投資組合M之中，這樣就會造成沒有投資者持有這一資產，其價格會下跌，預期回報會增 加，最終成為組合的一部分。我們還可以進一步說明，為了保證每種投資資產的供需關係，每個風險投資資產的價格會得到調整，因此組合M中 的各個風險資產數量必須同整個經濟中所有可能投資資產成一定比例，這樣的投資組合M通常被稱為市場投資組合（market portfolio）。

[1] R_F是無風險利率，為常數，E［R_F］=R_F，σ_F=0。 ——譯者注

1.3　資本資產定價模型

當投資者投資於某些資產時，他們如何判定自己需要的預期回報呢？我們的以上分析說明，市場投資組合會起一個決定性的作用，投資者對於某資產回報所需要的預期回報在一定程度上要反映此資產對市場投資組合風險的奉獻量。

一個較常用的方式是以投資資產的回報及市場投資組合回報的歷史數據來得出某種最佳線性迴歸關係。這種線性迴歸關係式可表達為

R=α+βR_M+ε

（1-3）

其中R代表投資資產的回報，R_M代表市場投資組合的回報，α和β都是常數，ε是指回歸誤差，為隨機變量。

式（1-3）顯示了除了常數項α以外，資產回報有兩個組成部分。

（1）一部分對應於βR_M，此項為市場投資組合回報的某種倍數。

（2）另一部分對應於ε，此項與市場投資組合的回報無關。

這裡對應的風險，第一部分被稱為系統性風險（systematic risk），而第二部分被稱為非系統性風險（nonsystematic risk）。

首先讓我們考慮非系統性風險。如果我們假定對應於不同投資資產的ε項相互獨立，在大型投資組合中，非系統性風險幾乎被分散殆盡，因此投資者不應該關心非系統性風險，也就是說投資者不應該因承擔非系統性風險而索取高於無風險利率之上的回報。

系統性風險是投資者應該關心的內容，當持有一個大型而風險分散均衡的投資組合時，由βR_M表示的系統性風險並沒有消失，因此承擔這一系統性風險，投資者應索取補償。

由圖1-4可知，我們可以看到預期回報與系統性風險之間的關係，β=0對應於非系統性風險，其所對應投資回報為R_F。當β=1時，投資資產的回報與M點對應，此時的預期回報為E（R_M）。一般來講，我們有關係式

E（R）=R_F+β［E（R_M）-R_F］

（1-4）

式（1-4）就是所謂的資本資產定價模型，這一公式說明某投資的預期回報超出無風險投資回報的數量等於市場投資組合的預期回報超出無風險投資回報的數量與β的乘積。圖1-5中顯示了這一關係式。參數β被稱為是投資的β係數。

圖1-5　資本資產定價模型

係數β被稱為投資組合的beta係數，等於ρσ/σ_M，其中ρ是投資資產與市場投資組合的相關係數，σ是指投資資產回報率的標準差，σ_M是市場投資組合回報率的標準差，beta係數體現了投資組合對於市場投資組合的敏感性，我們可以用式（1-3）來定義任何一種投資組合的beta係數，而資本資產定價模型式（1-4）中對應於這一投資組合的回報率R。在圖1-4中，由M點所代表的市場投資的beta係數為1.0，由F點所代表的無風險投資的beta係數為0，而由I和J所代表的投資資產的beta係數分別為β_I及β_J。

1.3.1　假設

以上分析帶給了我們一個驚人的結論，那就是所有的投資者均想持有一個同樣的投資組合（即圖1-4中M點所表示的投資組合），這一結論顯然不成立。如果以上結論成立，那麼投資者相互之間不會再進行交易，市場也會停止運作。在實際中，不同的投資者對於股票及其他風險投資產品有著不同的看法，正因為如此，投資者之間才相互進行交易，從而促成了市場價格的產生。

在以上分析中，我們採用了多個隱含假設，這些假設造成了其得出的結論與現實市場有所出入。假設包括：

（1）我們假設投資者只關心他們投資組合的預期回報及回報率的標準差，換句話講，投資者只關心回報分佈中的前兩階矩（first two moments）。如果回報服從正態分佈，那麼投資者這麼做確實合理，但是，我們知道許多投資組合的回報並非服從正態分佈。事實上，許多投資組合的分佈具有偏態（skewness）以及超額峰度（excess kurtosis）特性。偏態與分佈的第三階矩有關，峰度與分佈的第四階矩有關。與正態分佈相比，具有正偏態的分佈會產生更多的高回報和更少的低迴報，具有負偏態的分佈會產生更多的低迴報和更少的高回報。超額峰度分佈產生高回報和低迴報的機會均多於正態分佈。許多投資者對出現極端負回報的可能性非常擔心，他們可能願意在具有負偏態或具有超額峰度的投資組合裡得到更高的預期回報。

（2）我們假設在式（1-3）中對應於不同投資的ε項為相互獨立，這等於是說投資回報的相關性完全取決於投資本身與市場組合的相關性，這一假設顯然不成立。福特和通用汽車同屬於汽車行業，兩家公司的股票會有一定的相關性，這一相關性並非來自它們與市場的相關性。以上討論說明對應於不同投資的ε項並非相互獨立。

（3）我們假設投資者只關心某一特定時段的投資回報，而且我們假設不同投資者所選定的時段均相同，這一假設顯然不成立。有些投資者（如養老基金）的投資期限很長，而有些投資者（如當日交易員（day trader））的投資期限很短。

（4）我們假設投資者可同時以相同的無風險利率借入或借出資金。在正常的市場條件下，對於信譽好的大型金融機構而言，以上假設近似成立；對於小投資者而言，這一假設不成立。

（5）我們在分析中不考慮稅收。我們知道，某些地區對資本收益（capital gain）的稅收處理不同於對股息和其他收入，而某些投資產品會有特殊的稅收優惠；還有，並非所有的投資者均會受同一稅率的制約。在實際中，投資者進行投資會將稅收考慮在內。對免稅的養老基金適用的投資可能並不適用於需要支付很高稅率的某紐約居民，這一說法反過來也成立。

（6）最後，我們假設所有投資者對任意給定的投資資產的預期回報、回報率的標準差的估算，以及對投資產品之間的相關係數的估算相同。換句話講，我們假設投資者具有一致性預期性（homogeneous expectations），這顯然不成立。事實上，正如以上討論所示，在一致性世界裡不會出現交易行為。

即使如此，資本資產定價模型已經被證明是管理人員進行投資組合管理的強有力的工具。關於股票的beta估計已經非常容易取得，同時由資本資產定價模型所計算出的投資期望值通常被管理人員用來當作檢驗投資好壞的標準，我們接下來將進一步解釋這一點。

1.3.2　alpha

當我們觀察市場回報為R_M時，我們對一項beta值等於β的投資組合的預期為多少？資本資產定價模型將投資組合的預期回報與市場的預期回報聯繫在一起，同時模型也將投資組合的預期回報與市場的真實回報聯繫到一起

E（R_P）=R_F+β（R_M-R_F）

其中R_F為無風險利率，R_P為投資組合的回報。

【例1-2】　考慮一個beta為0.6的投資組合，無風險利率為4%。

當市場回報為20%時，投資組合的預期回報為

0.04+0.6×（0.2-0.04）=0.136

即13.6%；當市場回報為10%時，投資組合的預期回報為

0.04+0.6×（0.1-0.04）=0.076

即7.6%。當市場回報為-10%時，投資組合的預期回報為

0.04+0.6×（-0.1-0.04）=-0.044

即-4.4%。投資組合的預期回報與市場回報的關係如圖1-6所示。

圖1-6　投資組合的預期回報與市場真實回報的關係（組合的beta為0.6，無風險利率為4%）

假定投資組合的真實回報大於預期回報，即

R_P>R_F+β（R_M-R_F）

我們可以說，對於一定數量的系統性風險而言，投資組合經理產生了更為突出的回報，而額外回報量為

α=R_P-R_F-β（R_M-R_F）

該額外回報通常被稱為是由投資組合經理產生的alpha。^[1]

投資組合經理會不斷地努力來產生正的alpha，其中一種做法是尋找比市場表現更好的股票，另一種方法是市場擇時（market timing）。這一做法涉及對市場變化做出預測，當預計市場會上漲時，投資經理會將資金從保守的國債投資轉移到股票市場；當預計市場會下跌時，投資經理會將資金從股票市場轉移到保守的國債投資。在第4章中，我們解釋了對衝基金生成正的alpha的投資策略。

雖然資本資產定價模型採用了一些簡化的假設，但是由模型產生的alpha和beta參數被廣泛應用於描述投資的特性。beta描述了由於承擔系統性風險取得的回報，beta值越高，投資組合所承擔的系統性風險也越高，回報中有更多的成分取決於市場回報；alpha代表了投資組合管理得當（或者是因為運氣好）所帶來的額外回報。一個投資者取得正的alpha一定是建立在另一個投資者取得負的alpha的代價之上，所有投資者的alpha的加權平均為0。

[1] alpha也被稱作詹森阿爾法，因為它是由邁克爾·詹森（Michael Jensen）在衡量對衝基金表現時首先引入的，見第4.3節。

1.4　套利定價理論

套利定價理論（arbitrage pricing theory）可以被看作對資本資產定價模型的擴展。在套利定價理論中，投資者的回報被假設取決於多種因素（這些因素可能是國民生產總值（GNP）、國內利率以及通貨膨脹率）。通過構造與這些風險因素呈中性的投資組合，套利定價理論展示投資資產的預期回報同這些因素呈某種線性關係。

式（1-3）中投資資產的ε項相互獨立這一假設保證了資本資產定價模型中投資的預期回報取決於單一因素（因此也就只有一個系統性風險因素），這一因素就是市場投資組合的回報。在套利定價理論中有多種因素決定投資的回報。這些因素中的每一項都是一個系統性風險源。套利定價理論中的非系統性風險（即可分散的風險）是與以上多種因素無關的風險。

1.5　公司的風險以及回報

我們現在進一步考慮某一公司的風險與回報的替換關係，一家公司如何來判別某項投資所帶來的回報可以足夠補償其帶來的風險呢？

一家公司的最終擁有者是其股東，公司管理的最終目標是股東利益最大化。因此，一個新的項目可以自然地被理解為在股東投資組合之上的疊加。公司應該計算一個投資項目的beta係數及其預期回報。如果此項投資的預期回報高於由資本資產定價模型所決定的預期回報，那麼該投資會給股東帶來好處，因此該投資可以被接受，否則該投資應該被否決。

這個觀點說明在決定是否接受某種投資時，非系統性風險因素不應該在考慮之列。在實際中，公司既應考慮系統性風險又應考慮非系統性風險。例如，大多數公司會為其公司的建築物購買火災保險。即便這種風險完全是非系統性的，而且可以通過股東分散投資得以緩解。企業為了迴避高風險，會對它們所面臨的匯率、利率、商品價格及其他市場因素所帶來的風險進行對衝。

收益的穩定性、公司的生存能力都是公司管理的目標，公司在運作過程中會嘗試新的業務，並試圖保證新業務的預期回報與股東既定的風險-回報關係相一致，但無論如何承受的風險量不能過大。

大多數投資者對他們所投資公司的整體風險的大小也會關心。投資者不喜歡被驚嚇，他們喜歡將資金投放於有強勁增長並能達到預期目標的公司。投資者喜歡將資金投放於那些能夠小心管理及控制自己面臨的包括系統性及非系統性風險等整體風險的公司。

第1.1～1.4節中的理論結果指出的投資者的行為應同以上的討論截然不同，當預期回報同系統性風險替換關係對於公司可以接受時，投資者應該鼓勵公司儘可能投資於高風險項目。在投資者的投資組合中，某些公司會破產，某些公司會生存得很好，對投資者來講，投資的最終目的是保證整體回報的優良。

投資者的行為有時會不追求最佳結果嗎？由於投資者有分散風險的需要，公司承擔了更多非系統性風險是否會給投資者帶來更多的好處呢？一種著名的理論指出事實並非如此，該理論被稱為“破產成本”理論。這一理論不但可以用於解釋一家公司為什麼會約束自己所發行的債券量，而且也可以被延伸到整個風險領域。

1.5.1　破產成本

在一個完美的世界裡，破產應該是一個非常簡捷的事件，公司的有形及無形資產都以一個公平的市場價格被出售，所得的資金會在一個完善規則之下在債券持有者、股權持有者及其他公司權益持有者之間進行分配。如果我們生活在這樣的完美世界中，破產應該不會破壞股東的價值。不幸的是我們生活的世界並不完美，破產過程會觸發破產成本（bankruptcy cost）。

破產成本的實質是什麼呢？當一家公司宣佈破產時，公司的顧客及供應商不再願意同公司進行業務接觸；此時公司資產會不得不以低於破產前的價格被出售；此時公司的無形資產，例如公司的商標價值及市場名聲均受到了損害；公司已經不能在保護股東利益前提下進行運作，此時公司往往會支付大量的手續費給會計師及律師；此時公司的厄運接連不斷。雖然業界事例1-1中所講的故事是虛構的，但其代表性同實際生活相差並不太遠，這一事例顯示，某一高風險決策的失敗給公司帶來的後果可能是毀滅性的。

發生在2008年9月15日的雷曼兄弟破產是迄今美國歷史上最大的破產案例。在雷曼兄弟破產兩年後，即2010年9月14日，《金融時報》（Financial Times）報道稱，在美國和歐洲，與雷曼控股公司所有分支機構破產程序有關的法律和會計費用已經達到20億美元，儘管其中一些服務的收費已經打了折扣。

我們前面指出，公司的生存是公司管理的一個主要目標，權益持有者不希望公司本身承擔過多的風險，現在我們明白了這樣做的原因。國與國之間的破產法可以相差甚遠，但這些法律的共同效果是：公司的價值在債權持有者為獲得補償而進行的爭鬥中受到了損害。如果公司選擇風險很高的項目（但預期回報高於圖1-4中的有效邊界），那麼公司破產的可能性很大。當考慮預期破產成本時，總風險（系統性和非系統性）較高的項目可能會被拒絕。這就解釋了為什麼股東喜歡公司限制其承擔的總風險，並投資那些能控制風險以滿足盈利預期的公司。

當一個新的項目在醞釀之中時，決策人要考慮的一個關鍵問題是新項目是否同公司的其他風險相匹配。由於分散化帶來的好處，一個相對較小的投資往往會有減少整體風險的效果，但一個大的投資可能會大大地增加整體風險。許多投機型公司的失敗（見業界事例1-1）往往可以歸咎於公司CEO在較大的收購（常常使用較高槓杆）決策上的失誤。

1.5.2　金融機構

與非金融企業相比，在金融機構的決策中破產成本的重要性尤為突出，比如一家銀行必須保證其破產概率非常小。大的銀行依賴批發存款和諸如商業票據等工具來融資。信心是銀行得以生存的根本。如果市場認為某家銀行違約的風險不夠低，就會對其喪失信心，而銀行的資金來源也就因此而枯竭。銀行會陷入被迫清算的境地，即便此時它仍可能具有正的所有者權益從而具備償付能力。雷曼兄弟的破產是美國歷史上最大的破產案例；在英國，北巖銀行（Northern Rock）的破產也是一個轟動的案例。在這兩個案例中，導致其破產的元凶都是信心崩潰及傳統資金來源枯竭。

1.5.3　監管機構

即便銀行的管理層不顧以上所討論的風險，並且希望能夠承擔更多的風險，他們也不被允許這樣做。與其他企業不同的是，金融機構要接受嚴格的監管。世界上任何一國政府都希望本國有一個穩健的金融體系。個人和企業對與其進行業務往來的銀行和保險公司應具有足夠的信心，這一點非常重要。監管措施的設計要確保銀行和保險公司遭遇嚴峻財務困難的概率很小。在2008年次債危機中，各國政府對金融機構的救助說明了政府非常不情願讓大的金融機構破產，而受監管的金融機構必須考慮整體風險（系統性的及非系統性的）。

顯而易見，破產往往是由於銀行正在遭受虧損。監管機構的目標是保證銀行持有的用於緩衝損失的資本金達到一定水平，在很高的概率下，足以應付損失。例如，假定金融機構在1年內出現損失超出20億美元的概率為0.1%，監管機構也許會要求銀行持有20億美元的股權資本金，這樣會保證股權資本可以承擔損失的概率為99.9%。在以後的章節中我們將討論監管機構所採用的模型。

這裡的重點是，監管機構最為關心的是整體風險，而不僅僅是系統性風險。監管人員的最終目標是使發生破產事件的可能性非常小。

1.6　金融機構的風險管理

對金融機構（及其他機構）來講有兩大類風險管理策略：一是對每一種風險進行識別，然後對各類風險單獨管理，這種管理方式有時被稱為風險分解（risk decomposition）；二是用多元化的管理方式來緩解風險，這種方式有時被稱為風險聚集（risk aggregation）。在實踐中，銀行採用這兩種方式來管理以下將要討論的市場風險與信用風險。

作為實例，我們考慮一家美國銀行交易業務所面臨的市場風險。市場風險起源於多個市場變量（利率、匯率、股價）在將來的變化的不確定性。為了實施風險分解模式，交易平臺會指定交易員來管理某一特殊市場變量（或一定小數量的市場變量）。例如，交易平臺可能指定一個交易員（或一組交易員）來管理所有美元/日元匯率交易，在每個交易日結束時，交易員要保證相關的交易額度要在事先由銀行設定的額度之內。在一天的交易即將結束時，交易員如果發現某個或多個交易額度將超出銀行規定，交易員或要取得批准來持有當前頭寸，或進行新的對衝交易來減持頭寸以保證額度要求（在第8章中，我們將討論交易員計算風險額度的方法）。

風險管理人員在銀行的中臺（middle office）對市場風險實施風險聚集管理，管理過程涉及在每天結束時將銀行市場風險進行彙總，來計算銀行所面臨的由於市場變動所觸發的整體風險。對風險進行彙總後，銀行希望自身所面臨的風險已被有效地分解，並希望自身面臨的市場風險足夠小。當風險達到不可接受的程度時，銀行必須找出根源並採取相應措施。我們將在第12～14章中討論對風險進行彙總計算的模型。

風險聚集管理模式是保險公司採用的重要管理工具。考慮某汽車保險公司，單一保單所對應的賠償數量具有不確定性，但是，保險公司可以做到在一定的精度下對100 000個保單的整體賠償進行預測。

信用風險的傳統管理方式是對信用組合進行多元化管理（也就是風險聚集），如果銀行將其40%的資金借給某個單一借貸人，這樣做會使得風險沒有得以分散，其後果將是銀行面臨巨大風險。當借貸人的自身財務狀況出現問題以至於不能支付貸款利息及本金時，銀行可能會解體。

當銀行選擇另外一個多元化的政策，例如，將0.01%的資金分別借給10 000個不同的借貸人時，銀行會處於一個相對更為安全的位置。假設在某一年，借貸人的違約概率為1%，這樣在這一年我們將看到大約有100個信貸人違約，而由此所造成的損失會被其他99%的貸款的盈利所彌補。為增大風險分散的效果，銀行應在不同的地區及不同的行業選擇借貸人，一個在全球範圍有不同借貸人的國際性銀行的風險要比一個只在得克薩斯州對石油公司進行放貸的區域性銀行的風險分散性好。

當然無論如何分散風險，銀行仍然不能完全消除系統性風險。該風險會造成所有借貸人的違約概率隨時間而變化。我們的例子中採用的1%的違約率是正常年份所見的。當經濟形勢很好時，違約概率會小於這個數字，而當經濟轉入下滑時，則會顯著高於這個數字。我們會在以後的章節中討論用於捕捉系統性風險的模型。

從20世紀90年代後期開始，我們看到信用衍生產品市場的勃然興起，信用衍生產品可以使得銀行對信用風險一一進行化解（也就是風險分解），而不是僅僅依靠風險分散的手段。衍生產品市場也給銀行提供了對於宏觀經濟中整體違約的保護產品。但是，對應於每個信用買入方，總會有一個賣出方。許多信用保護的賣出方（無論是單個公司還是公司的投資組合）在2007年的信用緊縮中蒙受巨大損失，我們將在第6章中對信用緊縮做進一步的討論。

1.7　信用評級

信用評級被金融市場的參與者廣泛地用於信用風險管理。信用評級是對債務類金融工具如債券的信用質量的度量。然而，企業或者主權債券的評級通常被當作一個關於債券發行者而不是債券本身的屬性。因此，如果一家公司發行的債券擁有一個AAA評級，該公司通常也被稱作一家AAA評級的公司。

穆迪、標準普爾和惠譽是三家最主要的評級機構。穆迪評級中最好的級別是Aaa。擁有該評級的債券被認為是幾乎不可能違約的。次優級的評級為Aa，接下來依次是A、Baa、Ba、B、Caa、Ca和C。與穆迪評級依次對應的標準普爾評級分別是AAA、AA、A、BBB、BB、B、CCC、CC和C。為更加細緻地區分評級，穆迪還將Aa級細分為Aa1、Aa2和Aa3；將A級細分為A1、A2和A3，依此類推。類似地，標準普爾將其AA級細分為AA+、AA和AA-；將A級細分為A+、A和A-，依此類推。穆迪的Aaa級和標準普爾的AAA級沒有再細分，通常最低的兩個級別也不會再細分。惠譽的評級跟標準普爾類似。

通常，不同評級機構給出的信用等級存在相互對應的關係。比如，標準普爾的BBB+級被認為對應於穆迪的Baa1級。評級為BBB-（Baa3）以上的證券被認為具有投資級別（investment grade）。評級為BBB-（Baa3）以下的被稱作是非投資級（noninvestment grade）或投機級（speculative grade）或垃圾債（junk bonds）。2012年8月，標準普爾將美國國債的評級從AAA級降到了AA+級，這在市場上引起了不小的震動。

在後面的章節中，我們還將對信用評級進行更深入的探討。例如，第6章討論了在2007年開始的信用危機中信用評級扮演的角色。第15章和第16章介紹了信用評級是如何在監管規則中使用的。第19章給出了擁有不同信用評級的公司違約率的統計數據。第21章描述了公司的信用評級是如何隨時間而變化的。

小結

金融理論中一個非常重要的原則是風險和回報有一種替換關係，要取得高回報通常要以承擔高風險作為代價。投資者在理論上講不應擔心那些可以被分散的風險。投資者所期望的回報應反映在他們所承擔的不可以被分散的系統性風險中。

公司在進行風險管理時，不僅要考慮其股東對系統性風險的承受能力，也要考慮整體風險。股東個人可以通過投資多元化來分散非系統性風險，但對公司來說仍不可以忽略這一風險，其中的一個原因是破產成本的存在——股東必須為破產過程埋單。

對銀行和保險公司等金融機構而言，另一個需要考慮的因素是監管法規。最大限度地降低受監管的金融機構破產的可能性是監管機構最關注的議題。破產可能性依賴於承受的整體風險，而不僅僅是股東不能分散的風險。在後面的章節中，我們將會看到，監管機構的目標是保證金融機構對自己整體的風險敞口持有足夠的資本金。

管理風險的兩個重要方式是風險分解及風險聚集（集中），風險分解管理將風險一一分解，並針對單一風險進行管理；風險聚集藉助於風險分散的效果達到減少風險的目的。銀行採用以上兩種方式來管理市場風險。管理信用風險傳統上是採用風險聚集的方式，但隨著信用衍生產品的發展，風險分解的方式也逐漸被用於信用風險管理過程之中。

延伸閱讀

練習題^[1]

1.1　某項投資的不同的回報率為40%，30%，15%，-5%；-15%；其對應的概率分別為0.1，0.2，0.35，0.25及0.1，這一投資所對應的期望值及標準差為多少？

1.2　假定某兩項投資的回報及所對應的概率如練習題1.1所示，兩項投資的相關係數為0.15，將資金以均等方式分別投入兩項投資後所產生的組合投資資產的預期回報及標準差為多少？

1.3　兩項投資如圖1-2及表1-2所示，對於以下列舉的相關係數，計算風險-回報的不同組合關係：（a）0.3；（b）1.0；（c）-1.0。

1.4　系統性風險與非系統性風險有何區別？對投資者來講哪一項更為重要，這兩項風險中哪一項會引發企業破產成本？

1.5　投資者選擇相同市場投資組合的主要理論依據及假設前提是什麼？

1.6　某一投資組合的預期回報為12%，無風險投資回報率為6%，beta係數分別等於（a）0.2；（b）0.5；（c）1.4的投資的預期回報各為多少？

1.7　“套利定價理論是資本資產定價理論的延伸。”請解釋這一觀點。

1.8　“一家公司所採用的資本結構取決於破產成本及債券所帶來稅率優勢的替換關係。”請解釋這一觀點。

1.9　風險分解和風險聚集管理方法的含義是什麼？哪一種方法需要對單一風險深入瞭解？哪一種方法需要風險相關性的詳細信息？

1.10　一個銀行的操作風險的起因包括僱員詐騙、自然災害、訴訟費用等。管理操作風險最好應採取風險分解還是風險聚集方式（操作風險在第13章中會有所討論）？

1.11　一個銀行在下一年盈利的回報服從正態分佈。回報期望值為整體資產的0.6%，而標準差為整體資產的1.5%。銀行的股權資本佔整體資產的4%。在忽略稅收情況下，銀行在下一年仍有正的股權資本的概率為多大？

1.12　為什麼銀行監管要保證銀行不能承擔過多風險，而對其他行業公司（例如製造業和零售業）沒有此項要求？

1.13　請列舉業界事例1-1中的破產成本。

1.14　去年的市場回報為10%，無風險利率為5%，某對衝基金的投資組合的beta為0.6，alpha為4%。對衝基金經理的回報為多少？

[1] 各章練習題答案見本書最後。

作業題

1.15　假定某一項投資的預期回報為8%，標準差為14%；另一項投資的預期回報為12%，標準差為20%。兩項投資相關係數為0.3。請構造一個類似圖1-2的風險-回報組合情形。

1.16　市場的預期回報為12%，無風險利率為7%，市場回報率的標準差為15%。一個投資者在有效邊界上構造了一個投資組合，預期回報為10%；另一個投資者在有效邊界上構造了另一個投資組合，預期回報為20%。兩個投資組合的標準差各為多少？

1.17　一家銀行在下一年度的盈利服從正態分佈，其期望值及標準差分別為資產的0.8%及2%。在99%及99.9%置信度下，為使年終時股權資本為正，銀行的資本金持有率（以資產作為分母）分別應為多少？（在分析中忽略稅收。）

1.18　一個投資組合經理主動地管理某投資組合，投資組合的beta係數為0.2。在去年，無風險利率為5%，主要股指的表現都很差，回報大約為-30%。投資組合經理的回報為-10%，投資組合經理自稱在這樣的市場條件下，自身表現很好。請對投資組合經理的觀點進行討論。

第2章
銀行

“銀行”這一詞彙源於意大利語中的“banco”，指在幾百年前意大利佛羅倫薩銀行家所用的蓋了一個綠色桌布的桌子或長凳。銀行的傳統角色是吸收存款併發放貸款，貸款的利息大於存款的利息，這兩個利息之間的差額用於支付管理費用以及貸款損失（即借款方未按約定償還利息和本金所觸發的費用），同時提供令人滿意的股權收益率。

今天的多數大型銀行既參與商業銀行業務，也參與投資銀行業務。商業銀行業務包括我們以上提及的吸收存款、發放貸款以及一些其他基本業務；投資銀行業務包括幫助企業客戶發行證券和股票、為企業併購和重大公司重組提供諮詢以及其他融資業務。大型銀行一般還參與證券交易業務（例如，提供經紀服務）。

商業銀行業務可劃分為零售銀行業務及批發銀行業務。顧名思義，零售銀行業務（retail banking）涉及從個人或小企業客戶中吸收小額存款，並同時向這些客戶發放小額貸款；批發銀行業務（wholesale banking）涉及向大中型客戶提供銀行服務。批發銀行業中的存、貸款量遠大於零售銀行業中的存、貸款量。有時某些銀行完全通過在金融市場的拆借來支撐自身的批發及零售銀行業務。

批發銀行貸款利率與資產費用利率的利差通常比零售銀行的利差要低，但這一不利條件常常被低費用而彌補（比較相同數量的批發銀行貸款和零售業務貸款，我們通常會發現批發銀行貸款的預期損失及管理費用要低很多）。那些主要依賴批發銀行業務並同時通過金融市場拆借來支撐其運作的銀行被稱為貨幣中心銀行（money center bank）。

在這一章中我們將討論在過去的100年中美國商業銀行及投資銀行的進化過程，我們將會討論銀行的監管方式、銀行面臨的各種風險以及為損失提供緩衝的資本金的關鍵作用。

2.1　商業銀行

幾乎世界上所有的國家都設定了嚴格的銀行監管法規，這是因為大多數國家的政府都認為無論個人或者企業都應該對銀行系統持有信心。監管法規涉及的事項包括：銀行必須持有的資本金數量、銀行所能經營的業務範圍、存款保險、允許併購的範圍及外資持股比例等。在20世紀，各國銀行監管法規的特點影響了不同國家的商業銀行結構，為了說明這一點，我們將以美國為例。

美國的特點是其銀行數量巨大（2017年共有5 060家）。因此，與那些銀行數目較少的國家相比，美國的銀行支付系統相對複雜。美國有一些規模較大的貨幣中心銀行，比如花旗銀行以及摩根大通；美國也擁有數百家地區性銀行，其業務涵蓋了零售和批發兩種形式；另外，美國還有數千家社區銀行，其業務形式主要是零售。

表2-1綜述了1984年及2017年美國銀行規模的分佈情況。這期間，美國銀行的數目下降了超過65%。與1984年相比，在2017年，小型社區銀行數量減少，而大型銀行數量增加。雖然在2017年資產超過100億美元的銀行只有102家（佔整體數量的2%），但這些銀行持有的資產佔整個銀行系統的84%。

表2-1　1984年及2017年美國銀行規模的分佈情況

資料來源：FDIC Quarterly Banking Profile，www.fdic.gov.

⊖ 原書為2 508.9，疑有誤，更正為此。——譯者注

原書為15 789.5，疑有誤，更正為此。——譯者注

美國銀行系統結構的特點主要是源於監管法規中關於跨州經營的限制。20世紀初期，大多數美國銀行只開設一個營業部給客戶提供服務。20世紀早期，許多銀行紛紛開始增設分行以保證更好地為客戶提供服務。這樣做受到兩種不同的阻力。首先，那些只有單個營業部的小銀行擔心它們會失去市場份額；其次，那些大的貨幣中心銀行擔心多分支銀行將會提供支票清算（check-clearing）及其他支付業務，從而侵蝕它們在這些業務中的利潤。以上阻力對社區銀行的擴展產生了壓力。隨之有若干個州通過了法律，對銀行在一州之內開設多家分行的能力做出了限制。

《麥克法登法案》（McFadden Act）在1927年通過，其修正案在1933年通過。該法案對銀行在多個州開設分行做出了限制。法案適用於全部全美註冊及州內註冊的銀行。一種繞過《麥克法登法案》的做法是成立多銀行控股公司（multibank holding company），即成立一家母公司並收購多家銀行作為其子公司。截至1956年，美國共有47家多銀行控股公司，這導致了在後來通過了針對《銀行控股公司法》（Bank Holding Company）的《道格拉斯修正案》（Douglas Amendment）。該修正案不允許銀行控股公司在禁止州外併購（out-of-state acquisition）的州收購銀行，但是在1956年前的收購仍然有效（也就是說，多銀行控股公司並不一定要將1956年前收購的子銀行進行剝離）。

銀行在試圖擺脫監管限制方面很有創造力，當有利可圖時，這一創造力表現得尤其明顯。1956年後，一種做法是成立一家銀行控股公司，這家公司只將一家銀行作為子公司，而在其他州成立非銀行子公司，這些非銀子公司提供的金融服務包括客戶融資、數據處理、租賃等業務，這麼做的實際效果是在其他州也實現了銀行的存在。

1970年的《銀行控股公司法》進一步對單銀行控股公司的行為實行了限制。在這一法案下，控股公司只允許從事那些與銀行業務密切相關的經營活動，控股公司收購其他公司要經過美聯儲的批准，控股公司必須對那些不符合該修正案的子公司進行剝離。

20世紀70年代以後，對於跨州銀行的限制逐漸消失。各州紛紛通過法律允許其他州的銀行進入並收購本地銀行（1978年緬因州首先通過了這樣的法令）。其中有些州允許外州的銀行自由進入，而其他一些州雖允許外州的銀行進入，但條件是其所在州須制定互惠協定（reciprocal agreement，即如果州B的銀行可以進入州A，那麼州A的銀行也可以進入州B）。還有些州共同建立了區域性銀行群，從而將跨州銀行業務合法化。

1994年美國國會通過了《裡格爾-尼爾州際銀行及分行效率法》（Riegel-Neal Interstate Banking and Branching Efficiency Act，簡稱《裡格爾-尼爾法案》），將全面跨州銀行變成了現實。該法案允許銀行控股公司在其他州收購分行，並廢除了以前各州訂立的基於州際互惠協議或區域性協議的跨州銀行法案。從1997年開始，銀行控股公司可以將本州外的銀行子公司轉為在同一銀行下的分行。許多人認為這種整合方式對於擴大美國銀行規模，從而能夠在全球範圍內進行競爭十分有必要。《裡格爾-尼爾法案》為美國銀行的合併潮提供了基礎（例如，摩根大通收購了化學銀行、大通銀行、貝爾斯登以及華盛頓互惠銀行）。

2007年開始的信用危機導致了一大批銀行的破產。危機爆發後，2010年7月21日，奧巴馬總統簽署了《多德-弗蘭克華爾街改革與個人消費者保護法案》（Dodd-Frank wall street Reform and Consumer Protection Act，簡稱《多德-弗蘭克法案》）。第16.5節將對此進行了詳細討論。

2.2　小型商業銀行的資本金要求

為了說明資本金在銀行業務中的作用，在這裡我們假想出一個名叫DLC的銀行（Deposits and Loan Corporation），DLC銀行只經營傳統的存貸款業務，表2-2是該銀行在2018年年末的資產負債表，表2-3是其在2018年的利潤表。

表2-2　DLC銀行在2018年年末的資產負債表　（百萬美元）

表2-3　DLC銀行在2018年的利潤表　（百萬美元）

表2-2顯示這家銀行有1億美元的資產，其中大部分（佔80%）是銀行發放給私人及小型企業的貸款。現金及有價證券佔總資產的15%，另外5%的資產由一些固定資產（建築、設備等）組成。可見，DLC 90%的支撐資產的資金來源於客戶各種形式的存款，另外5%的資金來源於次優先級長期債券（subordinated long-term debt，這種債券由銀行發行，破產清算時其優先級低於銀行吸收的存款）。最後5%的資金來源於股東擁有的股權資本。股權資本由股東最初的現金投資及銀行的留存收益（retained earning）所組成。

現在讓我們考慮表2-3所示的2018年的利潤表。表中第一項收入為淨利息收入，此項收入為利息收入與利息費用的差，這項收入佔總資產的3%。管理利息收入並在不同利息環境下達到利息收入平穩對銀行至為重要，在第9章中我們將進一步討論這一點。

表中第二項為貸款損失。這裡的損失量佔當年總資產的0.8%。顯然，信用風險的管理及其量化對銀行至關重要。但在貸款前，無論銀行如何謹慎地評估客戶的財務狀態，部分客戶仍然會違約，從而造成貸款損失。在不同的經濟條件下，貸款的違約率會有所浮動。在某些年，貸款違約率會較低，而在其他年，違約率會較高。

下一項內容為非利息收入。這項內容是銀行非信貸業務所帶來的收入，其中包括為客戶提供服務收取的各種費用。在DLC銀行的利潤表中，非利息收入佔總資產的0.9%。

表中最後一項為非利息費用，在這個例子中，該項佔整體資產的2.5%。非利息費用包括利息以外的其他所有費用，其中包括薪水以及同技術有關的其他開銷等。在一些大型企業中，如果不小心控制，此項費用將會有逐年增長的趨勢。銀行應儘量避免訴訟、業務停頓、僱員欺詐等事件造成的損失。與這些損失相關的風險被稱作操作風險（operational risk）。在第23章中，我們將對此項風險進行討論。

資本充足率

衡量銀行表現的一個指標是淨資產收益率，即股權收益率（return on equity，ROE）。如表2-2和表2-3所示，DLC銀行的稅前ROE為0.6/5或12%。如果這個表現不能令人滿意，DLC銀行可採用以下手段改善ROE：回購部分股票，並以吸納的存款替換它們。這樣股權資本降低從而導致ROE提高。例如，如果採用表2-4所示的平衡表，將股權佔總資產的比率降低為1%，並將存款提高為總資產的94%，則DLC銀行的稅前ROE會猛增到60%。

表2-4　DLC銀行對應於資本充足率為1%情形下的資產負債表　（百萬美元）

DLC銀行到底需要多少股權資本呢？一種回答這一問題的方法是考慮在極端條件下，銀行是否可以生存。假定在第二年經濟極為蕭條，銀行的貸款損失佔資產的比率上升了3.2%，達到4%。我們假定銀行的其他收入沒有受到影響。在此情形下銀行的稅前運營損失佔資產的2.6%（0.6%-3.2%=-2.6%）。假定稅率為30%，在此稅率下，稅後損失佔資產的1.8%。^[1]

表2-2顯示出股權資本佔資產的5%，佔資產1.8%的損失雖然令人失望，但對銀行來講，仍然可以承擔得起，資本充足率這時會減至3.2%，即使第二年有一個類似的損失，資本金也不會被徹底耗盡。

如果DLC銀行採用瞭如表2-4所示的更加激進的資本結構，則其生存的可能性會大大降低。在這種情形下，損失為資產4%會徹底耗盡股權資本，這樣的損失會使銀行陷入巨大的財務困境之中。毫無疑問，在困境之中銀行希望提高資本金持有率，但在一個虛弱的財務狀況下，銀行幾乎不可能找到自己所尋求的資本。在銀行危機到來時，會造成存款人的“擠兌現象”（run on deposit，這時所有的存款人可能會同時提取存款）。這樣的事件可能會造成銀行破產，如果所有資產可以以賬面價格賣出（這是一個很樂觀的假設），長期債權人可以收到420萬美元而不是500萬美元的本金（長期債權人吸收了超出股權資本部分的損失），而存款人能得到全額的存款。

顯然，銀行的股權資本只佔資產的1%是不充足的。如表2-2所示，股權資本佔資產的5%更為合理一些。我們注意到股權資本及次優先級長期債券都是資本的來源，股權資本給銀行在不利情形下提供了最好的保護（在我們的例子中，當持有500萬美元而不是100萬美元的資本時，銀行是不太可能會破產的），次優先級長期債券在破產時排名低於存款，但是次優先級長期債券抵禦風險的效果不如股權資本，我們的例子顯示次優先級長期債券並不能抵禦銀行破產。

在第15～18章中，我們將會看到銀行監管機構一直在積極地參與銀行資本金充足率的管理，以保證銀行有足夠強的能力抵禦風險。風險類型包括市場風險、信用風險及操作風險。股權資本為第一類資本（tier 1 capital），而次優先級長期債券為第二類資本（tier 2 capital）。

[1] 假設稅收損失可以結轉以抵消以前的利潤。

2.3　存款保險

為了保證儲戶和投資者對銀行系統的信心，許多國家的政府監管機構引入了擔保制度。在擔保制度下，儲戶的存款在一定數額內受到保護。

擁有大量小型銀行的美國尤其會出現銀行破產現象。在1929年股票市場暴跌之後，美國經歷了一場十分嚴重的大蕭條，1930～1933年有近萬家銀行破產，銀行擠兌及市場恐慌現象十分普遍。1933年，美國政府成立了聯邦存款保險公司（Federal Deposit Insurance Corporation，FDIC），其目的是保護存款人。最初，存款所受保護的最高數額為2500美元。其後，這一受保水平幾次得以提高。到2008年10月，每個儲戶在每家銀行的受保儲蓄額最高可達250000美元。為了得到保護，銀行須支付保險費，保費為其吸收的國內存款的一定比例。自2007年後，保費的數額同資本金及與監管機構認定的銀行風險承受能力掛鉤。對資本金充足的銀行，保費可低至受保金額的0.1%；對資本金不足的銀行，保費可高至受保金額的0.35%。

截至1980年，這套系統運作良好。市場上沒有出現銀行擠兌現象，銀行破產也十分罕見。但是在1980～1990年，銀行破產數量顯著增長。這10年間銀行破產數量超過了1000家（超出了1933～1979年的總和）。造成銀行破產有幾個原因，其中一個原因是銀行管理利率風險不當。對這一話題，我們將在第9章中進行討論。另一個原因是石油及商品價格的下滑觸發了許多石油、天然氣及從事農業生產的公司的貸款違約。

造成銀行破產的進一步原因是存款保險制度的存在造成了銀行過分追求高風險策略，這些策略在沒有存款保險的前提下是不可行的。例如，銀行為了吸引存款客戶，可以提高存款利率，並將存款用於發放高風險貸款。在沒有保險的前提下，銀行不能實施這樣的策略，因為儲戶可以看到銀行的所作所為，他們可以認定銀行風險太高，從而撤回資金，而在有了保險的前提下，銀行可以實施這樣的高風險策略。因為儲戶認為在最糟的情況下，他們的存款仍受到FDIC的保護。這一現象就是所謂的道德風險（moral hazard）。我們將在第3章中對道德風險進行深入的討論。道德風險可以被定義為因為保險的存在，受保方改變其行為的可能性。以前介紹的以風險為基礎的存款保險定價方式在某種程度上可以降低道德風險。

20世紀80年代，FDIC的資金受到嚴重消耗，它不得不從美國財政部借入300億美元資金。1991年12月，美國國會通過《FDIC改善法案》（FDIC Improvement Act），消除了FDIC在將來的任何破產可能。1991～2006年，美國銀行破產事件相對罕見，到2006年為止，FDIC的儲備金已經達到500億美元。可是2007年信用危機爆發後，因為銀行破產的增加，FDIC再次陷入資金不足的窘境。

2.4　投資銀行業

投資銀行從事的主要業務是為政府及企業發行證券和股票進行融資，其業務包括證券的發行、承銷以及向投資者配售。在一個典型的企業與投行的合約中，企業會註明其融資形式，即債券、股票或混合金融工具，例如可轉換債券（convertible bond）。發行證券要附有法律文件，法律文件中要闡述證券持有者的權利。通常還需要製作說明公司過去以及將來表現的招股說明書（prospectus）。發行證券的公司所面臨的風險包括重大法律訴訟等要被闡述清楚。證券發行過程中要有“路演”（road show）。在路演中，投行以及公司高管將會竭力爭取得到大型基金經理的青睞。投行與公司之間會對所發行的證券的價格達成協議，然後投行將證券在市場上進行銷售。投行與企業之間的協議可以有多種形式。有時發行證券是以私募（private placement）的形式。在私募形式中，證券將被賣給少數人壽保險公司或養老基金等大型機構投資客戶，投行從中收取手續費。另一種發行方式為公開發行（public offering）。在公開發行中，發行對象是一般的投資者。公開發行可以是代銷（best effort）模式或包銷（firm commitment）模式。在代銷模式中，投行盡其所能將證券在投資者中進行銷售，投行所得的收入與證券銷售量掛鉤；在包銷模式中，投行同意從證券發行人手中以固定價格買入證券，然後再以稍高的價格在市場上銷售。投行的盈利取決於證券售出價格和買入價格的差。如果因某種原因投行沒有將證券全部賣出，投行就只能持有這些證券。例2-1對以上兩種銷售模式的差別做了進一步說明。

【例2-1】　一家投行同意對ABC公司發行的5000萬份股票進行承銷，投行與ABC公司通過談判商定股票的目標價格為每股30美元，這意味著公司將取得30×5000萬=15億美元的資金。投行可以給客戶提供代銷模式。在這一模式中，投行每銷售1股將收取0.30美元的手續費，因此假定所有的股票均能在市場上售出，投行的收入為0.3×5000萬=1500萬美元；投行也可以提供另外一種銷售模式，即包銷模式。在這種模式中，投行以每股30美元的價格從ABC公司買入股票。

投行有信心可以賣出全部股票，但對賣出股票的價格沒有把握。為了保證對銷售風險有所認識，投行可以考慮兩種不同情形。在第一種情形下，投行可以以每股32美元的價格賣出股票；在第二種情形下，投行可以以每股29美元的價格賣出股票。

在代銷模式中，無論在哪種情形下，投行所取得的收入均為1 500萬美元，在包銷模式中，投行的收入與其賣出股票的價格有關，如果投行能夠以每股32美元價格賣出所有的股票，因為投行可以從ABC以每股30元的價格買入股票，所以其盈利為（32-30）×5 000萬=1億美元；如果投行只能以每股29美元賣出股票，投行仍需以每股30美元的價格從ABC公司買入股票，其損失為（30-29）×5 000萬=5 000萬美元。以上不同情形所對應的結果在下表中給出。投行的銷售決策取決於投行對於不同情形所認定的概率以及投行自身的“風險偏好”（risk appetite）。

如果一家公司已經是上市公司，在進行股票融資時，投行可以用新股發行前幾天的股價作為基準來確定新股出售的價格。一般增發股票的價格比當前股票價格要稍低一些，這時最大的風險來自增發之前股價大幅下跌。

2.4.1　首次公開募股

當一家非上市公司希望上市時，其發行的股票被稱為首次公開募股（initial public offering，IPO）。IPO股票的承銷一般是代銷模式。最初的合理發行價格難以確定，一般取決於投行對發行股票公司價值的估計。投行對公司市場價格的估計等於公司價值除以發行股票的數量。但一般來講，投行設定的價格會低於其市場價格。這是因為投行不想承擔股票不能賣出的風險（一般來講，投行每賣出一股，就會得到手續費，而與賣出的股票價格無關）。

市場上常常看到的一種情況是當股票在最初發行後，股票價格馬上會顯著上漲（有時會高達40%），這說明公司原本可以將股票價位定得更高來取得更多的資金。正因為如此，IPO對於許多投資者而言具有吸引力。投行常常將IPO分配給基金經理以及其他大公司的高管。投行這麼做的目的是在將來贏得更多的業務（投行的這一做法被稱為“違規派送行為”（spinning），通常監管人員對這一行為嗤之以鼻）。

2.4.2　荷蘭式拍賣

一些公司用荷蘭式拍賣（Dutch auction）的方式來進行IPO發行。在一個常規的IPO發行過程中，發行公司要提供一個招股說明書並進行路演，購買股票的個人或機構客戶要表明希望買入股票的價格和數量。股票首先分配給出價最高的客戶，然後分配給出價次高的客戶，依此類推，直到股票全部售完為止。全部成功中標者所需支付的最後價格為所有股票分配完時，最後一個投標者所出的價格。例2-2說明了荷蘭式拍賣過程。

【例2-2】　一家公司想在IPO中賣出100萬份股票，該公司決定採用荷蘭式拍賣形式進行發行。下表顯示了投標人所給出的價格。在這一例子中，股票會首先分配給C，然後是F，然後是E，然後是H，然後是A。到此為止800000份股票已全部被分配，接下來最高的競標價由D給出，投資者D想買入300000份股票，因為這時只有200000份股票沒有被分配，投資者D只能買入其競標數量的2/3。最終，所有投資者需要付出的價格與D的競標價相同，即29美元。

荷蘭式拍賣解決了傳統IPO過程中的兩個潛在問題。首先，市場的出清價（例2-2中的29美元）相當於所有的潛在投資者進行競標後的市場價；其次，避免了投行進行IPO發行時給予某些客戶不當優惠的現象。但是，在這一過程中，IPO公司不能充分利用投行與其大型客戶之間的業務關係，而這些關係通常可以幫助投行快速地完成IPO股票銷售。一個非常著名的使用荷蘭式拍賣的IPO案例是2004年穀歌的上市，其過程在業界事例2-1中進行了討論。

2.4.3　顧問服務

除了幫助公司發行證券，投資銀行也為企業併購、退出、重大重組等活動提供諮詢服務。投行可以幫助企業尋求併購合夥人、收購對象，也可以幫助希望出售某些分支機構或子公司，從而從投資中退出的企業中尋找潛在買家。投行還可以為已成為併購目標的公司提供顧問服務。在某些情況下可以為公司提供避免被併購的應對措施。這些措施被稱為毒丸（poison pill）。毒丸的例子如下：

（1）一家潛在的目標公司可以在其公司章程中加入如下條款：當另一家公司持有的股份數量超過全部股份的1/3時，其他持股人有權以最近市場平均成交價兩倍的價格向該公司出售自己持有的股票。

（2）一家潛在的目標公司可向其核心僱員發放僱員股票期權。當公司被收購時，期權持有者可以馬上行使期權。這種做法可以使核心僱員在公司被收購時立刻出走，從而給公司新主人只留下一個空殼。

（3）一家潛在的目標公司可以在其公司章程加入新的條款，規定新擁有者不能在買入公司後的1年或2年內更換現任董事會成員。

（4）一家潛在的目標公司可以發行優先股（preferred share），這些優先股在公司的控制權變更時自動轉換為普通股。

（5）一家潛在的目標公司可以在其公司章程中加入新條款，規定現有持股人有權在公司被收購時或收購後，以低價買入公司股票。

（6）一家潛在的目標公司可以改變其投票制度，使得管理層持有的股票所對應的投票權大於其他持股人所擁有的股票。

毒丸方案在美國之外的許多國家是違法的，該方案的執行一定要獲得股東批准。一般來講，股東會反對毒丸方案，因為這類方案以公司管理人員的利益為出發點。在業界事例2-2中我們討論了仁科公司所提出的異乎尋常的毒丸計劃。

估值、戰略和戰術是投資銀行提供諮詢服務的幾個關鍵層面。例如，某投行為公司A提供關於買入公司B的諮詢服務，投行首先要對公司B有一個合理估值，併為公司A估測在兩家公司合併後的增效作用（synergies），同時投行也要替公司A考慮應向公司B的股東提供現金還是換股交易（share for share exchange，即以一定數量公司A的股票換取公司B的股票），最初的出價應為多少？為了保證交易成功，最終的底價應為多少？投行要考慮以什麼方式接觸公司B的高管，以及高管會被什麼樣的條件打動。投行要判斷出這項收購協議是否會被認為是惡意的（即公司B的管理層會反對）或者是善意的（即公司B的管理層會支持）。在某些情況下的併購會涉及反壟斷法律問題，這時的收購定要有政府有關部門的批准。

2.5　證券交易

證券交易、經紀服務以及為某些證券進行做市是銀行常見的業務。在這些領域，銀行與那些不從事其他非銀業務的較小規模的證券公司進行競爭。^[1]前面已經提過，美國的《多德-弗蘭克法案》不允許銀行進行自營交易。在其他一些國家，自營交易雖然是被允許的，但通常需要在架構上保證自營交易的損失不能對儲戶產生影響。

大部分大型投資和商業銀行都有大量的交易活動。除了自營交易外（合規與否暫且不論），很多交易是為了給客戶提供服務。例如，一家銀行可能會跟自己的一個企業客戶進行一筆衍生產品交易，幫助客戶降低匯率風險。同時，銀行也會為了對衝自身的風險進行交易（這類交易通常在同業之間）。

在證券交易中，經紀商扮演的角色是從其客戶處收取交易指令，並提交到交易所執行完成交易。有些經紀商可在全國範圍內經營業務，而其他一些經紀商只在某個特定的區域內從業。有些經紀商可以為客戶提供投資研究和顧問服務，這類經紀商被稱作全套服務經紀商。還有一類折扣經紀商（discount broker），他們收取的手續費較低，但不提供顧問服務。有些經紀商提供在線服務（online service），還有些經紀人提供電子交易（如E^*trade）平臺，客戶可以在沒有經紀商協助的情況下通過交易平臺進行交易。

在證券交易中，做市商的作用是隨時向市場提供證券的買入價以及賣出價。做市商接受詢價時，通常不必知道對方是要賣出還是要買入。做市商的利潤來自買賣證券的價差，但其面臨的風險有時會高至不可接受。

許多股票、期權、期貨交易所採用做市商制度。交易所通常會規定做市商可收取的最大買賣價差。除了交易所內交易的產品，長期以來，銀行還為其他許多場外交易（OTC）市場產品（例如遠期合約、互換合約以及期權）做市（見第5章關於這些產品及場外交易市場的討論）。目前，這些產品的交易和做市活動越來越多地在電子平臺上進行，例如美國的互換執行設施（Swap Execution Facility，SEF）及歐洲的有組織交易設施（Organized Trading Facility，OTF）（見第16.5節和第17.2節）。

[1] 這種說法對歐美混業經營的銀行來說沒有什麼問題，但並不適合用來描述當前中國的銀行。——譯者注

2.6　銀行內部潛在的利益衝突

在同一家企業旗下，銀行的商業銀行業務、證券服務業務及投資銀行業務之間存在許多潛在的利益衝突，例如：

（1）當某投資者向銀行諮詢理財業務時，銀行往往可能向客戶推薦其投行部門正在銷售的證券。當銀行持有某個託管賬戶（fiduciary account，即銀行代理客戶進行交易的賬戶）時，銀行可能將那些難以賣出的證券硬塞到這些賬戶下。

（2）銀行向某客戶提供貸款時，往往會取得一些關於該客戶的保密信息。之後銀行可能會將這些信息傳遞給自己投行的併購部門。併購部門就可以利用這些信息，幫助其正在提供併購諮詢服務的客戶尋找潛在併購目標。

（3）證券研究部門可能會刻意將某公司的股票推薦為“買入”級，以取悅該公司的管理層，從而獲取投資銀行業務。

（4）假定某商業銀行在取得了關於某公司的保密信息後，認定這家公司破產的可能性在增大，銀行因此不準備繼續持有併為該公司提供貸款。這家商業銀行可能要求其投行部安排該企業發行債券，然後利用發行債券融來的資金償還貸款。這麼做的效果是利用那些信息不靈通的投資者的投資替換了自己發放的貸款。

正是由於這些潛在的利益衝突，過去有些國家試圖將商業銀行和投行分業經營。美國在1933年通過的《格拉斯-斯蒂格爾法案》（Glass-Steagall Act）限制商業銀行及投行業務的交叉運作。商業銀行可以繼續承銷某些國債或地方政府債券，它們也允許進行私募交易，但不得從事諸如公開發行股票等業務；類似地，投行也不能吸收存款以及發放商業貸款。

1987年，美聯儲在一定程度上放鬆了監管規則，即允許銀行控股公司有兩個分支來從事投行及商業銀行業務，但投行業務的收入佔集團整體收入的比率要在一定水平之下。

1997年，銀行監管法規進一步放鬆，商業銀行可以收購已存的投資銀行。最終在1999年，美國通過了《金融服務現代化法案》（Financial Services Modernization Act）。該法案事實上消除了銀行、保險公司以及證券公司運作上的限制。2007年，美國有5家（幾乎）不從事商業銀行業務的大型投行，它們分別是高盛集團、摩根士丹利、美林、貝爾斯登以及雷曼兄弟。2008年的信用危機導致了雷曼兄弟的破產，貝爾斯登被摩根大通收購，美林被美國銀行（Bank of America）收購，高盛集團及摩根士丹利變身為既從事商業銀行業務也從事投行業務的銀行控股公司（因此，這兩家銀行必須降低槓桿比率，並且要受到更多的監管審查）。2008年宣告了美國投行時代的結束。

我們還沒有重回商業銀行和投行必須分業經營的《格拉斯-斯蒂格爾法案》時代，但是越來越多的銀行被要求對存款業務進行絕緣防護，保證其不被投行業務的損失波及。

2.7　今天的大型銀行

今天的大型銀行在全球範圍內運作，其業務往往涉及不同地區。這些銀行仍然從事傳統商業銀行業務，例如吸收存款、發放貸款並進行支票結算（國內及國際）。這些銀行也向客戶發放信用卡、提供電話銀行服務、網絡銀行服務、自動取款機（ATM）服務，同時這些銀行還為企業提供工資支付服務，它們還進行規模巨大的交易活動。

銀行為企業及私人客戶提供信用額度（line of credit），也為從事出口的企業提供各類不同的服務。企業可以同銀行之間進行交易以對衝自身面臨的由於外匯、商品價格、利率以及其他市場變量引起的風險，我們將在後面幾章中對這些合約進行討論。在此，我們想指出，一些甚至與氣候有關的風險也可以被對衝。

從事證券研究的銀行可以對各只股票給出“買入”“賣出”以及“持有”的不同評級，這些銀行同時從事經紀服務（折扣經紀及全面服務經紀）。它們也從事信託服務，即替客戶管理投資組合。銀行內部設有經濟部，其職責是研究宏觀經濟走向以及中央銀行相關的政策。經濟部對利率、匯率、大宗商品價格及其他市場變量的走向提供預測。銀行還提供不同類型的共同基金。有些銀行本身也擁有對衝基金，現在有越來越多的銀行還提供保險產品。

銀行的投行部可以暢通無阻地承銷政府及企業發行的證券，還可以向客戶提供關於併購以及其他與企業融資有關的諮詢服務。

第2.6節所描述的利益衝突又是怎麼被合理管理的呢？解決辦法就是被稱為“防火牆”的職能分管制度。職能分管制度是指為了防止不利於銀行客戶的信息從銀行的一個部門傳播到另一個部門而設定的內部障礙。在一些大銀行中曾發生過一些著名的違規事例，這些違規事件導致了鉅額罰款以及法律訴訟。銀行最高管理層有加強職能分管制度實施力度的動機，這不只是由於罰款及法律訴訟，而且也是因為銀行的名譽是其最寶貴的資產。有關利益衝突的反面報道會讓投資者對銀行的信心產生損害，從而使銀行在很多領域喪失業務機會。

2.7.1　會計規則

現在是一個很好的時機來簡要討論一下銀行如何計算各種業務的盈利與虧損。對那些收取手續費的大多數投行業務活動，計算盈虧十分簡單。計算方式為應計制會計規則（accrual accounting），這與其他行業相應的會計規則十分相似。

對於銀行的其他業務，我們應該認識到“銀行賬戶”（banking book）與“交易賬戶”（trading book）的區別。顧名思義，交易賬戶包括所有銀行的交易行為產生的資產和負債。這些資產及負債的價值均以每天盯市計價的方式進行計量。這意味著該賬戶中每天的價值變化均反映市場價格的變化。如果一個銀行交易員在某天以100美元的價格買入某資產，假定在第二天價格下跌至60美元，銀行馬上會計入40美元的損失，即使在短期內無意賣出該資產，損失仍然會出現在賬面上。有時因為市場沒有相似交易，所以某些資產的價值並不是十分容易估計。例如，市場上可能沒有足夠的流動性，或者某種複雜的非標準衍生產品交易頻率很低，不足以生成市場參考價。即使在此類情況下，因為財會準則的要求，銀行還是必須得出一個市場價格。常見的做法是引入模型。這種通過模型得出市場價格的過程也被稱為以模型定價（marking to model）（在第25章中我們將進一步討論模型風險及會計準則存在的問題）。

銀行賬戶包括銀行向企業及個人客戶發放的貸款。對這些產品，銀行不需要盯市計價。然而，由於國際會計準則理事會頒佈了新的會計準則IFRS 9，以及美國財務會計準則理事會的類似會計準則更新，這種情況正在發生改變。新的會計準則要求貸款機構估計其貸款組合中預期的信貸損失金額，並相應地調整貸款組合的價值。新規定部分是由於2007年開始的金融危機所致，銀行的次級抵押貸款投資組合表現不佳，但在實際發生之前不必報告損失。

如業界事例2-3所示，有時銀行會採用一些人為的方式來避免認定已發生的貸款損失。

2.7.2　發起-分銷模式

我們在表2-2～表2-4中所討論的虛擬小銀行DLC的業務模式是吸收存款並使用存款資金來發放貸款。另外一種模式被稱作發起-分銷模式（originate-to-distribute model）。在這種模式下，銀行僅發放貸款，但並不一直持有該貸款。銀行將貸款打包、分級，然後再將各分級銷售給投資者。

美國住房按揭市場採用發起-分銷模式由來已久。為了增加按揭市場的流動性，並保證住房擁有率的增長，美國政府成立了3個由政府支持的機構：政府國民抵押貸款協會（Government National Mortgage Association，GNMA，簡稱“吉利美”（Ginnie Mae））、聯邦國民抵押貸款協會（Federal National Mortgage Association，FNMA，簡稱“房利美”（Fannie Mae））以及聯邦住房抵押貸款公司（Federal Home Loan Mortgage Corporation，FHLMC，簡稱“房地美”（Freddie Mac））。這些機構從銀行或其他發放住房按揭貸款的機構買入按揭池，並對按揭的利息及本金償還提供擔保，然後將現金流打包，再賣給投資者。投資者一般承擔提前償付風險（prepayment risk）。這類風險是由利息下降時，按揭會被提前償還而造成的風險。但投資者並不承擔信用風險，因為這些按揭貸款是由GNMA或FNMA或FHLMC擔保的。從1999年起，FNMA及FHLMC開始為次級貸款提供擔保，結果造成這兩家機構陷入了嚴重的財務危機。^[1]

長期以來，發起-分銷模式一直被銀行用來處理各種形式的貸款，其中包括學生貸款、商業貸款、商業按揭、個人住房按揭以及信用卡應收款項等。在很多情況下，這些貸款是沒有擔保的，因此貸款被打包銷售後，投資者將承擔信用風險。

發起-分銷模式也被稱為證券化（securitization），因為從銀行發放的貸款產生的現金流中生成了證券。這種模式對銀行具有吸引力。通過證券化，銀行可以將貸款從資產負債表上分離，因此可以騰出更多的資金來發放更多的貸款。這麼做也可以將資本金釋放出來，用於覆蓋銀行其他部門的風險（當銀行認為監管部門對貸款所要求的資本金過高時，這麼做尤其有吸引力）。銀行在發放貸款時會掙得手續費，在貸款被賣出後，如果仍對貸款進行日常管理，那麼銀行還可以繼續收取手續費。

如我們在第6章中將要討論的，發起-分銷模式在2000～2006年失去了控制。銀行放鬆了按揭貸款發放標準，因此證券化後的證券信用質量大幅下滑。由此導致了一次嚴重的信用危機。在這期間發起-分銷模式沒有任何市場，因為投資者對證券化產品完全喪失了信心。

[1] GNMA一直由美國政府擁有，而FNMA及FHLMC是由權益人所擁有的私有化公司。在2008年的危機中，美國政府不得不採取緊急措施來接管FNMA及FHLMC。

2.8　銀行面臨的風險

銀行的業務運作會觸發許多不同類型的風險，在本書後面的內容中我們將會詳細討論。

中央銀行的監管人員要求銀行必須持有足夠的資本金以應對自身的風險。1988年，一種決定資本金的國際規則終於誕生。在第15～17章中，我們將討論這些規則以及其進化過程。目前，銀行持有的資本金應能應對3種風險，即信用風險、市場風險及操作風險。

信用風險是指貸款業務及衍生產品交易中對手違約所觸發的風險。傳統上該類風險是銀行所面臨的最大風險類型，因此相應的監管資本金數量也最高。市場風險主要來自銀行的交易業務，該類風險與銀行交易賬戶上資產價值下跌的可能性有關。操作風險是指由銀行內部系統失效或外部事件造成損失的風險。在考慮信用風險及操作風險時，我們設定的展望期為1年，而市場風險所對應的展望期通常要短得多。監管機構設定資本金的目的是保證銀行的資本金數量足夠大，從而使銀行破產的可能性變得很小。例如，在考慮信用風險及操作風險時，資本金設定的要求是使非預期損失超過資本金數額的概率僅為0.1%。

除了計算監管資本金，大多數銀行還設定系統來計算經濟資本金（見第26章）。經濟資本金是銀行使用自有模型，而不是監管部門所設定的模型計算出的銀行自認為所需的資本金。經濟資本金一般會小於監管資本金，但是銀行必須保證所持有的資本金要高於監管資本金。資本金的構成類型（股權資本、次優先級債券等）要由監管機構來定義。為了避免陷入不得不在短期內籌措大量資本金的境地，銀行一般會將持有的資本金數額設定在遠高於最小監管資本金要求的水平。

在2007年及2008年，銀行紛紛公佈其次債組合的鉅額損失，其中很多不得不緊急籌集新的股權資本。由多個國家政府掌握的主權財富基金（sovereign wealth fund）為銀行注入了一定的資本金。例如，在花旗集團公佈其遭受了400億美元的損失後，2007年11月阿布扎比投資局（Abu Dhabi Investment Authority）對其投入了75億美元的股權資本金。接下來在2008年1月新加坡及科威特政府又投入了145億美元的資本金。之後，花旗集團及其他銀行為了生存又不得不從自己的政府請求注入資金。

小結

大銀行是從事各種不同業務的全球性機構。今天世界上最大型的銀行從事的業務包括存款、貸款、證券承銷、交易、提供經紀和託管服務、為各類企業融資行為提供諮詢、設立共同基金、為對衝基金提供服務等。銀行內存在潛在的利益衝突，為此銀行設定了內部管理規定。公司管理層要強化管理力度以確保僱員服從這些管理規定。由於不當行為造成的名譽、法律訴訟方面的損失以及罰款可能使銀行付出高昂的代價。所謂不當行為一般是指為個別客戶（或銀行自身）謀利而使其他客戶（或銀行）的利益受到損害的行為。

現在針對銀行的監管，已有國際協議。這意味著銀行在不同國家經營業務時，對銀行所持有的資本金要求不會因業務所在國家的不同而有顯著差別。許多國家為小額存款提供了存款保險制度，這對確保公眾對銀行系統的信心，避免出現因為銀行負面消息（或許只是謠言）的公佈而導致的擠兌現象非常關鍵。

延伸閱讀

練習題

2.1　美國銀行系統的分佈情況在1984～2017年產生了什麼樣的改變？

2.2　美國政府通過什麼樣的政策造成了大量小型社區銀行的出現？

2.3　銀行以短期存款支撐長期貸款會有什麼樣的風險？

2.4　假定一個名為DLC銀行（見表2-2和表2-3）的失控交易員在進行外匯交易時損失了700萬美元，你認為由此會觸發什麼事情？

2.5　利息收入的含義是什麼？

2.6　第2.2節的DLC銀行收入中哪一項會主要受到以下風險的影響？（a）信用風險；（b）市場風險；（c）操作風險。

2.7　解釋名詞“私募”及“公募”的含義。在公募中“代銷”及“包銷”的含義是什麼？

2.8　一個荷蘭式拍賣的競標價如下。

如果拍賣股票數量為150 000股，投資者所付的價格為多少？每個投資者會被分配多少份股票？

2.9　荷蘭式拍賣與正常IPO比較的好處是什麼？谷歌的IPO過程與標準荷蘭式拍賣過程有哪些不同？

2.10　企業高管有時認為毒丸計劃符合股東的最大利益，因為這可以使高管從可能的併購中套取更高的股價，討論這一觀點。

2.11　給出一個大銀行內3個潛在的利益衝突，對這些衝突應該如何處理？

2.12　銀行賬戶與交易賬戶的區別是什麼？

2.13　在2007～2008年金融危機後，貸款賬戶發生了什麼變化？

2.14　什麼是發行-分銷模式？

作業題

2.15　監管人員在計算DLC銀行（見第2.2節）時，假定收入回報服從正態分佈，均值為60萬美元，標準差為200萬美元。除了表2-2給出的資本金，銀行還需要多少股權資本以保證在99.9%的把握之下，銀行的資本金不會被完全消除？

2.16　解釋在存款保險機制下的道德風險，如何克服這一類風險？

2.17　某荷蘭式拍賣的競標價如下。

拍賣股票數量為210 000，投資者最終所付價格為多少？每個投資者所分配的股票數量為多少？

2.18　某家投行要為某公司發行1 000萬份股票，投行試圖確認是以包銷或是非包銷的形式來實施股票發行，包銷形式中每份股票價格為10美元，非包銷形式中每銷售1份股票，收費為20美分，比較兩種不同承銷方式的優缺點。

第3章
保險公司和養老基金

保險公司的作用是為不利事件提供保護。尋求保護的公司或個人被稱為投保人（policyholder）。投保人向保險公司定期支付保費（premium），並在某一約定的受保事件發生後從保險公司取得賠償。保險一般可分為人壽保險及非人壽保險，而健康保險常常被認為是保險中的獨立分支。非人壽保險有時也被稱為財產及意外傷害險，我們在今後將沿用這個詞。

人壽保險一般持續時間較長，保險公司在投保人死亡後會向受益人支付賠償。財產及意外傷害險的合約期限通常為1年（雖然合約一般可以延續），這類保險在出現事故、火災、被盜或其他類似事件時會向受保人支付賠償。

保險合約已存在多年。遠在公元前200年，古希臘就存有一種形式的保險合約，在這種合約中，個人可以一次性支付一筆款項（數量與年齡有關）。在付款之後，這個人在其餘生內每個月均可收到一定的收入。古羅馬有一種不同形式的合約，在合約中投保人可以買入某合同，而當投保人死後，他的親戚可以收到一定的賠償。在中國古代也存在一種財產災害保險合約，合約是在商人群體之間達成的，合約註明如果某個商人的商船不幸沉沒，那麼其他商人需要提供賠償。

養老基金計劃是由公司僱主為其僱員安排的一種保險合約，其設計是為了保證在僱員退休後，保險計劃將在僱員的餘生內為其提供收入。一般僱員及僱主每個月都要定時向養老基金計劃進行供款，計劃中的基金將這些資金進行投資，為退休人員提供收入。

在本章中，我們將討論保險公司合約的運作方式，還將討論保險公司所面臨的風險以及對其的監管方式。此外我們還將討論與養老金有關的一些其他關鍵問題。

3.1　人壽保險

在人壽保險合同中，保險公司向投保人支付的賠償在一定程度上與投保人的死亡時間有關。在美國以外的地區，人壽定險（life assurance）是用來描述在將來某一時刻，受保事件必定發生後，為受保人所提供保護的合約（例如，在投保人死亡後，保險公司將賠償100 000美元的合約），而人壽保險（life insurance）是指為將來有可能發生，也有可能不發生的事件所提供的保險合約（例如，在受保人意外死亡時提供回報的合約）。^[1]在美國，這兩類保險都被稱為人壽保險（即life insurance）。本書中提到的人壽保險也將採用這個定義。

根據國家的不同，市場上有許多不同的人壽保險產品，我們在下面將介紹常見的幾種。

3.1.1　定期壽險

定期壽險（term life insurance）有時也被稱為暫時壽險（temporary life insurance），這種合約只持續一定的年限。如果投保人在保險期限內死亡，那麼保險公司會向合約中指定的受益人支付賠償，賠償數量等於保單面值所示的賠償額；如果投保人在合約期限內沒有死亡，那麼保險公司不會支付任何賠償。保險投保人要每月或每年定期向保險公司支付保費，保費一直要支付到合約的到期日或投保人的死亡日（以兩個日期中較早的一個為準）。保單的保額一般為恆定或隨時間而遞減，保費一般為恆定或隨時間而遞增。有一種合約被稱為每年可續簽（annual renewable term）合約。在這種合約中，保險公司保證保險可以按年續簽，但收取的保費會隨投保人的年齡增長而增長，而與投保人的健康狀況無關。

定期壽險存在的原因往往是按揭貸款。例如，某個年齡為35歲的人可能持有一個25年的按揭，他可能會買入一個25年期限的保險合約（保額逐漸降低），合約闡明當投保人死亡時，保險公司會為其子女提供賠償來還清按揭貸款。

3.1.2　終身壽險

終身壽險（whole life insurance）有時也被稱為永久壽險（permanent life insurance），這種保險合約為投保人終生提供保險，投保人在其餘生內每月或每年定期向保險公司支付保費，在投保人死後，保險公司向投保人指定的受益人提供賠償。在定期壽險中，最終保險公司會不會支付賠償具有不確定性，但在終身壽險中，只要投保人一直支付保金，最終的賠償沒有不確定性，唯一不確定的是賠償時間。終身壽險的費用要遠高於定期壽險，這一點不出所料，通常在終身壽險中，保額以及保金數量不隨時間變化而變化。

投保人常常會提前退保（redeem或surrender），或者以保單作為貸款的抵押物。當投保人想提前退保時，有時其他投資者能夠以高於保險公司支付的退保額的價格從投保人手中買入保單。然後，投資者繼續支付保費，並且在投保人死亡時會從保險公司收到賠償。

我們可以將終身壽險的年度保費與當年的定期壽險成本進行比較。假定一個40歲的男性買入面值為100萬美元的終身壽險，每年所付的保費為20000美元。我們在今後將看到，一個40歲男性在一年內死亡的概率為0.00209，這說明一年的保險的公允價值為2090美元，這意味著在第一年的保費中有17910美元的盈餘數量（surplus premium）可被用於投資。一個41歲男性在一年內死亡的概率為0.00224，這說明第二年保險的公允價值為2240美元，這意味著在第二年的保費中有17760美元的盈餘數量可被用於投資。每年保險成本隨著投保人年齡的增大而逐漸增長。在某一個時間段，保險成本會超過保費。在我們的例子中，在投保30年後，每年的保險成本將超過保費。男性在70歲時，一年內死亡的概率為0.02353（在第30年時，保險的公允價格為23530美元，這比保險公司每年收入的20000美元保費要大）。圖3-1比較了保費數量與每年的保險成本。在受保前期，保險公司將盈餘保費進行投資，投資回報可以用於彌補保費與後期成本的差距。圖3-1顯示了保費中有一個儲蓄的成分（saving element）。在受保前期，保險公司代表投保人將保費中超出覆蓋保險支出風險的那一部分資金進行投資。

圖3-1　人壽保險每年的成本與終身壽險年度保費的比較

在許多國家，保險合約可以享受稅務優惠。如果投保人將盈餘保費另外進行投資，那麼投資回報通常要被徵稅。但是當盈餘保費作為保單的一部分進行投資時，稅收政策往往對受益人更為有利。只有在投保人死亡後，投資回報才被徵稅。在有些情況下，保險受益人得到的賠償金是不用繳納所得稅的。

3.1.3　變額壽險

終身壽險合約要涉及將投保人的資金進行投資，對該類保險的一個自然擴展是允許投保人指定資金的投資方式。變額壽險（variable life (VL) insurance）是終身壽險的一種特殊形式，在該險種中，以上討論過的盈餘保費投資於投保人指定的基金。基金可以是股票型基金、債券型基金以及貨幣市場基金。在投保人死亡時，賠償數額有一個最小保證，但如果基金表現良好，賠償數額可能會很高，投資所得可用於作為保費，投保人也可以隨時將資金在基金間進行轉換。

3.1.4　萬能壽險

萬能壽險（universal life (UL) insurance）也是終身壽險的一種形式。在這種保險中，投保人可以將保費減至不造成保險失效的某個最低水平。以上討論的盈餘保費被保險公司投資於債券、按揭和貨幣市場產品之中。保險公司將擔保最低回報率，例如4%。投保人有兩種選擇：一是在死亡時，保險受益人得到固定收益；二是受益人可以在投資回報高於擔保最低收益時，得到更多的賠償額。顯然，對應於第一種選擇，投保人須繳納的保費會更低。

3.1.5　變額-萬能壽險

變額-萬能壽險（variable-universal life (VUL) insurance）綜合了變額壽險及萬能壽險的不同特性。投保人可以將盈餘保費投資於不同形式的投資產品之中。保險公司對於投保人死亡的賠償額底線提供擔保，投資的回報可用於支付保費，保費也可減至為保證保單仍然有效的一個最低數量。

3.1.6　儲蓄壽險

儲蓄壽險（endowment life insurance）有一定期限，賠償金在投保人於合同期內死亡或於合同到期時一次性支付。市場上存有不同形式的儲蓄壽險。儲蓄壽險的最終支付額可以被提前說明，而與投保人在保險到期時是否健在無關。有時保險的支付與投保人有重大疾病有關。在帶利儲蓄壽險（with-profit endowment life）合約中，保險公司可以定期根據投資的表現來定出合約的分紅數量，分紅會逐漸累積。假定投保人的壽命超出了保險期限，累積分紅可以增大最終向投保人所支付的賠償金額。在投資聯結儲蓄壽險（unit-linked endowment insurance）中，保險最終支付的金額與投保人選擇的基金的表現有關。在一個生存儲蓄壽險（pure endowment insurance）合約中，保險最終的支付是建立在合約到期時投保人仍然健在的條件上。

3.1.7　團體壽險

團體壽險（group life insurance）在一個合約下為許多人提供保險，這種保險常常是公司僱主為其僱員購買，合約的形式可能是參與型（contributory）或非參與型（noncontributory）。在參與型團體壽險中，僱主和僱員共同支付保費；在非參與型團體壽險中，僱主支付全部保費。團體壽險有一定的規模經濟（economy of scale）效應，出售和管理保單的成本會較低。在單人壽險中，投保人要做身體檢查，而對團體壽險一般沒有這個要求。保險公司清楚，在某些受保人身上承擔的風險會低於平均水平，而在另外一些受保人身上承擔的風險會高於平均水平。

[1] 從理論上講，英文中的人壽定險合約是指那些投保事件一定會發生，但合約是否會提供賠償具有不確定性的保險合約。因此，為一個投保人在今後10年內死亡提供保險的合約屬於這種類型。在實際中，合約的區分（即life assurance與life insurance的區分）並不是十分嚴格。——譯者注

3.2　年金

許多保險公司提供年金合約，人壽保險合約的效應是將許多定期繳納的保金轉化為一次性償付，而年金的效應正好相反，即將一次性繳納的保金轉化為定期的償付。在一個典型的年金合約中，投保人向保險公司進行一次性付款，然後保險公司向投保人支付年金，支付從某一個特定的時間開始，一直到投保人生命的結束。在有些情況下，年金支付在投保人一次性繳納保金後馬上開始。更為常見的形式是投保人在年金付款開始的幾年以前進行一次性繳納，保險公司在收到年金後馬上進行投資來保證年金付款（這樣的年金被稱為延遲年金（deferred annuity））。有時投保人不採用一次性繳納的形式，而是按月、季度或年繳費，相當於將儲蓄轉化成了年金。

與人壽保險類似，年金常常可以給投保人帶來稅務延遲方面的好處。這是因為在通常情況下，投保人收到年金後才需要繳稅。由保險公司代表投保人進行投資的資金所取得的收益被稱為累積結餘（accumulated value）。一般來講，投保人可以提前提取資金，但通常會伴有罰款。換句話講，年金合約的提前退保價值（surrender value）往往小於累積結餘，這是因為保險公司必須收回賣出及管理資產的成本。有些合約允許投保人在一年內提取累積結餘或初始投資的一定比例，而無須繳納罰款。如果在開始支付年金前，投保人死亡（或者在某些情形下，投保人住進了有全職護士服務的養老院（nursing home）），則累積結餘也可被提取，而無須繳納罰金。

美國的一些延遲年金產品中內含期權。累積結餘有時會與股指掛鉤，例如標準普爾500指數。收益增長的上下限會被指明，如果指數在某年的增長率低於某個下限，累積結餘的增長率就以下限增長率為準；如果指數在某年的增長高於某個上限，累積結餘的增長率就以上限增長率為準；否則累積結餘的增長率就以標準普爾500指數的增長率為基準。假定累積結餘的增長率下限為2%、上限為8%，這說明投保人的累積結餘在任何一年增長率的下限為2%，但同時也放棄了增長率超過8%以上的超額收益。在該類合約中，投保人不會如股票市場投資者一般得到股指中的股息分紅，同時保險公司也有權改變某些年累積結餘的增長率的上下限。這類產品對那些想取得股票市場收益，但又不想承擔累積結餘下跌風險的投資者十分有吸引力。有時累積結餘的年度增長率會是股指回報的一個複雜函數。

過去，英國保險公司提供的年金合約通常會提供一個用於計算累積結餘支付額的最小保底利率。許多保險公司將這些保證（實際上是投保人持有的利率期權）當作市場營銷的必要費用，因而沒有計算這些期權的費用，也沒有對其風險進行對衝。當利率降低並且投保人的壽命延長時，許多保險公司就會陷入財務困境，如業界事例3-1所示，一家保險公司因此而倒閉。

[1] 時任英國議會醫療服務監察員。——譯者注

3.3　死亡率表

死亡率表是人壽保險合約定價的關鍵，表3-1是美國社會保障部（Department of Social Security）給出的2013年的人類死亡率表。為了理解這一表格，我們考慮對應於年齡為31歲的一行，表中第2列顯示一個31歲男性在1年內死亡的概率為0.001505（即0.1505%）。第3列顯示了一個男性能夠活到31歲的概率為0.97376（即97.376%）。第4列顯示一個31歲男性的剩餘預期壽命（remaining life expectancy）^[1]為46.89年。這意味著平均來講，一個男性的預期壽命為77.89歲。表中的其他3列是關於女性的數據，一個31歲女性在一年內死亡的概率為0.000705（即0.0705%），一個女性能活到31歲的概率為0.98569（即98.569%），31歲女性的剩餘預期壽命為51.04年。

表3-1　死亡率表

資料來源：美國社會保障部，www.ssa.gov/OACT/STATS/table4c6.html.

表格數據顯示，在生命的前10年，一個人在下一年死亡的概率是年齡的遞減函數；在10年之後，死亡的概率是年齡的遞增函數。女性的死亡率數據比男性好看一些，如果一位男性能活到90歲，他在下一年的死亡概率為16.7%；數據還顯示當男性活到100歲時，他在下一年死亡的概率為35.4%；活到110歲時，下一年死亡的概率為57.6%。對於女性而言，相應的概率為13.2%、30.5%及54.6%。

表3-1中的所有數據都可以從“一年內死亡的概率”這一列中的數據計算出來。一個人活到n+1歲的概率是這個人活到n歲的概率與1減去一個n歲的人在下一年內死亡的概率的乘積。例如，男性活到61歲的概率可以計算為0.861 12×（1-0.011 197）。

接下來考慮某個年齡段的人的預期壽命。這可以根據第1年、第2年、第3年以及往後年份的死亡概率來確定。從表3-1中來看，一個現年90歲的男性在1年內死亡的概率是0.167 291。他在第2年（介於91歲和92歲之間）死亡的概率等於他在第1年仍然活著的概率乘以他在91歲後1年內死亡的概率。根據表格第2列的數字，可以表示為

（1-0.167 291）×0.184 520=0.153 651

類似地，一個現年90歲的男性在將來的第3個年間（即介於92歲和93歲）死亡的概率為

（1-0.167 291）×（1-0.184 520）×0.202 954=0.137 817

假設死亡平均發生在每年的年中，一個90歲男性的預期剩餘壽命為

0.5×0.167 291+1.5×0.153 651+2.5×0.137 817+…

【例3-1】　假定對應於所有期限的利率均為4%（每半年付息一次），保險的保費在年初時支付，為一個具有平均健康狀態的90歲男性投保一個保額為100 000美元的人壽保險的盈虧平衡保費（break-even premium）為多少？假定保險期限為1年，預期賠償值為0.167 291×100 000，即16 729美元。假定賠償支付時間在年正中（在平均意義上，這是一種準確的估計）；保費等於預期賠償以6個月的利率進行貼現得到的當前值，我們已知貼現利率為4%，利率一年複利兩次，賠償值的貼現值等於16 729/1.02，即16 401美元。

接下來假定保險的期限為2年，在第1年的預期賠償貼現值如上所述，即為16 401美元。受保人在第2年死亡的概率為（1-0.167 291）×0.184 520=0.153 651，因此在第2年的預期賠償為0.153 651×100 000=15 365美元。假定賠償支付時間在第18個月，預期賠償的貼現值為15 365/1.02³=14 479美元。因此整體預期賠償的貼現值為16 401+14 479=30 880美元。

接下來我們計算保費的支付。首先我們知道第1次保費一定會在第1年年初被支付；第2次保費在第2年發生的概率為男性在第1年內仍然生存的概率，即1-0.167 291=0.832 709。如果保費數量每年為X，所有保費支付的貼現值等於

盈虧平衡保費X會保證預期保費支付的貼現值等於預期賠償的貼現值，即

1.800 374X=30 880

即X=17 152，因此盈虧平衡保費為17 152美元。

[1] 即在給定年齡下，一個人繼續生存的年限。——譯者注

3.4　長壽風險和死亡風險

長壽風險（longevity risk）是指醫學進步以及生活方式的改變使人類壽命延長，從而給保險公司業務帶來的風險。壽命的延長會給大多數年金合約的盈利帶來不利影響（因為年金支付時間會加長），但大多數人壽保險合約的盈利會增加（因為保險的最終賠償被延遲了，而對於定期壽險，最終支付賠償的可能性減小了）。不同國家人口的預期壽命各不相同，世界大多數地區的人類預期壽命都在逐漸增長。在美國，生於2013年的人比生於1929年的人的平均預期壽命增加了差不多20歲。表3-1中的統計數據基於2013年不同年齡人群的死亡率得出。如果人類預期壽命繼續增加，表3-1的數據就會變成低估值。

死亡風險（mortality risk）是指戰爭、艾滋病（AIDS）等傳染病、“西班牙型流行性感冒”（Spanish Flu）等流行病事件使人類壽命低於預期而引發的風險。這些事件會給大多數保險合約帶來不利影響（因為保險賠償金會被提前支付），但這些事件會增大年金合約的盈利（因為年金支付的時間縮短了）。在計算某種事件對死亡風險的影響時，我們一定要考慮事件對人口中哪些年齡層次的人群影響最大。

從某種程度上講，長壽和死亡風險對於保險公司的年金業務影響會中和這些風險對於常規人壽保險業務的影響，保險精算師必須仔細評估保險公司的業務在不同情形下的淨敞口。我們可以採用再保險（reinsurance）合約或長壽衍生產品（longevity derivatives）來對衝長壽風險，我們接下來將要討論長壽衍生產品，在本書後面的一些章節中我們將會討論再保險合約。

長壽衍生產品

長壽衍生產品為保險公司和養老基金公司提供對衝年金及養老基金產品所面臨的長壽風險的工具。一個典型的合約是長壽債券（longevity bond），也稱為生存者債券（survivor bond）。這類債券在20世紀90年代末首先被引入市場。在這種債券中，首先要定義一個年齡段的群體，債券在某個給定時刻的券息與定義群體中生存的人數成正比。

誰會賣出這樣的債券給保險公司或養老基金公司呢？答案是某些投機者認為這類債券很吸引人，因為它們幾乎不具有任何系統性風險（見第1.3節）。支付的債券券息只與某些人的壽命有關，而與市場回報基本沒有任何相關性。

3.5　財產及意外傷害險

財產及意外傷害險（property-casualty insurance）可細分為財產險和意外傷害險，財產險為投保人的財產損失（由於火災、水災、盜竊等）提供保險；意外傷害險為投保人的法律責任（例如，對第三者身體的意外傷害而導致的）提供保險。有時財產及意外傷害險被包含在同一個保險合約之中，例如，某個住房擁有者可能買入為不同損失提供保險的合約，損失種類包括住房被損壞及被偷竊，以及其他人在其房產中受傷所帶來的法律責任等。類似地，汽車保險所投保的損失包括自身汽車被盜、受損以及其他人受傷帶來的法律糾紛等。

一般來講，財產及意外傷害險每年要進行更新。如果保險公司評估預期賠償將升高，就會在保險更新時提高保費（這與人壽保險中的保費有所不同，人壽保險中的保費在許多年內為恆定的）。財產保險公司的業務面較寬，其業務經營有一種自然的風險分散效應。對於某些風險，大數定理（law of large numbers）會起作用，例如某保險公司為250000個家庭提供了失竊和火災險，我們可以較為準確地預報預期賠償數量，這是因為保險公司是在為一個大數量的獨立（或幾乎獨立）事件提供保險（當然，損失事件及平均賠償數量可能會有某種趨勢，保險公司應該跟蹤這些趨勢，並對保費數量做出相應調整）。

由類似於颶風這樣的自然災害所帶來的財產損失對保險公司而言十分難以預測，例如，2005年夏天發生在美國的“卡特里娜颶風”（Hurricane Katrina）以及2007年1月發生在歐洲西北部的12蒲福氏風級^[1]暴風雪所帶來的損失十分巨大。這類風險被稱為災難風險（catastrophic risk）。災難風險的難以處理之處在於不同的投保人並不相互獨立。保險公司要面對兩種情形：一種情形是颶風在某年發生，保險公司因而必須應對大量與颶風有關的索賠；另一種情形是颶風根本就沒有發生，因此也沒有任何索賠。許多大的保險公司擁有與地理、地震和氣象數據有關的模型來估算災難發生的概率以及相關損失，這些模型為確定保費數量提供了基礎，但模型本身沒有改變保險公司所面臨的“全有或全無”（all-or-nothing）的風險特性。

與災難保險類似，責任保險每年所付出的賠償有所不同，賠償量十分難以估計。例如，由於石棉對工人的危害而觸發的索賠為美國的保險公司帶來了十分昂貴的費用。責任保險的一個特性被稱為長尾風險（long-tail risk）。長尾風險是指在投保期過後的若干年出現索賠的可能性。對於石棉一例，健康危害是在接觸石棉多年以後才表現出來的。因此，保險索賠往往是與幾年以前的保險合約有關。這一特性為精算師和會計師帶來了麻煩，保險公司不能在每年年末馬上結賬並計算盈虧，而必須考慮那些現在並沒有出現，但在今後的某一段時間可能會出現的索賠。

3.5.1　巨災債券

衍生產品市場已經出現了若干種不同的產品可以用來對衝災難風險，最為流行的產品是巨災債券（CAT bond）。這些債券通常由保險公司的子公司發行，其券息比一般債券要高。為了收入高券息，債券的持有者必須在某種類型的災難事件發生時承擔損失。根據CAT債券條款的不同，債券的券息以及本金（或者兩者）都可能被用來支付保險索賠。

假定某保險公司在加州對地震有7 000萬美元的風險敞口。這家公司想對損失中超出4 000萬美元的部分進行保護。保險公司可以發行巨災債券，面值為3 000萬美元，當地震發生時，如果保險公司在加州的損失超過了4 000萬美元，債券持有者將失去其部分或全部本金。另一個做法是，保險公司可以發行一個更大數額的債券，使得只有券息會受到地震損失的影響。還有一種做法是發行3只不同的債券，其承擔損失範圍分別為4 000萬～5 000萬美元、5 000萬～6 000萬美元、6 000萬～7 000萬美元。

巨災債券的特性是其投資者有很高的概率獲取高券息，而蒙受高損失的概率比較低。為什麼有投資者對以上產品感興趣呢？原因在於類似長壽債券，巨災債券風險與市場風險之間沒有統計上的強相關性，^[2]正因為如此，對投資者來說，巨災債券往往是一個可以添加到投資組合中的具有吸引力的選擇。這些債券沒有系統性風險，它們的整體風險完全可以在一個大的交易組合中得以分散。如果一個巨災債券預期回報大於無風險利率（通常是這樣），那麼這種債券可以用於改善風險與回報的替換關係。

3.5.2　財產保險公司盈虧比率的計算

保險公司對於不同類型的保險要計算賠付率（loss ratio），等於1年內賠償數量與全部保費的比。一般來講，這一賠付率大約在60%～80%，A.M.Best所發表的統計數據顯示，這一比率在美國正在逐漸升高。保險公司的費用比率（expense ratio）是指每年費用與全部保費的比，保險公司的兩個最大費用是理賠費用及銷售費用。理賠費用（loss adjustment expense）是指為了確認索賠是否合法以及確認索賠數量所觸發的費用，銷售費用（selling expense）包括對保險經紀的支付以及購買其他業務所帶來的費用。在美國，銷售費用比率在25%～30%，這一費用每年都有減小的趨勢。

綜合賠付率（combined ratio）是賠付率與費用比率的和。假定對於某個保險合約，在某年的賠付率為75%，費用比率為30%，綜合賠付率便為105%。有時保險公司會支付一定小數量的分紅給投保人。假定分紅為保費的1%，將分紅考慮在內，我們可以求得分紅後的綜合賠付率（combined ratio after dividends）。在我們的例子中，這一比率為106%，該比率說明保險公司對於這一保險合約的稅前損失為6%。但事實並非如此，因為保費是在每年的年初由投保人向保險公司支付，而索賠賠償是在一年中，或在之後的一年由保險公司向投保人支付，保險公司因此可以掙得在收入保費及支付賠償損失之間的利息。假定在我們的例子中投資收益為保費的9%。將投資收益考慮在內，我們求得的比率為106%-9%=97%，該比率被稱為經營比率（operating ratio），表3-2是對這一例子的總結。

表3-2　一家財產保險公司計算其經營比率的過程

[1] 蒲福氏風級由愛爾蘭人法蘭西·蒲福海軍上將在1805年左右制定，是劃分風力等級的方法，按強弱將風力劃分為0～12級，共13個等級。——譯者注

[2] See R. H. Litzenberger, D.R. Beaglehole, and C.E. Reynolds, “Assessing Catastrophe Reinsurance-Linked Securities as a New Asset Class,” Journal of Portfolio Management (Winter 1996):76-86.

3.6　健康保險

健康保險（health insurance）具有某些財產及意外傷害險的特性，也具有人壽保險的特性。有時這類保險被列為一個單獨的保險類型。不同國家政府所提供的健康服務有所不同。在美國，傳統上政府提供的公眾健康服務十分有限，因此選擇保險公司是大多數人考慮的一項重要事項。加拿大是另一個極端，幾乎所有的健康服務均是由政府資金來支持的，醫生基本不能私下行醫。加拿大健康保險的主要作用是為了擔負政府不承擔的處方藥費及牙醫費用。在其他大多數國家，公共醫療體系及私立醫療體系共存。例如，英國有一個公共醫療體系，但人們在買入保險後也可以得到私立醫療服務。英國的私立醫療設施與公共醫療設施共同為患者提供服務（擁有私立醫療體系的優點是患者可以縮短非緊急外科手術的等待時間）。

2010年奧巴馬總統簽署了《患者保護與平價醫療法案》（Patient Protection and Affordable Care Act），致力於改革美國的醫療體系並增加醫保覆蓋的人口。醫療救助項目（Medicaid，一個針對低收入者的項目）的申請條件被放寬了，政府同時對中低收入家庭提供補助以幫助他們購買醫療保險。法案禁止醫療保險公司考慮投保人投保前的健康狀況，並強制僱主為僱員購買醫療保險，否則需要繳納額外的稅項。美國和其他很多國家的不同之處在於美國醫療服務的提供者多數為私立機構而不是公共部門，這一點在醫改後不會有大的變化。

與其他保險類似，健康保險的投保人需要按期支付保費，在一定投保事件發生後，保險公司要進行賠償。在健康保險中，投保事件包括投保人的醫療檢查、購買藥品以及住院等。通常當整體醫療體系費用增加時，投保人的保費會增大，但如果只是投保人的健康狀態變得惡化，那麼保險公司不能增加保費。關於這一點，我們可以比較健康保險、汽車保險以及人壽保險運作的不同。如果投保人的駕駛記錄顯示將來賠償的可能性增大，或者是汽車修理費用增大，保險公司可以提高投保人的保費（保險公司確實是這麼做的）；在人壽保險合約中，即使投保人被診斷患有嚴重甚至影響壽命的疾病，人壽保險的保費也不會增長；健康保險的保費與人壽保險類似，即保險公司對賠償風險的預測的改變不會影響保費，但是，類似於汽車保險，整體索賠數量的增長會觸發保費的增長。

當然，在最先開出保單時，保險公司會盡力去確認自身承擔風險的大小。在人壽保險方面，保險公司會質詢投保人的健康狀態，並且要求投保人的身體健康要滿足一定的條件，保險公司會要求投保人進行體檢；在汽車保險方面，投保人的駕駛記錄要被調查；對於人壽保險及汽車保險，保險公司可以拒絕投保人的投保申請；在健康保險方面，保險公司要依據法律規定來確定是否拒絕投保人的申請。如前面所述，《患者保護與平價醫療法案》使得美國的醫療保險公司很難再以投保人的健康狀況不佳為由拒絕受理保險申請。

健康保險常常是以僱主所提供的團體健康保險計劃（group health insurance plans）而給出的。這些計劃覆蓋的對象通常包括僱員及僱員的家屬，通常僱員並不會因為其健康條件差而遭到拒絕。保險費用通常是由僱主及僱員共同承擔，不同計劃的費用有所不同。在美國，大多數健康保險計劃會覆蓋投保人基本的體檢費用和對一些常見病的治療所帶來的費用、外科手術以及住院費用。懷孕的費用可能在也可能不在保險覆蓋範圍之內，而美容手術的費用一般不在健康保險覆蓋範圍之內。

3.7　道德風險以及逆向選擇

我們接下來討論保險公司所面臨的兩類風險：道德風險和逆向選擇。

3.7.1　道德風險

道德風險（moral hazard）是指因為保險合約的存在造成投保人的行為與不持有保險時的行為有所不同，從而觸發的風險，這種行為的不同往往會增大保險公司的風險，預期賠償也會增加。道德風險的實例包括：

（1）一個車主買入了汽車失竊保險，因此，這位車主不鎖車門的可能性會更大；

（2）某人買入一種健康保險，正是因為保險的存在，投保人可能會更多地利用醫療服務設施；

（3）因為政府資助的存款保險的存在，銀行可能會承擔更多的風險，因為銀行認為這麼做並不會失去存款人（我們在第2.3節中曾討論過這一點）。

道德風險並不是人壽保險公司面臨的一個大問題，傳統上，保險公司採用幾種辦法來應對財產及意外傷害險以及健康險中的道德風險問題。一般來講，保險公司在進行理賠時要求投保人首先支付免賠額（deductible），這意味著投保人首先要承擔損失的第一部分，有時保險合約中會闡明共保條款（co-insurance provision），保險公司只是支付損失超出免賠額之上損失的一定比例（而不是100%）。另外，保險合約中一般會設定一個上限（policy limit，即賠償的上限），這些條款的目的是保證投保人與保險公司利益的一致性。

3.7.2　逆向選擇

逆向選擇（adverse selection）是用來描述保險公司在提供保險之前不能區分好的風險和壞的風險而帶來的問題。對於不同客戶，如果保險公司為所有投保人提供的產品價格相等，就會給保險公司帶來更多壞的風險。如果一家保險公司不能區分好的駕駛員和壞的駕駛員，從而給兩類駕駛員提供的保險價格相同，就會吸引更多壞的駕駛員來投保；如果一家保險公司不能區分健康和不健康的投保人，從而給他們同樣價格的健康保險，這家保險公司肯定會吸引更多不健康的投保人。

為了減小逆向選擇的不利影響，保險公司在提供保險之前儘量會找出投保人的信息。在提供人壽保險之前，保險公司常常要求投保人在指定的醫生那裡進行體檢；在提供汽車保險之前，保險公司會盡量取得投保申請人的駕駛記錄。而在汽車保險投保後，保險公司也會繼續收集投保駕駛員風險的信息（如車禍的次數和超速駕駛的次數等）。根據這些信息，保險公司會對每年保費的數量做出相應的調整。

逆向選擇問題不可能完全被克服。有趣的是，即使要求強制體檢，買入人壽保險的投保人死亡的時間往往還是會早於死亡率表給出的預計時間。相反地，買入年金產品的投保人長壽的概率平均比死亡率表中所反映的概率要大。

3.8　再保險

再保險（reinsurance）是保險公司從其他保險公司買入保險，來使得自己免受巨大損失的一種手段。賣出保險的第二家保險公司會得到一定的手續費，但要為第一家保險公司的投保事件出現損失時提供賠償。與沒有再保險的情況相比，再保險合約可以使得保險公司承銷更多的保險合約。再保險合約的對手往往是其他保險公司或一些私人企業，還有一些對手是專門經營再保險業務的公司，例如瑞士再保險（Swiss Re）以及巴菲特的伯克希爾-哈撒韋（Berkshire Hathaway）公司等。

再保險合約有若干種形式，假定一家保險公司對於佛羅里達州有1億美元關於颶風的風險敞口，這家公司想將其風險敞口降至5 000萬美元，該公司的一種選擇是進入一個再保險合約，對手將按比例承擔50%的損失（對手因此也會收到保費的50%）。如果在某一年暴風所帶來的損失為7 000萬美元，那麼保險公司支付的賠償只是0.5×7 000=3 500萬美元，再保險公司支付的賠償也是3 500萬美元。

另外一種更為流行的做法所涉及的再保險保費會更低一些，保險公司可以買入再保險來應對額外損失層（excess cost layers）。例如，第一層的賠償是為了覆蓋5 000萬～6 000萬美元的損失；第二層的賠償是為了覆蓋6 000萬～7 000萬美元的損失；依此類推。每一個再保險合約均被稱為超額損失（excess-of-loss）再保險合同。

3.9　資本金要求

人壽保險公司（life insurance companies）以及財產保險公司（property-casualty insurance companies）的資產負債表有所不同，這是因為這兩類保險公司所面臨的風險各不相同，因此為將來的賠償所設定的儲備金也會有所不同。

3.9.1　人壽保險公司

表3-3展示了一家人壽保險公司簡要的資產負債表。人壽保險公司的大多數投資為企業債券，保險公司會盡量將其資產與負債的期限進行匹配，但是該類保險公司會承擔信用風險，因為債券的違約率可能會比預期的更高。

表3-3　一家人壽保險公司簡要的資產負債表

與銀行有所不同的是，保險公司的資產和負債都會給公司帶來風險，損失儲備金（資產量的80%）是由精算師基於賠償數量而得出的，當人壽保險投保人的死亡時間提前或年金持有者的壽命延長較長時，這一估計值可能會太低。資產負債表中10%的股權資本包括最初股權人投資以及留存收益（retained earnings），股權為損失提供了緩衝，例如，如果賠償數量超出儲備金的數量達到資產總量的5%，股價會下跌，但保險公司不會破產。

3.9.2　財產保險公司

表3-4展示了一家財產保險公司簡要的資產負債表，表3-3與表3-4最重要的不同之處在於經營財產保險公司的股權佔資產的比率要遠高於人壽保險公司的股權佔資產的比率。這個不同是由於這兩類保險公司所持有的風險不同。財產保險公司所面臨的賠償要遠比人壽保險公司難以預測，誰會知道颶風襲擊邁阿密的具體時間？誰能預測下一個因石棉事件所觸發的索賠額有多大？資產負債表中負債部分中的未期滿保費（unearned premium）是指今天已經收到的保費，但這些保費適用於將來時間段。如果一個投保人在6月30日付清了一年的保費，為2 500美元，那麼截至12月31日，保險公司只掙得了1 250美元。表3-4中的投資主要是由流動性好的債券構成的，表中債券的期限比表3-3中債券的期限要短。

表3-4　一家財產保險公司簡要的資產負債表

3.10　保險公司面臨的風險

保險公司所面臨的最顯著的風險是其儲備金總量不能滿足投保人的索賠數量。雖然保險精算師的估計通常十分保守，但賠償總量超出估計數量的可能性仍然存在。除了以上風險，保險公司還會面臨自身投資資產表現不佳的風險。保險公司的大多數投資資產為企業債券，如果企業債券的違約高於平均值，那麼保險公司的盈利一定會受到不利影響。保險公司的債券組合要做到在不同的業務行業及區域進行多元化，保險公司也要監測自身投資資產流動性的表現。與上市或交易活躍債券相比，流動性差的債券（illiquid bond，例如保險公司買入的私募基金）通常會提供較高的收益率，但是，這些債券並不易於轉換為現金並用於支付沒有預計到的高數量的索賠。保險公司要與銀行及再保險公司進行業務往來，這會給保險公司帶來信用風險。同銀行類似，保險公司從事業務也會面臨操作風險及業務風險（business risk）。

監管部門一般會闡明保險公司的最低資本金要求，這些資本金為保險公司所面臨的風險提供緩衝。與銀行類似，保險公司也紛紛研發了內部模型來計算經濟資本金（即保險公司自身所估計的應持有的資本金數量（見第26章））。

3.11　監管條款

美國和歐洲對於保險公司有非常不同的監管方式。

3.11.1　美國

美國在1945年通過的《麥克倫-福克森法案》（McCarran-Ferguson Act）確定了保險公司的監管職責歸各個州，而不是在聯邦範圍（與這一點不同的是，銀行監管是在聯邦範圍）。各州的監管者關注保險公司的償付能力以及它們應付保險合約持有者索賠要求的能力。他們同時也關注各保險公司的業務操守（如保費如何確定、廣告、保險合約條款、保險經紀和代理人資質的發放等）。

美國保險監理官協會（National Association of Insurance Commissioners，NAIC）是一個由50個州的保險業監管當局主管官員組成的組織。該組織為保險監管者討論共同面臨的問題提供一個全國性的機制。有時該組織也會為各州的監管當局提供服務。例如，該委員會提供所有的經營財產及意外傷害保險業務的公司的賠付率統計數據。這樣做可以幫助各州的監管當局識別那些賠付率超出正常範圍的保險公司。

保險公司要向各州監管機構提供詳細的財務報告，各州的監管人員還要定期現場檢查。監管當局採用由NAIC確定的、經風險調節的標準來確定資本金的數量。資本金設定的數量的大小是為了應對以下風險：保險儲備金的設定不足、交易對手違約以及投資資產收入低於預期。

投保人的利益在保險公司破產時（因而不能支付索賠時）受到保險擔保協會的保護。一家保險公司想在某一州取得業務執照，首先得成為該州保險擔保協會的成員。當該州內的一家保險公司破產時，這個州內的其他保險公司必須向該州保險擔保基金（state guaranty fund）支付一定的資金，支付資金數量與保險公司在這一州內收入的保費有關。保險擔保基金首先用於支付破產保險公司的小額投保人（小額投保人的定義在不同州的含義也各不相同）。保險公司每年度向擔保基金所支付的資產可能會有一個上限，這一規定可能會造成投保人要等上若干年才能拿回擔保基金支付的全部賠償。對於人壽保險的情形，保單會持續很多年，破產保險公司的投保人往往會由其他保險公司接管，但是接管保險公司可能會對保單進行修改，修改後的保單對投保人可能會變得更加不利。

由上所述，美國保險公司的擔保系統與銀行擔保系統存在不同。在銀行系統中，銀行通過向FDIC支付保金，以保護存款，從而建立了一個永久性的基金。保險系統中沒有這樣的永久基金，在某家保險公司解體後，其他保險公司才必須貢獻一定的資金。只有紐約州的財產意外險保險公司是一個特例，它設定了一個永久保險擔保基金。

州一級對保險行業進行監管在一些方面並不能令人滿意。各個州之間的監管規定並不一致。這意味著一個在全美國範圍內經營業務的大型保險公司必須要應對很多個不同的監管當局。還有一些保險公司像銀行一樣進行衍生產品交易，卻不受類似銀行業所受到的監管。這就可能帶來麻煩。2008年，一家大型保險公司AIG（American International Group）在信用衍生產品的交易中遭受了鉅額損失，因而不得不接受聯邦政府的救助。

2010年通過的《多德-弗蘭克法案》成立了一個歸財政部領導的聯邦保險辦公室（Federal Insurance Office，FIO），負責監督保險行業和識別各州監管制度中的差別。它可以向金融穩定監督委員會（Financial Stability Oversight Council）提出建議，使類似AIG的大型保險公司作為非銀金融公司受到美聯儲的監管。同時它也與全球其他國家的監管機構（特別是歐盟國家的監管機構）建立聯繫，以便於建立趨同的監管規則。《多德-弗蘭克法案》要求FIO“進行研究並向國會提交一份如何現代化及改進美國保險業監管體系的報告”。FIO於2013年12月向國會遞交了該報告。^[1]報告中提出了為改進美國保險業監管體系而需要做出的改變。從中看來，美國要麼將保險監管規則的制定放在聯邦層面而把日常管理仍放在州一級，要麼把二者都收歸聯邦層面。

3.11.2　歐洲

歐洲的保險公司由歐盟集中監管，這意味著從理論上講，一個統一的保險監管框架適用於歐盟成員國的所有保險公司。這一框架最先創立於20世紀70年代，被稱為《償付能力法案Ⅰ》（Solvency Ⅰ）。該法案的內容受荷蘭Campagne教授的研究結果影響很大，Campagne教授的研究結果顯示，如果資本金等於保額的4%，那麼人壽保險公司將有95%生存的機會。投資風險沒有被明確包括在《償付能力法案Ⅰ》中。

歐洲的若干國家（像英國、荷蘭及瑞士等）均提出了本國的計劃以應對《償付能力法案Ⅰ》中的不足。歐盟現在正在致力於《償付能力法案Ⅱ》（Solvency Ⅱ）的研究。該法案設定的資本金覆蓋的風險類型比原法案更廣泛，並在2016年開始實施。我們將在第15章中進一步討論《償付能力法案Ⅰ》和《償付能力法案Ⅱ》。

[1] See “How to Modernize and Improve the System Insurance Regulation in the United States,” Federal Insurance Office, December 2013.

3.12　養老金計劃

養老金計劃是公司為其僱員設立的。一般來講，在僱員為公司工作的時間內，僱主和僱員都要為養老金計劃供款。當僱員退休以後，他在其餘生內將得到養老金收入。因此，養老基金的實質是通過定期供款計劃來創立一個僱員餘生內的年金產品。這與人壽保險公司提供的產品十分相似。市場上有兩種養老金計劃，即固定收益計劃和固定供款計劃。

在固定收益計劃（defined benefit plan）中，僱員在退休後所得到的養老金數量由該計劃事先定義。通常的計算方式是一個與僱員為公司服務的時間以及僱員的工資有關的公式。例如，每年的養老金數量等於僱員最後為公司服務的3年的平均工資乘以僱員為公司服務的時間的長度，然後再乘以2%。如果僱員先於其配偶辭世，那麼其配偶仍有可能拿到養老金（數量有所減少）；如果僱員在受僱期間辭世，那麼養老金計劃通常會向經濟上依賴該僱員的親屬一次性支付一筆款項，而僱員的配偶和未獨立子女每月可能還會得到一筆收入。有時養老金要隨通貨膨脹每年進行調整，這種調整被稱為指數化（indexation）。例如，一個固定收益養老金計劃每年的指數化可以是按消費者價格指數（consumer price index）增量的75%進行遞增。由政府支持的養老金計劃（如美國的社會保險）與固定收益計劃類似，它們都要求參與人定期供款到一定年齡，然後才可以在餘生中享受養老金。

在一個固定供款計劃（defined contribution plan）中，僱主及僱員的供款均以僱員的名義進行投資。當僱員退休時，僱員有幾種選擇將供款的最後數量（包括投資增量）轉換為年金產品。有時僱員可以選擇收到一次性付款而不是年金。

固定供款計劃與固定收益計劃的區別在於固定供款計劃的資金與僱員個人掛鉤。在固定供款計劃中，每個僱員均有一個投資賬戶，僱員所收到的養老金的數量均以僱員個人賬戶中的資產數量為基準。與此相反，在固定收益計劃中，所有的供款均被集中於一個投資組合中，給退休僱員支付的養老金均來自這個投資組合。美國的401（K）計劃是一種形式的固定供款計劃，僱員可以選擇將其一定數量的收入直接投放這一計劃中（可能還會有來自僱主的相同數量的供款），僱員可以在不同類型的投資產品（如股票、債券、貨幣市場產品等）中進行投資。

固定收益及固定供款計劃的一個關鍵特性是僱員的收入稅被延遲了。僱員向養老金支付的款項是免稅的，並且僱主向養老金的支付可以在收入表中減除，僱員只有在收到養老金收入時才需要繳稅（而此時僱員收入的邊際稅率往往已經變低了）。

固定供款計劃對於僱主而言幾乎沒有風險。如果養老金計劃的投資比預期的差，那麼僱員將承擔所有的損失；與之相反，固定收益計劃為僱主帶來了非常大的風險，因為僱主最終要負責支付承諾的養老金數量。我們假定一個固定收益計劃中的資產數量為1億美元，但精算師估算出的養老金義務的貼現值為1.2億美元，該養老金資金不足數量達2 000萬美元，僱主必須補齊這個資金缺口（通常需要若干年），固定收益給公司帶來的這種風險造成了有些公司逐漸將固定收益計劃轉化為固定供款計劃。

對固定收益計劃的債務的貼現值進行估算不是一件容易的事情。估算中最重要的一點是如何選取貼現利率。貼現利率越高，養老金債務的貼現值越低。以往，一種經常使用的計算貼現率的方法是以養老金資產中的平均回報率作為貼現率。這種做法會鼓勵養老金將資產投資於股票，因為股票市場的平均回報高於債券市場，這麼做會將養老金債務壓得很低，從賬面上，這很好看。現在的會計準則已經意識到企業對養老金計劃中負債的義務類似於債券。因此，準則要求非上市公司的養老金義務應以AA級債券的收益率進行貼現，固定收益計劃的資產價值與其債務的差別必須以資產或負債的形式納入公司的資產負債表。因此，如果一家公司的養老金有資金不足的現象，那麼公司的股權值會被相應地減少。如果養老金資產價值大幅下跌，同時用以計算義務的貼現率也大幅下跌，那麼公司的債務狀況就會產生一個“完美風暴”（perfect storm）（見業界事例3-2）。

固定收益計劃能行得通嗎

一個典型的養老金計劃會為其僱員提供最終工資的70%，並且公司要對養老金計劃進行通貨膨脹指數化調整。我們要將僱員工作期收入的多大比率作為儲備，才能保證養老金支出呢？對於這個問題的回答取決於我們對於利率的假設，以及僱員收入的增長幅度等。如果我們諮詢一家保險公司對所提供的養老金的報價，保險公司給出的報價會是：供款佔工資收入的比率大約為25%（練習題3.15及作業題3.19給出了計算過程提示）。保險公司會將保費投資於企業債券（這與保險公司對人壽保險保費以及年金合約的投資形式一致），因為投資於企業債券可以最好地將投資收入與賠償進行匹配。

事實上，固定收益計劃的供款（僱主加上僱員）遠低於收入的25%，在一個典型的固定收益計劃中，僱主和僱員的供款分別只佔收入的5%，因此整體供款只是保險精算師所求得保費的40%，許多養老金資金不足的現象也就不足為奇了。

與保險公司不同，養老基金會將資產的一大部分投放於股票市場（一個典型養老基金的投資組合由60%股票及40%債券組成）。通過投資股票，養老基金為補齊資金缺口並達到資金盈餘創造了機會，但同時也留下了資金嚴重不足的隱患。如果股票市場表現好，例如，在1960～2000年，世界上許多地區的股票市場表現甚佳，養老金完全可以應付自身的負債；但是如果股票市場表現不佳，養老金可能就會出現問題。

以上的討論引出了一個有趣的問題：誰要為資產不足的養老金買單呢？答案是：第一個買單的會是公司的股權持有者；進一步，如果公司宣佈破產，政府則可能以養老金計劃擔保的形式承擔損失。^[1]以上兩種情形，均存在將財富由下一代轉移到退休人員中的現象。

許多人認為將財富由下一代轉移給上一代的做法不可取，將養老金的供款比率提至25%也是不可接受的做法。如果固定收益的養老金計劃仍然持續的話，那麼這種計劃的條款一定要得到改革，來由退休人員和下一代共同承擔風險。如果在受僱期內，市場表現不佳，則僱員必須接受退休後養老金收入較低這一現實；如果市場表現好，退休人員可以收到全額養老金收入，並且可以將養老基金的額外收入轉移給下一代。

長壽風險是養老金面臨的主要風險，我們曾在前面指出，1929～2013年，人類平均壽命延長了20年。如果這種趨勢繼續延續，到2029年，人類壽命將還要延長5年，固定收益計劃中的資產不足問題（包括公司管理的以及政府管理的養老金）會變得更加嚴重。許多國家的僱員在超出正常退休年齡後仍然可以工作。這一點不奇怪，這樣可以緩解養老基金面臨的資金短缺問題。一個僱員決定在70歲而不是在65歲退休可以為養老金繼續供款5年，另外，其接受養老金收入的退休期也縮短了5年。

[1] 例如，美國的養老福利擔保公司（Pension Benefit Guaranty Corporation，PBGC）為私立固定收益養老金提供擔保，但如果該公司從不同養老金計劃所收到的保費不能滿足索賠數量，則政府必須介入。

小結

保險公司經營業務有兩類：人壽保險和財產及意外傷害險。人壽保險公司提供一系列產品，這些產品在投保人死亡後會提供賠償。定期壽險只有在投保人在一定時間段內死亡才提供賠償；終身壽險不管投保人在什麼時刻死亡，均會提供賠償。終身壽險中有一個儲蓄因素。通常來講，早期的保費中超出預期賠償的那一部分被用於投資，投資所得是為後期的預期賠償提供支持。終身壽險會給投保人帶來稅務優惠，因為投資回報的應繳稅款一直被推遲到賠償的支付日。

人壽保險公司也提供年金合約，年金合約的持有者首先支付一筆款項，之後保險公司在一定時間以後為投保人提供終身支付。死亡率數據為保險公司的人壽保險及年金產品定價提供了重要依據，但是保險精算師還必須考慮以下風險：①長壽風險（即投保人比預期壽命活得更久）；②死亡風險（由於艾滋病及西班牙流感等傳染病和流行病造成某個人口群體壽命縮短的可能）。

財產及意外傷害險是為了財產損失提供保險，同時也為個人及公司的法律責任提供保險，最難以估計賠償數量的事件是那些與同一事件有關，但會觸發眾多投保人同時索賠的事件，這類事件包括地震和颶風。由法律責任所觸發的賠償數量通常也難以估計。

健康保險具有人壽保險及某些財產及意外傷害險的特性，健康保險的保費與人壽保險的保費類似，即保險公司對賠償風險估計的改變不會觸發保費的改變，但是如果整體健康系統的費用增大時，保費也像在財產及意外傷害險中那樣會有所增長。

保險公司面臨兩類重要風險，即道德風險及逆向選擇。道德風險是指持有保險的個人及公司在投保後，行為有所改變而觸發的風險；逆向選擇是指買入保險的個人或公司所對應的預期賠償相對較高而觸發的風險。保險公司會採取措施儘量減少以上兩類風險，但無論如何，保險公司不可能將兩類風險同時消除。

與銀行不同的是，保險公司的資產及負債均面臨風險。一家財產保險公司的股權資本對總資產比例要比人壽保險公司更高。在美國，對保險公司監管由各州負責，而不是由聯邦負責，這一點也和銀行業的情況不一樣；在歐洲，保險公司受歐盟及各國政府的監管。歐盟現在正在致力於制定一套新的資本金管理規則，即《償付能力法案Ⅱ》。

市場上有兩類養老基金計劃：固定收益計劃及固定供款計劃。固定供款計劃十分簡單，由公司及僱員所支付的供款以僱員名義被存於某個單獨賬戶，資金以僱員名義投資，在僱員退休後，投資回報以及本金將被轉換為年金；在固定收益計劃中，僱員和僱主的供款被存入同一個資金池中，然後進行投資。退休人員所得到的養老金數量取決於其受僱時的工資。固定收益計劃的可行性現在已經受到一定質疑，許多固定收益計劃資產不足，只有在股票市場表現異常出色的情況下，養老金才能滿足當前退休人員及將來退休人員的養老金支付。

延伸閱讀

練習題

3.1　定期壽險和終身壽險的區別是什麼？解釋終身壽險在稅務處理方面的優勢。

3.2　解釋變額壽險和萬能壽險的含義。

3.3　一家保險公司同時提供終身壽險和年金產品，這兩種合約哪一種對以下風險會有風險敞口：（a）長壽風險；（b）死亡風險。

3.4　“公平人壽保險公司給持保者發放了免費的期權。”討論這一期權的特性。

3.5　利用表3-1計算保險公司給出的一個關於50歲女性、面值為100萬美元、2年期的人壽保險最低保費，假定保費是在年初支付，利率為0。

3.6　由表3-1來計算一個30歲男性能活到90歲概率為多大？同樣，一個30歲女性能活到90歲的概率為多大？

3.7　財產保險公司保單上的哪一個條款會觸發最大的風險？

3.8　解釋巨災債券的運作。

3.9　考慮兩個債券，它們具有同樣的券息、期限以及價格，一個債券為B級企業債券，另一個為CAT債券，歷史數據顯示這兩個債券的預期風險相同，假定你為組合資產經理提供諮詢，你將推薦哪一個債券，為什麼？

3.10　美國的保險公司與加拿大及歐洲保險公司的不同之處在於哪裡？

3.11　一家保險公司決定是否為某人失去工作提供保險，保險公司面臨的問題是什麼？

3.12　為什麼財產保險公司持有的資本金要高於人壽保險公司？

3.13　財產保險公司所計算的“賠付率”和“費用比率”的含義是什麼？如果一家保險公司盈利，那麼其賠付率加上費用比率一定會小於100%，討論這個觀點。

3.14　固定收益及固定供款養老基金計劃的區別是什麼？

3.15　假定在一個固定收益養老計劃中：

（a）僱員為公司工作40年，工資隨通貨膨脹而增長；

（b）僱員退休時所得養老金為工資的75%，養老金隨通貨膨脹而增長；

（c）退休人員將收入20年養老金；

（d）養老金的收入將投資於債券，債券收益等於通貨膨脹率。

如果公司沒有破產（即仍支持養老金），僱員的供款作為工資的比率至少為多大？（提示：在計算中採用實際貨幣量（real dollar）而不是名義貨幣量（nominal dollar）。）

作業題

3.16　採用表3-1來計算保險公司為一個60歲男性提供的面值為500萬美元、期限為3年的保險的最低保費。假定保費是在每年年初支付，死亡發生在年中，無風險利率為每年6%（每年複利2次）。

3.17　某保險公司假定某類損失的分佈可以被合理地估計為正態分佈，均值為1.5億美元，標準差為5000萬美元（假定風險中性的損失與真實世界的損失沒有差別），1年的無風險利率為5%，估計以下合約的費用：

（a）一個按比例承擔保險公司1年內60%損失的合約；

（b）在1年內，當損失超過2億美元時，合約將承擔1億美元的損失。

3.18　假定在某年，利率降低了200個基點（2%），股票價格沒有變，討論這個市場變化對一個將60%資產投資於股票市場，同時將40%資產投資於債券市場的固定收益養老金計劃的影響。

3.19　假定在一個固定收益養老金計劃中：

（a）僱員為公司工作45年，工資以實際利率2%遞增。

（b）退休人員收入的養老金為最終工資的70%，養老基金遞增比率為通貨膨脹率減去1%。

（c）在18年後收到養老金付款。

（d）養老基金的收入將被投資於債券市場，回報率等於通貨膨脹率加上1.5%。

假定公司仍不破產，計算僱員供款應占工資的比率（提示：在計算中採用實際貨幣量，而不是名義貨幣量）。

第4章
共同基金和對衝基金

共同基金（mutual fund）、交易所交易基金（ETF）和對衝基金（hedge fund）代表個人與企業進行投資，在這3種投資方式中，不同投資者的資金被彙集到一起來進行投資，投資資產的選擇由基金經理來確定，投資的原則是為了達到某個事先闡明的目的。某些國家將共同基金稱為“單位信托”（unit trusts），共同基金和交易所交易基金的目的是滿足一些相對較小規模的投資者的需求，對衝基金是為了吸引一些富有的個人以及類似於養老基金的機構投資者。對衝基金所受的監管規定要遠遠弱於共同基金和交易所交易基金，同共同基金相比，對衝基金可以實施較大範圍的投資策略，對衝基金的運作透明度相對較差。共同基金和交易所交易基金需要在投資者可獲得的招股說明書中解釋其投資策略。

在本章中，我們將討論不同形式的共同基金和交易所交易基金及對衝基金，我們將討論對於這些基金的監管方式以及基金的收費形式，我們還將討論這些基金如何做到為投資者提供豐厚的回報。

4.1　共同基金

對於小客戶而言，共同基金所提供的一個投資亮點是基金提供的分散投資機會。如我們在第1章中看到的那樣，分散投資會改善投資者風險與回報的平衡關係，但一個小投資者很難持有足夠大數量的股票來保證投資組合實現充分的風險分散，另外，持有一個良好的多元化投資組合可能會觸發較高的交易費用。共同基金為投資者提供了一個好的投資途徑，許多小投資者將資金彙集到一起進行投資，因此在付出較少費用的前提下達到了分散風險的效應。

共同基金的投資者擁有該基金一定數量的股份。最常見的共同基金是開放式基金（open-end fund）。這意味著，當投資者購買更多股票時，流通在外的股票總數上升，而當股票被贖回時，流通在外的股票總數下降。自第二次世界大戰以來，開放式共同基金發展非常迅速。表4-1是對自1940年以來美國開放式共同基金持有資產規模的估計。截至2016年，共同基金資產規模已經超過了16萬億美元，大約有44%的美國家庭擁有共同基金。有些共同基金由專長於資產管理的公司提供，例如富達基金（Fidelity Company）。其他基金由銀行提供，例如摩根大通。有些保險公司也提供共同基金，例如，在2001年，美國大型保險公司州立農業保險公司（State Farm Insurance Company）在美國開始提供10種不同的共同基金，客戶可以通過網絡、電話或從州立農業保險公司的代理人那裡購買基金。

表4-1　美國開放式共同基金資產的增長幅度

資料來源：Investment Company Institute.

貨幣市場共同基金投資於1年以內到期的附有利息的金融產品，例如國債、商業票據和銀行承兌匯票。這些產品是付息銀行存款賬戶的另外一種選擇，而且這些產品的利息通常會更高一些，因為政府的存款保險機構並不對此類產品承保。有些貨幣市場基金還提供支票賬戶的功能，這與銀行賬戶很類似。貨幣市場投資者一般厭惡風險，不希望投資的本金遭受損失。也就是說，投資者希望在扣除了管理費後，得到正收益。^[1]在正常市場條件下，做到這一點不太難。但有時負收益的情況會發生，並導致投資者損失部分本金。這種情況也被稱作“跌破淨值”（breaking the buck），因為1美元投資的淨值低於了1。2008年9月雷曼兄弟破產後，美國曆史最悠久的貨幣市場基金首要儲備基金（Reserve Primary Fund）就面臨這種局面，因為該基金不得不註銷雷曼兄弟發行的短期債務。為了防止出現對貨幣市場基金的擠兌情況（這意味著即使是財務狀況健康的公司的債券也會面臨無人問津的局面），政府推出了一個由政府支持的擔保項目。該項目執行了大概1年左右。

投資期限較長的基金主要有三類：

（1）投資於期限大於1年的固定收益債券的債券型基金；

（2）投資於普通股及優先股的股票型基金；

（3）投資於股票、債券及其他產品的混合型基金。

其中股票型基金是目前市場上最為流行的一種。

共同基金的價值是在每天下午的4點定出。為了定出價值，共同基金經理要計算出共同基金投資組合中各項資產的價值，並以此定出基金的整體價值。每份基金的價格等於基金整體價值除以共同基金的數量。該價格被稱為淨資產價值（net asset value，NAV）。投資者可以隨時從基金中買入基金的份額，也可以向基金賣出份額。當投資者發出買入或賣出共同基金份額指令後，下一個計算出的淨資產價值會被應用到該筆交易中。例如，如果一個投資者在某個業務日的下午2點決定買入一個份額，下午4點計算出的淨資產價值將會被用於決定投資者應付金額的數量。

投資者通常需要為基金收益而付稅，就像其個人持有基金投資組合中的資產一樣。因此當基金收到股息分紅時，基金的擁有者必須為所得股息付稅，即使投資者將股息再投資於基金，也仍然如此；當基金賣出證券時，投資者會馬上得到資本的收益或虧損，即使投資者並沒有賣出自己的基金份額。假定某投資者最初以100美元買入一定數量的基金，因為基金資產交易，投資者在第一年有每股20美元的股本收益，而在第二年有每股25美元的股本虧損，投資者必須在第一年申報20美元的股本收益，而在第二年申報25美元的股本損失。當投資者賣出基金份額時，也會有資本收益或虧損。為了避免被重複計量（double counting），每份基金的價格要被調節以反映已被計入的投資者的盈虧。在我們的例子中，如果投資者在第一年年末賣出基金份額，則基金價格會被定為120美元，以反映資本的盈虧；如果投資者在第二年年末賣出基金份額，則投資者用於計算資本盈虧的價格會被定為95美元。

4.1.1　指數基金

某些基金的設計是為了跟蹤特定的股票指數，例如標準普爾500指數及富時100指數（FTSE 100）。為了確保跟蹤效果，最簡單的做法是買入指數中的所有股票，買入股票的數量要反映股票在指數中的權重，例如，如果IBM在某個股指中的權重為1%，那麼1%跟蹤股指的交易組合要被投資於IBM股票。另外一種跟蹤股指的做法是選擇一個小型股票組合，股票數量的選取要經過研究，來保證這個小型股票組合確實可以有效地跟蹤選定的股票指數。還有一種跟蹤股指的做法是利用股指期貨。

在美國市場，最早的股指基金之一是由約翰·博格在1975年12月31日推出的跟蹤標準普爾500指數的股指基金。在最初發行時，基金共持有價值達1100萬美元的資產，這一基金最初被調侃為“非美國式”（un-American）和“博格傻帽”（Bogle’s folly）。然而後來，這隻基金被命名為先鋒500指數基金（Vanguard 500 Index Fund）。2017年，該基金賬戶下管理的資產達5000億美元。

指數基金能夠做到有多麼準確地跟蹤指數呢？兩個相關的度量指標是跟蹤誤差（tracking error）和費用比率（expense ratio）。一隻基金的跟蹤誤差的定義有兩種比較常見的形式：一種是基金的年回報率與指數的年回報率的均方根誤差（即二者回報率的差，平方後取均值，再開平方根），另一種是二者回報率之差的標準差。^[2]費用比率是每年為管理基金付出的費用佔總資產的比例。

4.1.2　費用

共同基金有幾種不同形式的費用，其中包括運作費用、營銷佣金支出、會計費用以及其他管理費用、交易費用等。為了補償這些費用，並同時取得盈利，基金管理人會向投資者收費。前端收費（front-end load）是管理人在投資者首次買入基金份額時向投資者收取的費用，並不是所有的基金均收取這個費用。收取這個費用的基金被稱為前端收費基金，在美國，前端收費的數量不能超過投資數量的8.5%。有些基金在投資賣出基金份額時收費，這類基金被稱為後端收費（back-end load）基金。所有的基金均收取年費。有些基金會專門收費來支付管理費、產品分配費用等。總費用比率（total expense ratio）是每份基金所收取的費用與每份基金價格的商。

Khorana等（2009）研究人員比較了17個國家的共同基金的收費。^[3]Khorana等在他們的分析中假定投資者會持有基金5年，因此每年的總持有費用（total shareholder cost）等於

表4-2是對其研究結果的總結。股票型基金的平均費用從澳大利亞的1.41%到加拿大的3%不等。股票型基金的收費平均高於債券型基金收費大約50%，指數基金的收費低於常規基金的收費。這是因為基金不需要僱用那些高薪酬的股票選擇員及分析員，某些美國的指數基金的費用低至每年0.15%。

表4-2　共同基金每年的平均費用（作為資產的比例，％）

注：假定基金被持有5年。

資料來源：Khorana, Servaes, and Tufano, “Mutual Fund Fees Around the World,” Review of Financial Studies 22(March 2009): 1279-1310。

4.1.3　封閉式基金

截至目前，我們討論的基金均為開放式基金。開放式基金是最為普遍的共同基金形式。基金中的份額數量每天都有所變化，這是因為每天都有投資者買入或賣出基金份額。封閉式基金就如同一般企業，其基金份額數量是固定的。基金份額每天都在股票交易所進行交易。對於封閉式基金我們可以計算兩類淨資產價值：一種是基金份額在交易中的成交價格，另一種等於基金投資組合的市場價值除以全部份額數量。第二個淨資產價值被稱為基金份額的公允市場價值（fair market value）。一般來講，封閉式基金份額價值小於其公允市場價值。有一些研究人員試圖解釋這一現象的原因。羅斯（2002）的研究結果顯示，對基金經理支付的費用可以解釋這一點。^[4]封閉式基金遠沒有開放式基金受歡迎，2016年，它們在美國的資產總額為2 620億美元。

[1] 穩定價值基金（stable value fund）是一種很受歡迎的、不同於貨幣市場基金的選擇。這類基金通常投資於期限為5年左右的債券和類似產品。銀行或其他公司為這些基金提供保障，保證收益不為負值（當然要為此收取一定的費用）。

[2] 均方根誤差被認為是一種更好的方法。標準差法的問題是，如果二者回報率的差很大但很穩定，標準差會很小。

[3] See A. Khorana, H. Servaes, and P. Tufano, “Mutual Fund Fees Around the World,” Review of Financial Studies 22(March 2009):1279-1310.

[4] See S. Ross, “Neoclassical Finance, Alternative Finance, and the Closed End Fund Puzzle,” European Financial Management 8(2002):129-137.

4.2　交易所交易基金

交易所交易基金（exchange-traded fund，ETF）在1993年首次出現於美國市場，並在1999年出現於歐洲市場。該類基金通常是跟蹤某個指數，因此ETF產品是那些期望取得近似股指回報率的投資者的另一個選項。最著名的一隻ETF基金被稱為蜘蛛（Spider），其跟蹤標準普爾500指數，交易代碼是SPY。2008年3月，一項對於專業投資者的調查顯示，67%的被調查對象認為ETF是過去20年來最有創造性的投資工具，並且有60%的被調查對象認為ETF從根本上改變了他們構造投資組合的方式。2008年，美國SEC批准了主動管理型ETF基金的成立。

ETF是由機構投資者創立的產品，一般來講，某個機構投資者首先將一系列的資產存放於ETF基金中，並因此取得ETF份額（也被稱為創立基數（creation units））。某些或全部的ETF份額會在股票交易所上市交易。這賦予了ETF某種封閉式基金而不是開放式基金的特性。但是，ETF的一個重要特性是，機構投資者在交易時可以將大量的份額與對應的標的資產互換。投資者可以放棄他們持有的ETF份額而接收資產，或者存入資產而收到新的份額。這麼做的目的是保證ETF在交易所交易的價格與其公允價格沒有太大出入，這一特性正是ETF與封閉式基金的重要區別，這一點使得ETF對投資者來講比封閉式基金更有吸引力。

同開放式基金相比，ETF有若干好處，它可以在一天的任意時刻被買入或賣出，投資者可以像賣空股票那樣來賣空ETF（見第5章關於賣空策略討論）。ETF持有資產每天要被公佈兩次，這保證了投資者會對基金標的資產有充分的瞭解。與之相比，共同基金公佈其資產的次數沒有這麼頻繁，當共同基金的份額被賣出時，基金管理人常常要賣出基金中所持股票以確保擁有足夠的資金來支付給投資者。而當ETF的份額被賣出時，並不一定非要賣出資產，這是因為其他投資者可以提供現金。這意味著管理人可以節省交易費用，減少了轉嫁給基金持有者的無計劃資本收益和虧損。最後，ETF的費用比率一般要低於共同基金的費用比率。ETF越來越受歡迎，到2016年，它們的資產達到2.5萬億美元。

4.3　主動管理型基金與被動型指數基金

當購買共同基金或交易所交易基金時，投資者可以在一隻被動型指數基金（跟蹤某一特殊指數，如標準普爾500指數）和一隻主動管理型基金（依賴於基金經理的選股與擇時技能）之間選擇。主動管理型基金的費用比率往往高得多。因此，一個關鍵問題是，主動管理型共同基金的表現是否優於標準普爾500指數等股票指數。有些基金在某些年份表現很好，但這可能是運氣好，而非良好投資管理的結果。研究人員面臨的兩個關鍵問題是：

（1）平均來講，一隻主動管理型基金會比股指表現更好嗎？

（2）在第一年表現好的基金，在第二年會持續嗎？

對於以上兩個問題的回答看來都是否定的。在一項經典的研究中，Jensen（1969）採用115只共同基金的10年數據來檢驗它們的表現。^[1]在研究過程中，他計算了每年每隻基金的alpha項（如第1.3節所示，alpha是超過資本資產定價模型預測的回報）。考慮到各項費用，所有基金的平均alpha為零，扣除費用後，平均alpha為負值。Jensen同時也檢驗了一個具有正的alpha的基金是否會持續產生正的alpha。表4-3是對Jensen結果的總結，表中第一行顯示在1 150個觀察數據中，有574只基金具有正的alpha（近50%），在這些具有正的alpha基金中，有50.4%的基金在隨後一年仍有正的alpha。表中第二行顯示，當在2年內基金的alpha均為正時，在接下來一年基金的alpha為正的機會有52%，表中的數據依此類推。結果顯示，當一個基金經理在1年中（或幾年內）取得了正的alpha以後，在接下來一年只有50%的機會取得高於平均水平的回報率。這些研究結果說明基金經理取得正的alpha回報往往是因為運氣，而不是投資技巧。某些經理人的回報率會一直高於市場平均回報率，但這些經理人只佔整體數量的一小部分。一些更新的研究結果也證實了Jensen的結論。平均來講，共同基金經理的表現不會比市場表現更好，並且過去的表現不能代表將來。股指基金的成功說明了Jensen的研究結果確實影響了許多投資者的觀點。

表4-3　共同基金良好回報的一致性

共同基金常常會取得令人吃驚的回報率。但是，這個回報率也許只是屬於某一隻特殊的基金，這一基金可能是同一機構發行的眾多基金中的一隻，只不過恰好取得了高於平均水平的回報而已。將好運氣與好表現進行區分並非易事。假定某資產管理公司有32只基金，每隻基金均採用不同的交易策略，假設基金經理沒有什麼特殊技巧，每隻基金的年回報高出市場回報的機會為50%，某隻基金在連續5年內的回報均高於市場的機會為（1/2）⁵，即1/32，這意味著在32只基金中，一定會有一隻基金在5年的時間內表現會高於市場表現！

另外一點需要說明的是關於幾年內回報率的表達方式。一個共同基金的廣告可能會說“在過去5年內，我們平均年回報為15%”，另外一個廣告可能會說“將你的財富投資於我們的共同基金，你的財富將以每年15%的比率增長”。以上兩種說法聽起來類似，但事實上它們有不同的含義（見業界事例4-1）。在許多國家，監管當局設定管理規則來確保共同基金回報率的報告方式不能誤導投資者。

[1] See M.C. Jensen, “Risk, the Pricing of Capital Assets and the Evaluation of Investment Portfolios,” Journal of Business 42(April 1969):167-247.

4.4　監管

因為共同基金是為了吸引小客戶，而許多小客戶的投資經驗並不豐富，所以監管當局對共同基金設定了非常嚴格的管理規定。在美國，SEC是共同基金的主要監管機構。共同基金必須向SEC提交註冊文件。基金在招股書中必須向潛在投資者提供詳盡和準確的財務報告，SEC也設定了監管規則以避免利益衝突、欺詐和收費偏高事件的發生。

即使有監管條款的存在，共同基金市場仍然會出現一定數量的醜聞。其中一種醜聞為延遲交易（late trading），如本章前面所述，如果一個投資者在下午4點之前向其經紀人發出了買入或賣出共同基金的指令，則決定投資者支付或收到的價格是基金下午4點的淨資產價值。在實際中，因某種原因，買入或賣出指令有時在4點以前可能並沒有由經紀人傳給共同基金，這就可能會造成經紀人與投資者合謀，並在4點之後提出一個新的交易指令，或者將原有交易指令進行修改。即使投資者使用4點後的市場動向（尤其是海外市場動向），但4點設定的淨資產價值仍然對投資者有效。SEC監管條款禁止延遲交易，並在21世紀初對一些違規人員進行了起訴，且因此觸發了數以百萬計的罰款，許多人也因此丟掉了自己的飯碗。

另外一種醜聞被稱為擇時交易（market timing）。擇時交易是指一些特殊的客戶可以頻繁地買入或賣出基金的份額（例如，每幾天進行一次交易）而無須為此付出任何代價，他們之所以願意這麼做可能是他們沉溺於延遲交易能帶來非法盈利，另一個原因是他們試圖找出那些近期價格沒有更新的股票對基金淨資產價值的影響。假定某隻股票在幾個小時內價格沒有更新（這可能是因為股票交易不頻繁，或者是股票是在不同時區的交易所進行交易），如果美國市場在過去的幾小時內上漲（下跌），計算出的淨資產價值可能會低估（高估）基金的標的投資組合的價值，這是一個短期交易機會。利用這樣的機會並從中盈利並不一定違法。但是，如果共同基金給某些特殊客戶一定的交易特權，那麼共同基金的做法就是違法的，因為交易費用（例如，那些為滿足客戶經常性地賣出份額而提供的流動性所觸發的費用）是由所有客戶共同分擔的。

其他類型的醜聞包括搶先交易和定向經紀。搶先交易（front running）是指共同基金在計劃一個大交易時，預計市場會受到影響，在交易前共同基金通知一些特殊客戶和一些合夥人，允許他們事先用自己的賬戶進行交易。定向經紀（directed brokerage）涉及共同基金與經紀商之間的不當行為，其中經紀商向客戶推薦共同基金，作為回報，共同基金向經紀商發出買賣股票及債券的指令。

4.5　對衝基金

對衝基金與共同基金的區別在於對衝基金所受的監管約束要比共同基金少得多，這是因為對衝基金的資金侷限於那些對財務有經驗知識的投資者和機構。共同基金的監管條例包括：

（1）共同基金的客戶可以隨時贖回其持有的份額；

（2）淨資產價值每天要進行計算；

（3）必須披露投資策略；

（4）對槓桿的使用有限制。

對衝基金往往不受以上條款的限制，因此可以有很大的自由度來開發複雜、非傳統及自營投資策略。對衝基金有時也被稱為另類投資（alternative investments）。

第一家對衝基金公司A.W.Jones & Co是由阿爾弗雷德·溫斯洛·瓊斯（Alfred Winslow Jones）於1949年在美國創立的，它採用普通合夥制（general partnership），目的是避免SEC的監管。瓊斯在其交易組合中持有他認為價格被低估的股票的多頭和價格被高估的股票的空頭，並利用槓桿來放大回報率。該對衝基金將盈利的20%作為管理費，基金的表現十分出色。對衝基金（hedge fund）這一名詞是1966年卡羅爾·盧米斯（Carol Loomis）在報紙上發表的一篇關於A.W.Jones & Co的文章中首先引入的，這篇文章指出，在扣除手續費後，對衝基金的表現比大多數共同基金要好。不出所料，這篇文章引發了投資界對對衝基金及對衝基金投資策略的極大興趣。其他對衝基金的先驅還有喬治·索羅斯、沃爾特·施洛斯以及朱利安·羅伯遜。^[1]

對衝基金一詞意味著基金的風險是被對衝的，瓊斯的交易策略確實涉及對衝，他的頭寸對市場的整體方向沒有太大的風險敞口，因為他的多頭（他認為被低估的股票）在任意給定時刻基本上與他的空頭（他認為被高估的股票）持平。但是對於其他一些對衝基金而言，採用“對衝”一詞來描述並不合適，因為這些對衝基金在沒有任何對衝策略的情況下對於市場的變動採用激進的投資策略。

歷年來，投資基金的規模一直在增長。2017年，對衝基金吸納的投資額超過3萬億美元的規模。但我們在後面將會看到，2009～2016年，很多對衝基金的表現不如標準普爾500指數。許多對衝基金註冊地在稅率較為優惠的地區，例如開曼群島。基金的基金（funds of funds）的設立是為將資金投資於不同的對衝基金。對衝基金是一個不能忽略的投資群體。紐約和倫敦股票市場每天成交量的很大一部分得益於對衝基金的貢獻。它們還是可轉換債券、信用違約互換、美國不良債權、非投資級債券交易的主要參與者。它們在ETF上的交易也非常活躍，而且常常持有空頭頭寸。

4.5.1　收費

對衝基金與共同基金的一個重要區別在於對衝基金的收費遠高於共同基金，並且對衝基金的收費與基金的表現有關。對衝基金通常每年收取的管理費為其管理資產數量的1%～3%，這一費用是為了支付操作費用，但也可能是用於審計、會計管理以及交易員分紅等費用。另外，對衝基金還會收取績效費（incentive fee），該費用通常是盈利（如果有）的15%～30%。績效費的設定是為了吸引最有天賦的以及經驗豐富的投資經理，因此，一種常見的對衝基金的費用被稱為“2%+20%”，這是指對衝基金每年收取2%的資產管理費，並收取20%的盈利。除了收取較高的管理費，對衝基金通常會有一個資金鎖定期（lock up period），即投資資金至少在1年內不能被抽回。有些業績表現好的對衝基金收取的管理費要高於平均收費，例如，文藝復興科技公司（Renaissance Technologies Corp.）的吉姆·西蒙斯（Jim Simons）的手續費為“5%+44%”（西蒙斯曾經是數學教授，他在2017年的身家為180億美元）。

對衝基金所提供的協議可能包括一些使得績效費變得更易於被投資者接受的條款，例如：

（1）通常條款中會註明一個門檻回報率（hurdle rate），也就是說只有在業績超出這個最小回報率時，績效費才適用。

（2）通常條款中會註明一個高潮位標記條款（high-water mark clause），該條款闡明前期損失必須在全部補齊的情況下，績效費才適用。因為不同的投資者入股對衝基金的時間可能會不同，所以對於所有投資者，高潮位標記條款也各不相同。有時在合約中闡明一個按比例調整條款（proportional adjustment clause），該條款闡明如果投資者抽回資金，對衝基金對於前期損失只是按比例進行彌補。假定一個對衝基金初始價值為2億美元，對衝基金損失了4000萬美元，假定投資者想收回資金8 000萬美元，高潮位標記條款會註明，只有在剩下的8 000萬美元資金的回報必須完全彌補4 000萬美元的損失之後，對衝基金才能收取績效費。而按比例調整條款會將彌補數量減至2 000萬美元，因為在提取資金後，基金規模只是資產提取前規模的一半。

（3）有時條款中會有一個分紅追回條款（clawback clause），該條款可以保證投資者通過收回以前發出的績效費來彌補自身的損失。投資者每年給出的績效費的一部分被存入回收賬戶（recovery account），賬戶中的資金將用於彌補投資者將來的部分損失。

由於對衝基金收取豐厚的手續費，所以許多基金經理也逐漸變得富有起來。2016年，《福布斯》統計出排名前25位的對衝基金經理的收入總值為109億美元，其中兩位的收入超過了10億美元，分別是文藝復興科技公司的吉姆·西蒙斯（16億美元）和橋水投資公司的雷·達利奧（Ray Dalio，14億美元）。

如果一個投資者在一家對衝基金擁有一個投資組合，那麼需要繳納的費用可能非常高昂。舉一個簡單的例子，假設一個投資被均分給兩家基金A和B。兩家基金都收取2%+20%的費用。在第一年，基金A的回報率是20%，而B的回報率是-10%。投資者的平均回報率是0.5×20%+0.5×（-10%）=5%。給基金A繳納的費用是2%+0.2×（20%-2%）或5.6%。給基金B繳納的費用是2%。給基金的平均費用佔整個投資的3.8%。投資者實際只得到1.2%的回報率。如果2%+20%的收費只作用於整體5%的回報，那麼投資者得到的實際回報會加倍。

如果涉及對衝基金的基金，還會有一層額外的收費，那麼投資者實際的回報會更少。對衝基金的基金的一個典型收費標準為管理資產數量的1%以及所投資的對衝基金的淨盈利（除去獎勵和管理費用）的10%。假定一個對衝基金的基金將其資金在10只對衝基金之間進行分配，所有的對衝基金收費標準為“2%+20%”，而基金的基金收費為“1%+10%”，聽起來投資者付費為“3%+30%”，但實際上費用遠比這還要高。假定10只對衝基金中有5只的回報為-40%，另外5只為40%。對每隻盈利的基金，要支付38%的20%即7.6%的獎勵費用。因此，總的獎勵費用為總投資的3.8%。另外，還有交給對衝基金2%的年費和交給基金的基金1%的年費。投資者的回報是-6.8%（在付費後，標的資產數量比付費前減少6.8%）。

4.5.2　對衝基金經理的激勵

對衝基金經理的收費形式為這些經理提供了取得盈利的動機，但同時也鼓勵了基金經理承擔更大的風險。基金經理實際上持有關於基金內資產的看漲期權。眾所周知，當標的資產價格的波動率增大時，看漲期權價值也會增大。這意味著對衝基金經理可以通過承擔增加基金資產波動性的風險來增加期權的價值。當臨近績效考評週期的末尾但當期回報率是負數或很低時，他們尤其有動機這麼做。

假定一個對衝基金面臨一個投資機會，其中有0.4的概率投資回報率達60%，而有0.6的概率回報損失達60%，對衝基金的收費為“2%+20%”，投資的預期回報率為0.4×60%+0.6×（-60%），即-12%。

雖然這一預期回報很糟糕，但基金經理仍然可能會接受這種投資。如果投資回報為60%盈利，對衝基金收費為2%+0.2×58%，即13.6%；如果投資回報為60%損失，對衝基金收費為2%，因此，基金經理的預期收費為0.4×13.6%+0.6×2%=6.64%。

即收費為管理資產的6.64%，預期管理費為2%，預期績效費為4.64%。

對於投資者而言，預期回報率為0.4×（0.8×58%）+0.6×（-60%-2%），即-18.64%。

表4-4是對以上例子的總結，該例顯示，即使在預期回報率為負的情況下，對衝基金的收費結構仍然會促成基金經理承擔高風險。我們可以採用門檻回報率、高潮位標記條款以及分紅追回條款來減少基金經理承擔高風險的傾向。但是對投資者而言，這些條款並不像聽起來那麼有效，其中一個原因是投資者必須持續地將資金投放到對衝基金上才能享受其好處。另外一點是當對衝基金的損失累積太大後，對衝基金經理很可能就此從對衝基金隱身而退，然後再開始一家新的基金。

表4-4　高風險投資回報

注：回報率為60%及-60%所對應的概率分別為0.4和0.6，對衝基金的收費為“2%+20%”。

我們這裡所說的動機是有據可查的。你可以想象一下，如果你是對衝基金Amaranth（希臘語為“不凋花”的意思）的投資者，你會有何感想。Amaranth的一個交易員Brian Hunter喜歡對天然氣價格下大賭注，2006年以前，他的賭注往往是對的，因此他也被認為是明星交易員。據說包括分紅在內，他的工資在2005年高達1億美元。2006年，他的賭注終於出現了錯誤，因此賬下資產數量達90億美元的Amaranth損失了65億美元（這一數量比另一個對衝基金，即長期資本管理公司（Long Term Capital Management）在1998年的損失還要大）。Brian Hunter並沒有交回他以前的分紅所得，他只是離開了Amaranth，並隨之試圖再建立一個自己的對衝基金。

有趣的是，從理論上講，兩個人串通起來可以採用以下形式創立一個生錢機器（money machine），第一個人可以創立一個對衝基金，並且進行一些高風險（並且是祕密）投資，另外一個人也創立一個對衝基金，但其投資策略完全與第一個人相反。例如，第一個對衝基金買入了100萬美元的白銀，第二個對衝基金應該賣空相同數量的白銀。在創立基金時，這兩個人可以簽訂合約來共享績效費，兩個對衝基金中的一個（但我們並不知道是哪一個）的收益一定會很好，並且掙得了一個較好的績效費，另外一個的表現會很差，因此不能掙得績效費。只要這兩個對衝基金可以找到投資者，它們就有了一個生錢機器。

4.5.3　機構經紀人

機構經紀人是為對衝基金提供服務的銀行。通常來講，對衝基金在剛剛創立時，會選擇一家特定的銀行作為其機構經紀人。這家銀行將會處理對衝基金的交易（可以是與機構經紀人本身之間進行的交易，也可是與其他經紀交易商進行的交易），進行淨值結算決定對衝基金是否還要補充抵押品；當對衝基金想進入賣空交易時，幫助對衝基金借入證券；為對衝基金提供現金管理和投資組合報告服務；為對衝基金提供貸款服務等。有時機構經紀人會提供風險管理及諮詢服務，並向對衝基金介紹潛在投資者。機構經紀人對對衝基金的投資組合十分了解，並一般會對投資組合進行壓力測試以決定它準備給基金提供多少槓桿。

雖然對衝基金不受監管的嚴格制約，但它們受制於機構經紀人的質詢。對對衝基金來說，機構經紀人往往是最主要的借貸資金來源。機構經紀人會監督對衝基金承擔的風險，並決定對衝基金可採用多大的槓桿。通常來說，對衝基金借貸時，要向機構經紀人繳納抵押品。當對衝基金交易產生損失時，需要繳納的抵押品價值會更大；如果對衝基金拿不出足夠多的抵押品，那麼它就別無選擇，只能將交易平倉。如果一個交易在長遠來講會盈利，而在短期會虧損，那麼對衝基金應該做出謹慎決策。比如，某家對衝基金可能認為目前市場上的信用價差已經太高，因此在此交易中使用了高槓杆，決定買入BBB級債券，並且賣空政府債券。但是，信用價差在降低之前有可能會進一步升高，這時對衝基金可能沒有足夠的抵押品，它只能被迫將交易平倉並承擔巨大的損失。

當對衝基金的規模變大後，對衝基金往往會採用多個機構經紀人，這意味著沒有一家銀行可以看到對衝基金的全部交易，也不會完全知曉對衝基金投資組合的構成。與多家機構經紀進行交易給對衝基金在談判中帶來更多的發言權，這可以幫助對衝基金降低其交易費用。高盛集團和摩根士丹利以及其他大銀行，均為對衝基金提供機構經紀服務，這些銀行發現經紀服務確實可以給自身帶來豐厚的盈利。^[2]

[1] 來自奧馬哈（Omaha）的著名的巴菲特也可以被認為是對衝基金的先驅。1956年，他創立了巴菲特有限合夥人公司，當時公司共有7位合夥人，每人投股100100美元。巴菲特向每個合夥人收取的手續費是超出25%門檻回報率以上的盈利的25%。巴菲特專長於特殊情形投資、併購套利、公司分割獨立（spin-off），以及不良債權投資，巴菲特的平均回報率是每年29.5%。巴菲特的合夥人公司在1969年解散，之後巴菲特成立了伯克希爾-哈撒韋公司（持股公司，並非對衝基金）。

[2] 銀行向對衝基金提供貸款時會承擔一定的風險，反之對衝基金選定某家銀行作為機構經紀人時也會承擔一定的風險。許多對衝基金選定雷曼兄弟為機構經紀人，當雷曼兄弟在2008年破產時，對衝基金發現不能收回自身的資產。

4.6　對衝基金的策略

在本節中我們將討論對衝基金所採用的某些策略，我們這裡採用的分類與道瓊斯瑞信（Dow Jones Credit Suisse）所給出的分類相似。道瓊斯瑞信提供跟蹤對衝基金表現的指數。並不是所有的對衝基金均可以按這種形式分類，有些對衝基金採用我們討論策略的若干種，有些對衝基金的策略在這裡根本就沒有列舉（例如，一些對衝基金專長於氣候衍生產品）。

4.6.1　股票多空型

如在前面所述，多空股票（long/short equity）策略曾被對衝基金的先驅瓊斯採用。這種策略仍然是對衝基金策略中最為流行的一種。在該策略中，對衝基金經理首先識別一組價格被市場低估的股票和一組價格被市場高估的股票，然後基金經理會持有第一組股票的多頭並持有第二組股票的空頭。通常來講，對衝基金必須向其機構經紀人每年支出1%的費用，這一費用是租用在空頭頭寸中借入的股票的租金（見第5章關於空頭的討論）。

多空股票策略的關鍵在於股票的選取。如果在交易策略中，價格被高估以及低估的股票選取得很好，那麼該交易策略無論是在牛市還是在熊市中均能產生好的收益。對衝基金經理常常會非常重視還沒有受到股票分析員關注的小股票，並進行大量的基本面分析（fundamental analysis）。這種分析法的先驅是本傑明·格雷厄姆。對衝基金經理可能會偏向於一個淨多頭頭寸，即做空的數量比做多的數量稍少；或者偏向於一個淨空頭頭寸，即做多的數量比做空的數量稍少。瓊斯在其成功運用該策略中，持有一個淨多頭頭寸。

一個股票市場中性（equity-market-neutral）對衝基金採用多空股票策略，但沒有任何淨多頭或淨空頭。一個絕對額中性（dollar-neutral）對衝基金是一個股票市場中性基金，其中以貨幣量為計的多頭頭寸數量等於以貨幣量為計的空頭頭寸數量。一個beta中性（beta-neutral）對衝基金是一個更為複雜的股票市場中性基金，其做多的股票的加權平均beta等於其做空的股票的加權平均beta。所以整個投資組合的整體beta為0。如果資本資產定價模型成立，那麼beta中性對衝基金對市場變動不具有敏感性。有時beta中性交易可以利用股指期貨的多頭或空頭來實現。

有時股票市場中性基金會走得更進一步，某些對衝基金會保持一個行業中性（sector neutrality），其中交易組合中的多/空頭頭寸以行業為基準。還有一些基金保持因子中性（factor neutrality），其中交易組合對於某個因子，例如石油價格或利率水平或通貨膨脹率為中性。

4.6.2　專營賣空型

專營賣空（dedicated short）的基金經理會花其全部精力專門尋找那些價格被高估的公司，並賣空這些公司的股票。他們的交易策略是利用經紀人和股票分析員輕易不願發出變賣建議（sell recommendation）這一特點，雖然我們可以很合理地認為在任意時刻市場上價格被高估的公司數量與被低估的公司數量是大致相當的。一般來說，專營賣空的基金經理所選擇的公司往往是那些財務狀態較弱、經常更換審計公司、延遲向SEC提供財務報告、行業產能過剩、被起訴或試圖會讓賣空其股票的投資者保持沉默的那些公司。

4.6.3　不良證券型

信用級別為BB級或更低的債券被稱為“非投資級”（non-investment grade）或“垃圾債券”（junk bond）。信用級別為CCC級的債券被稱為不良（distressed）債券，信用級別為D級的債券是處於違約狀態的債券。一般來講，不良債券的價格遠低於其票面價值（par value），不良債券的回報率可能會比政府債券回報率高1000個基點（10%）以上，當然投資者只有在這些債券仍能支付利率和本金的前提下才能掙得高回報率。

專長於不良債券的基金經理會謹慎地計算對於不同情形以及在不同的概率情況下，債券的公允價格。不良債券通常不能被賣空，因此基金經理會努力在市場上尋找價格被低估的不良債券。破產過程通常會導致公司的重組或清算，基金經理要了解司法系統的運作，要通曉公司解體時資產支付的優先權，要懂得如何估計回收率，並預測公司管理層的應對措施等。

有些基金經理是被動投資者，他們的策略是在不良債券價格很低時買入債券，然後等待；有些對衝基金採用主動投資方式，他們可能會買入大量市場上既存的不良債券，然後再設法去影響公司今後的重組建議。在美國破產法第11章關於重組的規定中，對於一個重組計劃，只有在超過每個層級債權人（class of claim）的2/3多數贊成的情況下，重組計劃才能被批准。在公司重組時，股權的價格常常會變得一文不值，而沒有償付的債券會轉換成新的股權。有時，一個主動型基金經理的目標是買入超過1/3的債券，取得對目標公司的控制權，並設法從中盈利。

4.6.4　併購套利型

併購套利（merger arbitrage）涉及在兼併和收購消息公佈後進行交易，同時寄希望於併購交易的達成。市場上有兩種併購形式：現金交易和換股交易。

首先考慮現金交易。假定公司A準備以每股30美元的價格買入公司B的所有股份，公司B的股價在消息公佈時為每股20美元。消息一經公佈，其股價可能會漲到28美元。股價不會一下子漲至30美元，原因如下：①併購交易不一定達成；②市場需要一定的時間才能完全理解併購交易的影響。併購套利型對衝基金可能以每股28美元的價格買入公司B的股票，然後等待。如果收購協議確實達成了，那麼公司B股票變為30美元，對衝基金盈利為每股2美元；如果併購協議達成的價格超過30美元，那麼對衝基金的盈利會更高。但是，如果併購協議沒有達成，對衝基金將蒙受損失。

接下來考慮換股交易的情形。假定公司A宣佈將以自身的1股股票換取4股公司B的股票。假定在消息公佈前公司B的股票價格為公司A的股票價格的15%。在消息公佈後，公司B的股票價格可能會漲至公司A的22%。一個併購套利型對衝基金可能會買入一定數量公司B的股票，同時賣空等於這一數量25%的公司A的股票。如果換股比例確實按宣佈的消息順利執行，或者換股比率對公司B更有利，那麼這種交易策略會給對衝基金掙得盈利。

併購套利型基金可以產生穩健但並不令人吃驚的回報。我們應該區分併購套利與伊凡·博斯基（Ivan Boesky）的行為以及其他在併購消息公佈之前進行的內部交易行為。^[1]內部交易是違法行為，因內部交易，伊凡·博斯基被判3年徒刑，並且被罰款1億美元。

4.6.5　可轉換債券套利型

可轉換債券是指那些在將來某個時刻可以轉化為債券發行人股票的債券，並且指明瞭根據可能兌換的時間，每份債券可換取等額股票數量。債券發行人一般有權在將來，在一定條件下買回債券（比如，以指定價格贖回債券）。通常，債券發行人會以贖回債券的形式來強迫債券持有者將債券轉換為股票（如果債券不被贖回，債券持有者會盡量延遲將債券轉換為股票的時間）。

可轉換債券套利型對衝基金一般都研發了複雜模型對可轉換債券進行定價。可轉換債券的價格以某種複雜的方式取決於以下變量：股票價格、股票波動率、利率水平以及發行人的違約率等。許多可轉換證券的交易價格低於其公允價格。對衝基金經理往往會買入這樣的證券，並以賣空股票的形式來對衝風險（這是第7章討論的delta對衝的一種應用）。基金經理可以通過賣空債券發行公司的其他非轉換債券的形式來對衝利率和違約風險。另外一種做法是利用利率期貨、資產互換或信用違約互換等產品來對衝風險。

4.6.6　固定收益套利型

進行固定收益產品交易的最基本工具是零息收益率曲線。該曲線可以依據本書附錄B中所描述的方法進行構造。對衝基金可以採用的一種固定收益產品策略是相對價值（relative value）策略。在該策略中，對衝基金經理買入那些由收益曲線表明被市場低估的債券，同時賣出那些由收益曲線表明被市場高估的債券。市場中性（market neutral）策略與相對價值策略十分相似，唯一不同之處是市場中性策略會保證基金對利率的變動沒有風險敞口。

有些固定收益型對衝基金採用一些方向性的投資策略，即它們的持倉量建立在某些利率的利差或者利率水平本身會朝某個特定的方向變動這一假設上。這些基金一般具有很強的槓桿特性，因此要支付抵押品。因此它們所面臨的風險是：長期來講，它們的決策是正確的，但短期市場變動觸發了損失，導致它們不能支付足夠的抵押品，並因此不得不將交易平倉而蒙受損失。這種風險恰恰發生在對衝基金長期資本管理公司身上（見業界事例19-1）。

4.6.7　新興市場型

新興市場型對衝基金專長於對發展中國家的投資。有些基金注重於股票投資，它們從市場中篩選那些價格被高估和低估的股票。基金經理會通過到發展中國家進行商務旅行、出席會議、與分析員會晤、與公司管理人員討論並採用僱用諮詢人員的方式取得信息。一般他們會選擇在當地交易所上市的股票進行投資，但有時他們也會利用美國存託憑證（American Depository Receipts，ADR）的形式來進行投資。ADR是在美國發行並在美國交易所交易的憑證，這些憑證由外國公司的股票作為支持。ADR可能比外國公司的股票的流動性更好，交易費用更低。有時ADR與標的資產價格會有差別，這因此也會產生套利機會。

另外一種新興市場的投資產品是發展中國家發行的債券。歐洲債券（Eurobond）是由一個國家發行，以美元或歐元硬通貨計價的債券；布雷迪債券（Brady bond）是由美國財政部支持的以美元計價的債券；當地貨幣債券（local currency bond）是由當地貨幣計價的債券。對衝基金會投資於以上3種債券。無論當地貨幣債券或歐洲債券均具有風險。俄羅斯、阿根廷、巴西及委內瑞拉曾多次對其發行的債券違約。

4.6.8　全球宏觀型

全球宏觀型（global macro）對衝基金採用超級明星管理人喬治·索羅斯和朱利安·羅伯遜等採用的交易策略，其基金經理進行的交易反映了全球經濟的走向。他們試圖尋求那些市場因某種原因脫離其平衡點的情形，並且對經濟狀態會返回平衡點而下賭注。他們經常會對利率及匯率市場下賭。喬治·索羅斯的量子基金（Quantum Fund）在1992年的一個策略是對英國英鎊價值走低進行下賭，這為基金帶來了10億美元的盈利。最近，對衝基金對於美國的國際收支赤字會造成美元貶值下了賭注（賭注結果有好有壞）。全球宏觀型對衝基金的重要問題是他們並不知道經濟平衡會在何時恢復。因某種原因，世界市場不平衡狀態可能持續很長時間。

4.6.9　管理期貨型

對衝基金經理利用管理期貨（managed futures）策略來預測將來大宗商品價格的變動。有些基金依賴於基金經理的判斷；有些基金利用計算機程序來進行交易；有些基金的交易是基於技術分析（technical analysis），技術分析是指用過去的價格變動規律來預測將來的價格；另外一些基金採用基本面分析（fundamental analysis）來決定交易決策，基本面分析是從經濟、政治或其他相關因素來確定大宗商品價格。

當利用技術分析時，交易策略要首先應用於歷史數據，這種檢測被稱為回溯測試（back-testing）。如果（往往是這樣）某個交易規則是基於歷史數據歸納得出，那麼分析員必須進行樣本外檢驗（即將策略應用於那些沒有用於產生規則的數據）。分析員應該認識到數據挖掘的潛在危險性。分析員可能開發出了成千上萬個不同的交易規則，並用歷史數據來檢驗這些規則。可能是由於運氣，一些規則的表現會很好，但不意味著這些規則在將來表現就一定會好。

[1] 邁克爾·道格拉斯（Michael Douglas）在得獎影片《華爾街》（Wall Street）所扮演的角色戈登·蓋柯（Gordon Gekko）的原型就是伊凡·博斯基。

4.7　對衝基金的收益

與評估共同基金的收益相比，對對衝基金的收益進行評估不是件容易的事情。市場上並沒有包含所有對衝基金信息的數據庫。研究人員可以取得TASS對衝基金數據庫，但參與這一數據庫與否取決於對衝基金自身的意願。小的對衝基金或表現差的對衝基金不願意公佈其業績，因此數據庫中也就不包括這部分數據。當對衝基金公佈業績時，這些數據也會用來彌補這個對衝基金以前的空白數據，而這會造成數據偏差。如上所述，對衝基金一般會在收益好的情況下才開始報告收益。在剔除數據偏差後，有些研究人員發現對衝基金的實際回報並不比共同基金更好，特別是考慮到管理費以後。

有人認為，對衝基金可以改善養老基金的風險-回報替代關係。這是因為養老基金不能（或者是因為自身的選擇不願）進行賣空交易、槓桿化、衍生產品投資或從事其他複雜的交易，而這些交易往往被對衝基金採用。投資對衝基金（在付費條件下）是養老基金直接擴大其投資範圍的一種形式，這麼做也許會改善有效邊界的結構（見第1.2節關於有效邊界的討論）。

我們常看到有些對衝基金在某些年會給出令人瞠目的回報，然後突然香消玉殞。長期資本管理公司在1994年、1995年、1996年、1997年給出的回報率分別是28%、59%、57%、17%，而在1998年，該對衝基金基本損失了其全部資本金。有人指出對衝基金的回報就如同承約一個虛值期權（賣出一個虛值期權）。在大多數情況下，這些期權不會帶來損失，但有時這一期權也會觸發巨大損失。

這看起來似乎對對衝基金不太公平。對衝基金的支持者認為對衝基金確實可以找到盈利的機會，而許多其他投資者沒有資源及能力做到這一點。他們可以舉出一些頂級基金經理的例子，說明這些人確實可以找到好的投資機會。

在2008年以前，對衝基金的表現確實很好。2008年，雖然對衝基金總體上是虧損的，但表現還是超過了標準普爾500指數。但在2009～2016年，標準普爾500指數的表現遠遠超過一般的對衝基金。^[1]巴克萊對衝基金指數是一個剔除了費用（可能有些前面提到的偏差）後的資產加權回報率指數。表4-5比較了該指數的回報與標準普爾500指數的總回報。

表4-5　對衝基金表現

[1] 需要說明的是，對衝基金的beta通常小於1（例如，多空股票型基金通常被設計成beta接近0），所以在市場表現非常好的時段，回報率低於標準普爾500指數並不一定意味著投資組合的alpha是負的。

小結

共同基金和交易所交易基金給小投資者提供了分散風險的途徑。有證明顯示，整體來講，主動型共同基金的表現沒有好過市場，這造成了許多投資者將資金投放於那些跟蹤市場指數，例如標準普爾500指數的基金。

許多共同基金為開放型，即隨著投資者買入（賣出）份額，基金的份額數量會增大（減小）。開放式基金在每個工作日下午4點計算其份額的淨資產價值，該價值被用於在4點前24小時內買入和賣出訂單的價格。封閉式基金的份額固定，其交易方式類似於其他企業的股票交易。

交易所交易基金（ETF）是對開放式基金和封閉式基金的一種替代，這種基金十分流行。在任意一個時刻，基金的份額為已知，大型機構投資者可以在任意時刻將持有基金的份額轉換為基金中的資產，這可以保證ETF的份額（不同於封閉式資金）的交易價格十分接近於資金的淨資產價值。ETF的份額可以被隨時交易（而不僅僅是在下午4點），ETF的份額可以被賣空（這不同於開放式基金的份額）。

對衝基金是為了迎合大型投資者的需求。相比共同基金，對衝基金所受的監管制約很少。對衝基金的收費遠高於共同基金。典型的收費是“2%+20%”，這意味著對衝基金每年會將管理資產規模的2%，以及基金盈利的20%（如果有的話）作為管理費。對衝基金經理持有自己管理的基金中資產的看漲期權，因此，對衝基金經理可能會有增大管理資產的風險的動機。

對衝基金所採用的交易策略包括多空股票、專營賣空、不良證券、併購套利、可轉換債券套利、固定收益套利、新興市場、全球宏觀和管理期貨。在扣除管理費以後，對衝基金是否比指數基金提供更好的風險和回報的平衡仍是一個有爭議的問題。對衝基金可能會在連續幾年提供良好的回報後，突然給投資者帶來毀滅性的損失。

延伸閱讀

練習題

4.1　開放式基金與封閉式基金的區別是什麼？

4.2　一個開放式基金的淨資產價值是如何計算的？在一天什麼時候計算？

4.3　一個投資者在2018年1月1日，以每份30美元的價格買入了100份共同基金，基金在2018年及2019年的資本收益分別為每股3美元和每股1美元，假定沒有任何股息收入。投資者在2020年以每股32美元的價格賣出了基金。投資者在2018年、2019年和2020年的資本收益及虧損分別為多少？

4.4　什麼是指數基金？如何生成指數基金？

4.5　什麼是對衝基金的（a）前端收費和（b）後端收費？

4.6　解釋一個跟蹤標準普爾500指數的ETF的運作方式。與以下基金比較，ETF的優勢是什麼？（a）開放式對衝基金；（b）封閉式對衝基金。

4.7　一列數字的幾何平均與算術平均的區別是什麼？在計算共同基金回報時，我們應該用哪一種平均方式？

4.8　解釋以下詞彙的含義：（a）延遲交易；（b）擇時交易；（c）搶先交易；（d）定向經紀。

4.9　給出那些限制共同基金，但不能限制對衝基金的規則。

4.10　“如果70%的可轉換證券交易與對衝基金有關，我預計這種交易的盈利會降低。”討論這個觀點。

4.11　解釋與對衝基金績效費有關的條約的含義：門檻回報率、高潮位標記條款、分紅追回條款。

4.12　一個對衝基金收費為“2%+20%”，投資者期望在付費後回報率仍能達到20%，對衝基金在收到投資者的付費之前的投資回報率最小為多少才能滿足投資者的要求？假定獎勵費用按扣除資產管理費後的淨回報計算。

4.13　“對對衝基金而言，長期盈利十分重要，而短期的盈虧並不重要。”討論這一觀點。

4.14　“對衝基金的風險由其機構經紀人來掌控。”討論這一觀點。

作業題

4.15　一個投資者在2018年1月1日，以每份50美元的價格買入了100份共同基金，基金在2018年及2019年得到的股息分別為每股2美元和每股3美元，股息被再次投資於基金。基金在2018年及2019年的資本收益分別為每股5美元和每股3美元，投資者在2020年以每股59美元的價格賣出了基金。解釋投資者如何交稅。

4.16　一個共同基金的高回報之年馬上緊跟一個低迴報之年，其每年回報率為+8%、-8%、+12%、-12%，投資者4年的整體回報為多少？

4.17　一個基金的基金將其資金投資於5個對衝基金，5個對衝基金在某年的回報率分別為-5%、1%、10%、15%和20%。基金的基金管理費為“1%+10%”，每個對衝基金的管理費為“2%+20%”。對衝基金的獎勵費按扣除管理費後的淨回報計算；基金的基金的獎勵費按所投資的對衝基金的淨平均回報（扣除對衝基金的管理費和獎勵費）扣除自身的管理費後計算。投資的整體回報是多少？這些回報將如何在基金的基金、對衝基金以及投資者中分配？

4.18　一個對衝基金收費為“2%+20%”，一個養老基金將資產投資於此對衝基金。畫出養老基金回報作為對衝基金回報的函數的圖形。

第5章
金融市場上的交易

金融機構交易大量不同類型的金融產品，交易的目的多種多樣，有些交易是為了滿足其客戶的需求，有些是為了管理自身的風險，有些是為了尋求套利機會，還有一些是為了反映自身對市場走向的預測（第16章中將要介紹的《多德-弗蘭克法案》中的沃爾克法則禁止美國金融機構出於最後兩個目的進行交易）。

我們將在今後的章節中討論金融機構如何管理自身的交易風險。這一章的目的是介紹用於交易的產品、描述交易的過程以及產品的使用方式，以便為以後的討論奠定基礎。在介紹不同的交易所交易產品時，我們將討論交易所保證金的使用。保證金是交易所要求交易者擔保的抵押品（通常以現金形式），以保證他們履行義務。在後續章節中你將看到，保證金已經成為場外交易市場的一個重要特徵。

5.1　市場

金融產品交易市場可分成兩類：第一類市場為交易所交易市場（exchange traded market），第二類為場外交易市場（over-the-counter market，OTC market）。

5.1.1　交易所交易市場

在交易所交易金融產品已經有非常悠久的歷史。有些交易所，例如紐約證券交易所（NYSE，www.nyse.com），主要進行股票交易，而在其他的交易所，例如芝加哥證券交易所（CBOT，www.cbot.com）及芝加哥期權交易所（CBOE，www.cboe.com），主要進行期貨以及期權等衍生產品交易。

交易所的主要職責是定義交易合約、組織交易並使得交易雙方的利益同時得到保護。傳統上交易雙方在交易所相見並通過複雜的手勢系統達成交易。這種交易方式被稱為公開叫價（open outcry）交易。而現在大部分交易所已經全部或部分採用電子交易系統（electronic trading）代替了公開叫價。交易員通過鍵盤將所期望的交易輸入系統，由計算機來撮合買方和賣方。並不是所有的人都認為電子交易系統更為可取。同傳統形式相比，電子交易在體力上更為輕鬆，但從某種意義上講，交易變得不像以前那麼有趣了，交易員也沒有機會通過觀察其他交易員的行為和肢體語言來預測市場的短期走向。

有時做市商（market maker）會協助交易的達成。做市商可以是個人或機構交易者，他們通常隨時既提供買入報價（bid price），又提供賣出報價（offer price）。例如，當市場上的一個交易者向做市商索要關於某股票的報價時，做市商給出“以30.30美元買入，以30.35美元賣出”的報價，這是指做市商願意以每股30.30美元的價格買入該股票，同時願意以每股30.35美元的價格賣出該股票。在提供報價時，做市商並不知道詢價者是想買入還是賣出股票。交易所一般會指定做市商可以提供的買入-賣出的最大差價。做市商可以從差價中取得利潤，但他們必須謹慎地管理所持有的頭寸，以控制自身對市場價格變化的風險敞口。

5.1.2　場外交易市場

場外交易市場是由為金融機構和大企業工作的交易員以及基金經理構成的一個龐大的網絡。在場外交易市場上交易的產品很多，例如債券、外匯和衍生產品。銀行是場外交易市場的重要參與者，並常常扮演一些常規金融產品做市商的角色。例如，為了幫助大型企業進行大宗交易，許多銀行願意提供外匯的買入價和賣出價。

場外交易的最大優點是合約的內容不受交易所的限制，市場上的交易雙方可以根據自己的需要來構築合約。場外交易市場交易的電話通常是被錄音的。當交易雙方產生分歧時，電話錄音可以被用來解決爭端。場外交易市場交易的數額往往會遠遠大於交易所內的交易。

5.2　清算所

交易所交易的衍生產品合約由清算所進行管理。清算所由一定數量的會員構成，來自非會員的交易需要經由會員做通道。會員需要向由清算所管理的保證基金繳納費用。

假設在某交易所市場上，交易者X同意向交易者Y出售一個期貨合約。實際上，清算所會介於二者之間，交易者X將合約賣給清算所，而交易者Y從清算所購入該合約。這樣做的優點是交易者X不必擔心交易者Y的信用狀況，反之亦然。兩位交易者都只同清算所打交道。如果其中一個交易者已經是清算所成員，那他可以直接與清算所進行交易；如果不是清算所成員，那麼交易需要通過其他成員進行。

如果一位交易者的交易未來可能會產生損失（如該交易者進行了期貨或期權交易），那麼清算所會要求交易者提供現金或有價證券作為抵押品。這些抵押品被稱作保證金（margin）。如果沒有保證金，清算所就會承擔市場對交易者的不利變動以及由此引發的交易者違約的風險。清算所設定的保證金要求通常要有99%的把握確保此類情況不會發生。如果此類情況確實發生了，保證金會被用來償付。因此，清算所違約的概率極低。

長期以來，部分場外交易也通過清算所進行，這些清算所被稱作共同對手方（或中央對手方，central counterparty，CCP）。CCP的角色和交易所場內的清算所類似。它介於交易的雙方之間，從而隔離交易雙方對對手的信用風險敞口。CCP也由會員構成，會員同樣需要繳納保證基金份額，並提供交易保證金。現在，監管部門要求金融機構之間的標準化衍生工具必須通過CCP清算。我們將在第17章中對此做進一步的討論。

5.3　資產的多頭和空頭

最簡單的交易是以現金買入資產，或賣出資產來取得現金，例如：

（1）買入100股IBM股票；

（2）用100萬英鎊兌換美元；

（3）買入1 000盎司^[1]黃金；

（4）賣出價值100萬美元的通用汽車公司發行的債券。

以上的第一個交易往往會發生在交易所內，而另外其他3個交易可能是場外交易。這些交易被稱為現貨交易（spot trades），因為這些交易往往會觸發資產的即時（on the spot）交付。

當投資者想通過其經紀人買入某項資產時，投資者通常可以通過交納保證金向經紀人借入資產成本的一半買入資產，並以該資產作為抵押物放在經紀人手中，即保證金買入（buying on margin）。經紀人面臨著該資產價格劇烈下跌的風險。因此，經紀人需要監控保證金賬戶的餘額。這是投資者支付的購買價格的一部分，根據資產的收益或損失進行調整。如果保證金賬戶的餘額低於資產價值的25%，那麼投資者必須補充保證金，將保證金餘額恢復到之前的水平。假設一名投資者以保證金購買的方式買入1 000股每股120美元的股票，該投資者必須支付一半的成本，即60 000美元。如果股價跌至78美元，就會損失42 000美元，保證金賬戶的餘額就變成18 000美元。保證金比例變成18 000/78 000，即23.1%，投資者必須補充1 500美元到保證金賬戶，使保證金賬戶的餘額達到78 000美元的25%。如果投資者不能及時補充保證金，經紀人就會對該資產進行平倉。

資產賣空交易

在某些市場，你可以賣出現在你並不擁有，而在今後有意買回的產品。此類交易被稱為資產賣空（借賣），我們下面以賣空股票為例來說明如何進行賣空交易。

假定某投資者想通過其經紀人來賣空500股IBM股票。經紀人往往會通過借入某位客戶的股票，並將股票在交易所進行變賣來執行投資者的指令（借入股票可能要支付一定的費用）。投資者可以按其意願，將賣空交易持有到任意時刻，其前提是經紀人可以隨時借到股票。在今後的某一時刻，投資者可以買入500股IBM股票對自己的賣空交易進行平倉。這些買入的股票用於償還在此之前借入的股票。當股票價格下跌時，投資者會有所盈利；當股票價格上漲時，投資者會有所損失。在賣空交易平倉之前，如果經紀人不能再借入股票，投資者就會受到賣空擠壓（short-squeezed）。此時，無論投資者是否願意，都必須對其交易進行平倉，也就是說，此時投資者必須馬上償還其借入的股票。

在賣空交易中，賣空投資者必須向經紀人支付所有賣空資產的收入，例如股票的股息及債券的券息等。這些收入是在一般情況下賣空資產的應得收入，經紀人會將這些收入轉入股票借出方的賬戶。假設某投資者在4月股價為120美元時，進入500股賣空交易。在7月當股價為100美元時，對交易進行平倉。假定股票在5月支付了每股1美元股息。在4月交易最初，投資者收到500×120=60 000美元。在5月，因為股息，投資者要支付500×1=500美元，在7月交易平倉時，投資者要支付500×100=50 000美元。投資者的淨收益為

60 000-500-50 000=9 500（美元）

在表5-1中，我們詳細展示了賣空交易的現金流，由表5-1我們可以看到，在賣空交易中投資者的現金流就如同在4月買入並在7月賣出的一筆正常股票交易的現金流的鏡像反射（假設借入資產無須支付任何費用）。

表5-1　買入以及賣空股票所對應的現金流

在賣空交易中，賣空方一定要在經紀人那裡開一個保證金賬戶，這是為了保證在股票價格上漲時投資者不會違約。我們將在本章後面的內容中討論保證金賬戶。

關於賣空的規則經常改變，美國SEC在2007年7月取消了賣空交易中的上漲拋空規則（uptick rule），但在2009年4月重新引入了這一規則（在這一規則下，只有證券價格在最近一段時間呈上升狀態時，才允許賣空）。2008年9月19日，為了阻止銀行股票價格大幅下跌，SEC對799家金融公司的股票暫時實施了禁止賣空的規定，這一規定與在前一天英國金融服務局（Financial Services Authority，FSA）所發佈的關於禁止賣空的規定十分相似。

[1] 1盎司=28.35克。——譯者注

5.4　衍生產品市場

衍生產品是指價格取決於（或來源於）其他更基礎的市場變量的產品，例如，股票期權是價格取決於股票價格的一種衍生產品。

衍生產品在交易所和場外交易市場均進行交易，兩個市場的規模都很大。雖然這兩個市場的統計結果不具有完全可比性，但很顯然，場外交易市場規模遠大於交易所市場。國際清算銀行（Bank of International Settlement，www.bis.org）從1998年起開始統計這一數據。圖5-1比較了：①1998年6月～2016年12月場外交易市場交易的標的資產面值總和；②同一時間段的交易所合約中標的資產的總價值。從這些數據中我們看到，截至2016年12月，場外交易市場的交易量為482.9萬億美元，而交易所市場的交易量為67.2萬億美元。^[1]圖5-1顯示，場外市場在2007年之前一直保持快速增長，但此後幾乎沒有淨增長。2014年和2015年市場下滑在很大程度上是因為受壓。這是兩個或兩個以上的交易對手相互重組交易而導致本金減少的結果。

圖5-1　1998～2016年場外交易和交易所交易衍生產品市場的規模

在解釋這些數據時，我們應該認識到場外交易市場交易產品的面值與其價值並不是一回事。例如，某一場外交易市場交易合約為1年期，以某一指定匯率以英鎊買入1億美元，這一交易的總面值為1億美元。但是這一交易的價值可能只有100萬美元。國際清算銀行估計截至2017年6月，所有場外交易市場合約的市場總價值大概為12.7萬億美元。^[2]

[1] 當衍生產品通過中央對手方清算時，如第17章所描述的，會產生兩個相互抵消的交易合約，因此會誇大場外交易市場的實際規模。

[2] 一個對於某一方價值為100萬美元，而對另一方價值為-100萬美元的交易的總價值被計為100萬美元。

5.5　普通衍生產品

在這一節中，我們將討論衍生產品市場的標準或交易最普遍的合約，這些合約被稱為普通（plain vanilla）衍生產品。

5.5.1　遠期合約

遠期合約約定合約的買方在將來某一時刻以一個固定價格買入某種資產。遠期合約交易是一種場外交易，在遠期合約中，同意在將來某一時刻以某一約定價格買入資產的一方稱為多頭寸方（long position），同意在將來某一時刻以同一約定價格賣出資產的一方稱為空頭寸方（short position）。

外匯遠期合約在市場上非常流行，表5-2顯示2017年6月9日某跨國銀行給出的英鎊（GBP）及美元（USD）匯率的買入價及賣出價，這裡的匯率價格是指每英鎊所對應的美元價值。表中的第1行數字顯示該銀行準備以每英鎊1.273 2美元的價格在現貨市場買入英鎊，同時這家銀行也準備以每英鎊1.273 6美元的價格在現貨市場賣出英鎊；表中第2行顯示該銀行準備在一個月後以每英鎊1.274 6美元的價格買入英鎊，同時銀行也準備在一個月後以每英鎊1.275 1美元的價格賣出英鎊。表5-2中其他行的含義也依此類推。

表5-2　2017年6月9日USD/GBP即期及遠期的買入價及賣出價

注：GBP代表英鎊，USD代表美元，表中所示價格為每英鎊所對應的美元價格。

遠期合約可以被用來對衝外匯風險。假定在2017年6月9日，美國某企業的財務部主管已經預知在1年後（2018年6月9日）公司業務要支付100萬英鎊，這位主管準備對衝外匯風險。他可以同銀行達成一個如表5-2所示的遠期合約。此合約約定在1年後，這家企業必須以每英鎊1.288 9美元的價格買入100萬英鎊。在此遠期合約中該企業為英鎊多頭寸方，也就是說此企業在2018年6月9日將以128.89萬美元的價格買入100萬英鎊。銀行在合約中處在英鎊空頭寸方的位置，也就是說銀行必須在2018年6月9日以128.89萬美元的價格賣出100萬英鎊。該企業及銀行對合約的履行均做出了有約束力的承諾。

遠期合約在簽署以後會產生什麼樣的結果呢？在該遠期交易中，企業有義務在1年後以每英鎊1.288 9美元的匯率，買入100萬英鎊。如果匯率上漲，假如說在1年後1英鎊值1.500 0美元，這時企業能夠以遠期合約規定的每英鎊1.288 9美元的價格（而不是以每英鎊1.500 0美元的價格）買入100萬英鎊，這對企業來講，遠期合約價值為211 100美元（=（1.500 0-1.288 9）×1 000 000）。當然，對於企業而言，最終的合約價值也可能為負。如果1年後，匯率跌至每英鎊1.100 0美元，按照遠期合約，企業仍必須以每英鎊1.288 9美元的價格（而不是以每英鎊1.100 0美元的價格）買入100萬英鎊，這會給企業帶來188 900美元的損失（=（1.288 9-1.100 0）×1 000 000）。以上例子說明，持有遠期合約的多頭所帶來的收益可正可負，遠期合約多頭的收益等於資產即期價格減去合約的執行價格，如圖5-2a所示。

圖5-2　遠期合約的收益

在以上例子中，銀行持有遠期合約的空頭，其持有頭寸是企業頭寸的鏡像反射。銀行同意在6個月後以匯率每英鎊1.288 9美元的價格賣出100萬英鎊。如果在1年後1英鎊值1.500 0美元，按照遠期合約，這時銀行必須以每英鎊1.288 9美元的價格（而不是以每英鎊1.500 0美元的價格）賣出100萬英鎊。這會給銀行帶來211 100美元的損失。如果在1年後，匯率跌至每英鎊1.100 0美元，按遠期合約，這時銀行能夠以每英鎊1.288 9美元的價格（而不是以每英鎊1.100 0美元的價格）賣出100萬英鎊。這會給銀行帶來188 900美元的收益，遠期合約空頭的收益等於執行價格減去資產的即期價格，如圖5-2b所示。遠期合約的定價及遠期價格的確定會在附錄C中給出。

5.5.2　期貨合約

期貨合約同遠期合約類似，它也約定合約雙方在將來某一時間以某一約定價格進行資產的買賣。期貨合約同遠期合約的不同之處在於期貨交易是在交易中心進行的。在交易中心交易也就意味著交易合約必須標準化，即交易中心定義單位合約的資產數量、交割時間、交割資產的品種等。每一個期貨合約是以其交割月份來識別的。例如，2019年9月黃金期貨對應於交割日為2019年9月的期貨合約。遠期合約的到期日通常是對應於某一天，期貨合約交割往往對應於到期月內的若干天。交易中心還會定義關於交割地點和時間的備選方案，期貨合約的空頭寸方可以提出交割。基本上總是持有空頭的一方有權啟動交割過程，並在關於交割地點和時間的備選方案中做出選擇。

大部分期貨合約在市場上交易活躍，其價格由市場供求關係決定。當2019年9月到期的黃金期貨價格為每盎司1 280美元時，如果市場上買方多於賣方，期貨價格會上升；類似地，如果市場上賣方多於買方，期貨價格會下跌。

進行期貨交易的一個最大優點是平倉手續的簡單化，如果你在2019年3月5日買入了（即持有多頭）2019年9月的黃金期貨合約，那麼你可以在2019年6月5日通過賣出（即持有空頭）同一個合約來從期貨合約中退出。對遠期合約平倉就不會像對期貨合約平倉那麼容易，因此，遠期合約到期往往會促成標的資產（underlying asset）的交割。而在期貨交易中，一般來講，合約會在到期月前被平倉。業界事例5-1中令人捧腹的故事指出，在平倉時出現的錯誤也會造成期貨合約中資產的交割。

通常期貨合約的價格與遠期合約的價格十分類似，本書的附錄C給出了期貨合約和遠期合約的價格與即期價格的關係。期貨合約和遠期合約的一個不同之處是期貨合約每天結算，而遠期合約只在合約到期時才做最終結算。例如，如果在某一交易日中期貨價格上漲，那麼在交易日結束時，持有期貨空頭一方的資金會流入持有期貨多頭的一方；如果期貨價格下跌，那麼資金會按相反的方向流動。因為期貨合約是每天結算的，而遠期合約在合約到期時結算，所以兩類合約所實現的損益的時間也不同。如業界事例5-2所示，這一區別有時會令人困惑。表5-3比較了遠期合約和期貨合約的不同。

表5-3　遠期合約和期貨合約的比較

期貨交易在期貨清算所進行結算。期貨清算所面向交易雙方，確保交易雙方支付所要求的款項。期貨清算所有許多會員，如果交易員或經紀人不是期貨清算所會員，則必須安排會員對交易進行清算。

期貨清算所要求會員繳納初始保證金和變動保證金。一天的變動保證金可以為正也可以為負，並且可以涵蓋當日的收益和損失。初始保證金是交易所持有的一筆額外金額，以應對結算會員的違約風險。此外，交易所要求其結算會員繳納違約基金（也稱為擔保基金）。這為交易所提供了額外的保護。如果一個會員違約，而其初始保證金和違約基金出資不足以彌補損失，則可以使用其他會員的違約基金供款。

期貨清算所會員在同意結算交易時要求經紀人和其他交易者提供保證金，而經紀人要求客戶提供保證金。經紀人和客戶之間的關係通常涉及初始保證金的繳納（大於會員要求的初始保證金）。當客戶保證金賬戶中的餘額（按每日損益調整）低於維持保證金水平時，客戶須補足餘額至初始保證金水平。

5.5.3　互換

第一筆互換交易產生於20世紀80年代，在80年代後隨著互換市場的蓬勃發展，到目前為止互換交易已經佔據了場外衍生產品市場的主導地位。

在互換合約中，交易雙方同意在將來交換現金流，合約闡明現金流的交換時間以及現金流的計算方式，通常在計算現金流時會涉及利率、匯率以及其他市場變量的將來值。

一個遠期合約可以被看作一個最簡單的互換合約。假定現在時間為2019年3月1日，某公司簽署了一個1年期的遠期合約。在合約中，這家公司同意在1年後以每盎司1 300美元的價格購買100盎司的黃金。在一年後，公司收到黃金後可以馬上在現市市場上將黃金變賣。這個遠期合約可以被認為是一個互換合約，在互換合約中，公司同意在1年後，也就是在2020年3月1日，以130 000美元現金交換數量為100倍黃金現市價格的美元。

遠期合約可以等同為在今後的某個單一時間點現金流的互換，而互換合約通常闡明在今後的若干時間點進行現金流互換。最流行的互換合約是簡單利率互換（plain vanilla interest rate swap），其中固定利率現金流與浮動利率LIBOR^[3]現金流進行交換。在利率互換合約中，計算浮動及固定利率所用的名義本金相同。圖5-3顯示一家公司同意以3%的固定利率來換取以LIBOR為基準的浮動利率（注意，本例中的所有利率都是半年複利）。假定，互換合約的浮動利率每6個月設定一次，互換合約的面值為1億美元，互換合約的期限為3年。表5-4顯示公司A的現金流，表中第2列顯示出6個月期的LIBOR利率，這裡利率互換在2019年3月3日開始。在利率互換初始日，6個月期的LIBOR利率為每年2.2%，這相當於每6個月利率為1.1%，由此我們可以得出在2019年9月3日浮動利率現金流為0.011×10 000萬美元=110萬美元。而在2019年9月3日，6個月期浮動利率為每年2.8%（每6個月為1.4%），從而我們可以算出在6個月之後的浮動現金流為140萬美元。依此類推，我們可以計算出所有浮動現金流。由固定利率所決定的現金流一直為150萬美元（此值是1億美元以3%計息，6個月應得利息）。請注意在利率互換中，現金流的計算時間與LIBOR利率的通行時間相對應。這就是說，通常在某一時間段開始時確定利率，該利率用以計算在該利率時間段結束時應支付的現金流。

圖5-3　簡單利率互換

表5-4　圖5-3中顯示的利率互換中公司A的現金流，互換期限為3年，面值為1億美元　（金額單位：百萬美元）

注：在計算表5-4中的現金流時，我們沒有將計息天數約定、假期等因素考慮在內。利率為每半年複利一次。

簡單利率互換在市場上非常流行，其原因是這一產品的用途較為廣泛。圖5-3顯示利率互換可以把公司A的以LIBOR+1%為浮動利率的借貸轉為4%固定利率的借貸。對公司A而言，進行利率互換後的合成效果是：

（1）在貸款中，支付LIBOR+1%；

（2）在互換合約中，收入LIBOR；

（3）在互換合約中，支付3%的固定利率。

淨支出為4%。利率互換也可以將公司A的2.5%的固定收益轉化為LIBOR-0.5%的浮動收益，進入利率互換的合成效果是：

（1）在投資中，收入2.5%；

（2）在互換合約中，收入LIBOR；

（3）在互換合約中，支付3%的固定利率。

整體收益為LIBOR-0.5%。

許多銀行已經成為利率互換市場的做市商，表5-5是某家銀行給出的利率互換的價目表。^[4]表5-5第1行顯示，這家銀行在2年期利率互換中，願意支付2.55%固定利率並同時收取LIBOR利率；同時在2年期利率互換中，這家銀行也願意收取2.58%固定利率並同時付出LIBOR利率。表5-5所示的收入與付出利率的差值為3～4個基點，收入與付出利率的平均值被稱為互換利率（swap rate），表中最後一列顯示了對應於不同期限的互換利率。

表5-5　某利率互換做市商提供的互換利率（年利率，%）

本書的附錄D討論了簡單利率互換的定價。

5.5.4　期權

期權產品在交易所交易市場及場外交易市場均進行交易。產品可以分成兩個基本類型：看漲期權（call option），其持有者有權在將來某一確定時間以某一確定價格買入某種資產，看跌期權（put option），其持有者有權在將來某一確定時間以某一確定價格賣出某種資產。期權合約闡明的約定價格被稱為執行價格（exercise price）或敲定價格（strike price）；期權合約闡明的特定時間被稱為到期日（expiration date）或期限（maturity）。美式期權的持有者在到期前的任何時間內，均可以行使期權；歐式期權的持有者只能在到期日這一特定時間行使期權。^[5]在交易所買賣的期權大多為美式期權，標的資產數量通常為100股股票。歐式期權比美式期權分析起來要容易一些，美式期權的大多數特性是從歐式期權的特性中演繹而來的。

平值期權（at-the-money option）是指期權執行價格同標的資產的價格相等。^[6]虛值期權（out-of-the-money option）是指在看漲期權中執行價格高於標的資產價格，也可能是在看跌期權中執行價格低於標的資產價格。實值期權（in-the-money option）是指在看漲期權中執行價格低於標的資產價格，也可能是在看跌期權中執行價格高於標的資產價格。

這裡應該強調期權賦予持有者某種權利去做某一項事情，當然持有者可以選擇不去行使這一權利。與此對比，遠期及期貨合約中的雙方必須去買入或賣出標的資產，這裡我們應該注意到進入遠期或期貨交易不需要任何費用，而擁有期權必須付費，這個費用就是期權費（option premium）。

芝加哥期權交易中心（CBOE，www.cboe.com）是世界上最大的股票期權交易中心。表5-6顯示出英特爾（Intel，股票記號INTC）美式股票期權在2017年6月12日的收盤價。這裡期權的執行價格分別為34美元、35美元、36美元及37美元。表中所示期權到期日期分別為2017年8月、2017年10月及2017年12月。這其中8月期權的到期日為2017年8月18日；10月期權的到期日為2017年10月20日；12月期權的到期日為2017年12月15日。^[7]英特爾公司的股票價格為35.91美元。

表5-6　2017年6月12日英特爾公司股票期權價格（股票價格為35.91美元）

假定某投資者向其經紀人發出購買英特爾股票10月看漲期權的指令，期權執行價格為36美元，經紀人在收到指令後會向CBOE的某交易員發出購買指令。而這一交易員隨即會在CBOE交易所內尋找願意賣出10月到期的、執行價格為36美元的看漲期權的交易員。期權的成交價會在交易員之間達成。假如，期權價格如表5-6所示，10月期權的價格為1.66美元。這一價格是指單位（也就是能買入1股股票）期權的價格。在美國，期權合約通常對應標的資產的數量為100股，因而投資者必須通過經紀人向交易中心注入166美元資金，然後交易中心會將此項資金轉給期權的賣出方。

在我們的例子中，投資者以166美元的價格買入了在將來某時刻以每股36美元價格買入100股英特爾股票的權利。期權的賣出方會收入166美元資金，其所付的代價就是當期權持有者行使權利時，賣出方必須以每股36美元的價格賣出100股英特爾股票。如果在2017年10月20日之前，英特爾的股票沒有高於36美元，從而期權持有者不會行使權利，投資者（期權持有者）因此也就損失了166美元。但是，如果英特爾公司的股票表現好，在期權被行使時，英特爾股票價值50美元，這時期權持有者能夠以每股36美元的價格買入每股實際價值為50美元的股票。這會給投資者帶來1400美元的盈利，將最初的買入期權費用考慮在內，期權持有者實際盈利為1234美元。

如果投資者不看好英特爾公司股票，一個可供選擇的期權是執行價格為36美元、12月到期的看跌期權。由表5-6我們可以計算出購買此項期權合約的費用為100×2.25=225美元，投資者因而以225美元的價格買入了一個在2017年12月15日前以每股36美元的價格賣出100股英特爾股票的權利。如果英特爾股票價格一直高於36美元，期權也就不可能被行使，從而會給投資者造成225美元的損失。但是如果期權到期時股票價格為25美元，投資者可以通過以每股36美元的價格賣出實際價值只有25美元的100股英特爾股票，投資者因此可獲得1100美元的收益，將最初的期權價格考慮在內，投資者實際收益為875美元。

在CBOE交易所內交易的期權為美式期權，但為了便於討論，我們假設這些期權為歐式期權，也就是假設這些期權只能在到期日才能被行使。圖5-4給出了期權收益與到期時英特爾股票價格的函數。

圖5-4　假設無提前行權，持有英特爾公司股票期權多頭的淨收益

在期權交易時，有4種交易形式：

（1）買入看漲期權；

（2）賣出看漲期權；

（3）買入看跌期權；

（4）賣出看跌期權。

期權的買入方稱為多頭寸方（long positions），期權的賣出方稱為空頭寸方（short positions），賣出期權也稱為期權承約（writing the option）。

當交易者以現金購買期權時，沒有保證金要求，因為交易在未來不會成為交易者的負債。在美國，可以通過保證金購買持續時間超過9個月的股票期權和股票指數。初始保證金和維持保證金是期權價值的75％。

當賣出期權時，空頭寸方存在潛在的未來負債，因此必須繳納保證金。當賣出的是股票的看漲期權時，初始保證金和維持保證金是以下兩者中的較大者：

（1）期權價值的100％加上標的股票價格的20％減去期權的價外價格（若有）。

（2）期權價值的100％加上股價的10％。

當賣出的是看跌期權時，取以下兩者的較大者：

（1）期權價值的100％加上標的股票價格的20％減去期權的價外價格（若有）。

（2）期權價值的100％加上執行價格的10％。

如果交易員持有該股票的其他頭寸，則這些保證金要求可能會降低。例如，如果交易員有一個完全回補的頭寸（交易員賣出了一定數量的股票的看漲期權，並擁有相同數量的股票），則空頭期權頭寸就沒有保證金要求。

期權交易無論是在場外交易市場或交易所交易市場都十分活躍。期權的標的資產包括股票、外匯以及股票指數等。事實上，場外交易市場的期權交易量已經超過了交易所交易市場內期權的交易量，交易所交易的期權類型一般是美式期權，而場外交易的期權常常為歐式期權。場外交易期權的優勢是到期日、執行價格以及合約大小等均可以按客戶的特殊需要定製，而不必和交易所的標準期權保持一致。場外期權交易一般比交易所交易要更大。

在本書的附錄E和附錄F中，我們將給出用來計算期權價格的數學公式及數值計算方法，這些公式及計算方法適用於不同類型的標的資產。

5.5.5　利率期權

在場外交易市場交易的重要利率衍生產品包括利率上限（cap）、利率下限（floor）以及互換期權（swap option，即swaption）。如表5-4所示，利率互換是關於一系列浮動利率與固定利率的交換。顧名思義，利率上限對浮動利率進行了限制，其實質是關於浮動利率（通常是LIBOR）的一系列看漲期權。當浮動利率高於一定的執行利率（也被稱為上限利率）時，期權持有者會得到收益。收益數量等於浮動利率超出執行利率的那一部分；如果浮動利率低於上限利率，那麼持有者不會得到任何收益。收益支付時間與互換現金流支付時間一致，即在利率所覆蓋區間的最後。

因為在進入上限合約時，第一時間段利率為已知，所以通常這一時間沒有收益。考慮某交易員在2019年3月3日進入為期3年的關於6個月LIBOR利率上限的合約，上限利率為3.2%，面值為1億美元，假定市場實現的利率如表5-4第2列所示。2020年3月3日，期權沒有任何收益。2020年9月3日所對應的收益為0.5×（0.033 0-0.032 0）×100（以百萬計），即50 000美元；類似地，期權在2021年3月3日、2021年9月3日及2022年3月3日的收益分別為150 000美元、200 000美元及350 000美元。

利率下限是關於浮動利率的一系列看跌期權，如果以上例子是一個利率下限，而不是上限，在2020年3月3日，期權的收益為0.5×（0.032 0-0.028 0）×100，即200 000美元，在其他時間，期權沒有任何收益。

互換期權的持有者在將來某個時刻有權進入某個利率互換，互換的固定利率就是期權的執行利率。互換期權分為兩類：一類是期權持有者有權在將來支付固定利率，收入浮動利率LIBOR；另一類是期權持有者有權在將來支付浮動利率，收入固定利率。

[1] 1磅=0.453 6千克。——譯者注

[2] 1英里=1 609米。——譯者注

[3] LIBOR代表倫敦銀行間資金拆借利率。這一利率是指銀行在批量資金存儲時的利率，在第9章中我們會討論。

[4] 在美國的標準利率互換合約中，固定利率一般是每6個月支付一次，而浮動利率為每3個月支付一次。表5-4的分析假定固定利率及浮動利率均為6個月支付一次。

[5] 這裡的術語歐式期權及美式期權同這些產品的交易地點及交易中心無關，有些在北美交易中心交易的期權是歐式期權。

[6] 在某些情況下，平值（at the money）可能有不同的含義。比如，有時平值期權是指期權的行權價格的當前價值（即將行權價格以期權的期限貼現）等於資產的價格。平值期權還可以指那些delta為0.5的看漲期權或delta為-0.5的看跌期權（我們將在第8章第8.1節中介紹delta的定義）。

[7] 交易所選擇的到期日為交割月份的第3個星期五之後隨即的一個星期六。

5.6　非傳統衍生產品

對於經濟現象中的各種風險，金融工程師總會開發出一些衍生產品來幫助市場參與者應對風險敞口。金融機構通常扮演中間人的角色，並設法將風險轉移到：①持有相反風險敞口的其他市場參與者；②願意承擔風險的投機者。在本節中，我們將討論為滿足市場參與者的特殊要求而開發出的衍生產品。

5.6.1　氣候衍生產品

許多公司的業務表現會被惡劣氣候所影響，^[1]可以很形象地講，這些公司對於氣候風險對衝的需求類似於某些公司對於外匯或利率風險的對衝需求。

第一個氣候衍生產品是在1997年引入的。為了解釋氣候衍生產品的機制，我們接下來需要定義兩個變量：

·HDD：熱度日（heating degree days）；

·CDD：冷度日（cooling degree days）。

一天的HDD定義如下

HDD=max（0, 65-A）

一天的CDD定義如下

CDD=max（0, A-65）

其中A是指某個指定氣象臺報告的每天最高溫度以及最低溫度的平均值，這裡的溫度以華氏^[2]為計量單位，例如某一天（子夜與子夜之間）的最高溫度為華氏68°，最低溫度為華氏44°，這裡的A=56，因此HDD=9，CDD=0。

典型的場外氣候衍生產品包括遠期合約及期貨合約，合約的回報通常與一個月累積的HDD、CDD有關（累積HDD及CDD分別等於一個月內HDD之和及CDD之和）。例如，某交易商在2018年1月賣給客戶標的變量為2019年2月累積HDD的看漲期權，溫度觀測地點為芝加哥O’Hare機場氣象臺，合約執行價格為700美元，而對於天氣的每一度（高於700），期權回報為10 000美元，如果實際的累積HDD為820，那麼期權回報為120萬美元（=10 000×（820-700））。一般在合約中包括一個上限，如果我們例子中的合約上限為150萬美元，這時客戶的頭寸等於是一個標的變量為累積HDD、執行價格為700美元的看漲期權的多頭以及一個標的變量同樣為累積HDD、執行價格為850美元的看漲期權的空頭。

一天的HDD是為了檢測一天取暖所需要的能源消耗，一天的CDD是為了檢測一天製冷所需要的能源消耗。大多數氣候衍生產品的客戶是能源供應商以及能源消耗者，但是零售商、超級市場、食品及飲料製造商、健康服務公司、農產品生產商以及娛樂服務業都可能是氣候衍生產品的用戶。氣候風險管理協會（The Weather Risk Management Association，www.wrma.org）的建立就是為了給氣候衍生產品的客戶提供服務。

1999年9月，芝加哥商業交易所（Chicago Mercantile Exchange）開始交易氣候期貨以及歐式氣候期貨期權，合約的標的變量為某氣象臺所觀測到某月的累積HDD以及CDD，合約的交割方式為現金，交割時間為每月末當HDD及CDD均為已知的時刻，報為20美元乘以累積HDD或CDD。芝加哥商業交易所（CME）現在為全球許多城市提供天氣期貨和期權。它還提供有關颶風、霜凍和降雪的期貨和期權。

5.6.2　石油衍生產品

原油是世界上最重要的大宗商品。美國能源信息管理局（United States Energy Information Administration，www.eia.gov）預計全球每天對原油的需求量是9000萬桶。10年期的固定價格合約已經在場外交易市場流行了許多年，還有些互換協議將固定價格的原油與浮動價格的原油進行交換。

根據比重度和含硫量的不同，原油可以分為很多不同的等級。兩個重要的原油定價基準是布倫特（Brent，開採自英國北海）原油和西得克薩斯中質（WTI）原油。從原油中可提煉出汽油、取暖用油、燃料油和煤油等。

在場外交易市場，可以用普通股票、股票指數作標的變量的幾乎所有衍生產品都能夠以油價作為標的變量。關於油價的互換協議、遠期合約以及期權已經非常普遍。合約的交割形式有時是現金，有時是現貨（即交付石油）。

交易所交易的產品也非常流行。芝加哥商業交易所（CME）以及洲際交易所（International Exchange，ICE）交易多種石油期貨及期貨期權。有些期貨的交割方式為現金，而其他合約的交割方式為實物。例如，在ICE交易的布倫特原油期貨的交割方式為現金交付，在CME交易的WTI原油期貨的交割方式為現貨。兩種情形中單一合約均對應1000桶原油。CME同時也交易兩種精煉油的合約，即取暖油及汽油。這兩種合約每份所對應的油量均為42000加侖^[3]。

5.6.3　天然氣衍生產品

20世紀八九十年代，世界範圍內的天然氣市場經歷了一輪去監管化的過程，同時政府的壟斷被打破。天然氣的供應商並不一定是天然氣的生產商，供應商每天都要面臨保證天然氣需求的問題。

一個典型的場外合約的目的是闡明在某一個月以大體一致的速度交付一定數量的天然氣。在場外交易市場有遠期合約、期權以及商品互換交易，天然氣的賣出方要負責通過利用天然氣管道將天然氣送達某指定地點。

CME交易合約的計量單位為100億（即10 000百萬）英國熱量單位（British thermal units）的天然氣，如果合約沒有被提前平倉的話，那麼賣出方需要在某個月以大體一致的速度將天然氣運達路易斯安娜（Louisiana）的指定天然氣樞紐，ICE在倫敦也交易類似的合約。

天然氣是建築供暖常用的能源。它還可以被用來發電，電又可以被用於空調。因此，對天然氣的需求是季節性的，並取決於天氣。

5.6.4　電力衍生產品

電力是一種非同尋常的商品，這是因為電力很難儲存。^[4]在某一地區，某時刻的最大電力供應與在這一地區的最大發電能力有關。美國的電力系統分成140個控制區域（control areas）。在某一控制區域內，電力的需求以及供應首先要達到匹配，然後額外電力才能賣給其他的控制區域。這些額外能源是電力交易市場的主要構成產品。一個控制區域賣給另外一個控制區域的電力數量取決於兩個地區之間的輸電能力。不同地區的電力傳輸會涉及傳輸費用，這一費用由輸電設備的擁有者掌握，在輸電過程中往往會有電力能源的損耗。

電力的主要用途之一是為空調系統提供能源，因此對於電力的需求以及價格在夏天要高於冬天。電力的不可儲存性有時會造成現貨市場價格的大幅度波動。熱浪有時會在短時間內將即時電價推高1 000%。

像天然氣市場那樣，電力市場近期也經歷了去監管化，政府的壟斷已被取消，同時產生了電力衍生產品市場。CME現在能夠交易標的變量為電力價格的期貨合約，遠期、期權以及互換產品的交易在場外交易市場上也很普遍。一個典型的合約（交易市場型或場外型）允許某交易方在某一指定月份以一定的價格收到一定千瓦時（megawatt hours）的電力。在一個5×8合約中，電力接收時間為在某指定月份每週5個工作日（週一至週五）的非高峰時間（晚上11點至早上7點）；在一個5×16合約中，電力接收時間為某指定月份每週5個工作日的高峰時間（早上7點至晚上11點）；在一個7×24合約中，電力接收時間為指定月份的每天的任意時刻。期權合約的行使權利有按天行使（daily exercise）以及按月行使（monthly exercise）兩種形式，在按天行使形式中，期權持有者可以選擇在某月的哪些天（必須有一天的準備期）以某指定價格接收一定數量的電力；在按月行使形式中，期權持有者必須在某個指定月的開始決定是否以某指定價格接收一定數量的電力。

電力及天然氣市場上一種有趣的合約為擺動期權（swing option）或即用即付期權（take and pay option），這些合約通常指明瞭期權持有者在指定的月份中以某指定價格每天和整個月份總共可獲取能源的最低數量與最高數量。期權持有者可以更改（或者說擺動）在當月中買入能源的快慢，但一般來講，改變的次數會有一定限制。

[1] 美國能源部估計有1/7的美國經濟會受氣候風險影響。

[2] 華氏度是溫度單位，符號為℉，它與攝氏度（符號為℃）的換算關係為：F=32+1.8C。——譯者注

[3] 1美製加侖=3.785升，1英制加侖=4.546升。——譯者注

[4] 具有剩餘電力能源的生產商可以採用水泵將水輸入發電廠高處，並在今後需要能源時以水力發電，這大概是生產商所能做到的最好的電力儲存方式。

5.7　奇異期權和結構性產品

許多奇異期權（exotic option）和結構性產品（structured product）在場外交易市場進行交易，雖然這些產品的交易數量小於在第5.5節中討論的標準衍生產品的交易數量，但這些產品對銀行而言仍非常重要，這些奇異期權和結構性產品的盈利要比簡單產品更為豐厚。

以下是一些奇異期權的例子。

·亞式期權（Asian options）：亞式期權同一般簡單期權相近，只是在期滿時回報有所不同，亞式期權的回報與標的資產在某一固定時間段價格的平均值有關。例如，一個1年期的亞式期權在期滿時的回報等於，其中為過去一年資產價格的平均值，K為執行價格。

·障礙期權（barrier options）：這些期權往往在標的資產的價格達到一定水平後，才得以存在或者消失。例如，一個敲出（knock-out）看漲期權的執行價格為30美元，障礙價格為20美元，敲出看漲期權與普通看漲期權的唯一區別就是當標的資產價格低於20美元時，這一期權自動消失。

·一攬子期權（basket options）：這種期權的標的資產為一個投資組合而不是單一資產。

·二元期權（binary options）：這種期權在某種條件滿足時會給出一個固定數量的回報，例如，一個1年期二元期權的回報可以是在1年期內股票價格高於20美元時，回報等於1 000美元。

·複合期權（compound options）：這種期權的內含標的資產也是期權，複合期權有4種形式——看漲看漲期權（a call on a call）、看漲看跌期權（a call on a put）、看跌看漲期權（a put on a call）以及看跌看跌期權（a put on a put）。例如，一個看漲看漲期權給期權持有者一個權利買入期權，此期權中最原始標的資產當前價格為15美元，複合期權中第一層期權的到期期限為1年所對應的執行價格為1美元，複合期權的期限為3年，對應的執行價格為20美元。

·回望期權（lookback options）：此類期權在到期時所對應的回報與標的資產在過去一段時間內的極大值或極小值有關，例如，一個1年期的期權在到期時回報等於S_T-S_min，其中S_T為到期時的標的資產價格，而S_min為從現在到1年到期時的資產價格的最低值。

有時奇異期權比標準期權能更為有效地對衝風險。如業界事例5-3所述，微軟公司（Microsoft）採用亞式一攬子期權來管理其外匯風險。

結構性產品是銀行為滿足投資者和企業的特殊需求而創造出來的，一種產品是保底證券（principal protected note），其中銀行向投資者提供機會，讓其賺取標準普爾500指數收益的一定比例，並同時保證收益不會為負。另外一類（高度）結構性產品如業界事例5-4所示^[1]（在這個例子中，信孚銀行（Bankers Trust）究竟是在滿足客戶需求，還是試圖推銷客戶並不需要的來獲取利潤，仍十分有爭議）。

業界事例5-4

寶潔公司的怪異交易

寶潔公司（P&G）在1993年11月2日同信孚銀行（BT）做了一筆被稱作“5/30”的離奇的互換交易，這一交易期限為5年，每半年有資金交付，交易的面值為2億美元，信孚銀行在交易中付年息為5.3%的固定利率，而寶潔公司支付給信孚銀行的利率為30天的CP（商業票據）的平均利率減去75個基點再加上某個利差，這裡的商業票據的平均利率是在利率觀測區間的30天的商業票據利率的平均值。

在第一個付款日（1994年5月2日），利差為0。在接下來的幾個付款日，利差為

公式中CMT為固定期限國債利率（該利率是由美國聯邦儲備銀行報告的5年國債利率），30年期的TSY價格是在2023年8月期滿的，券息為6.25%的美國國債的買入價與賣出價的中間值。注意，以上計算公式的計量為百分比，而不是以基點為計量。例如以上公式所求得的利差為0.1而CP平均利率為6%，由此可以算出信孚銀行利息為6％-0.75％+10％=15.25%。

寶潔公司做此交易時，希望利差大約為負，因此公司可將5.3%的固定利率轉化為此商業票據減去75基點的浮動利率。而事實上，1994年的利率飛漲，債券價格下跌。這筆交易令寶潔公司付出了慘重的代價（見作業題5.38）。

[1] 這一交易在後來成為一個訴訟的焦點，其細節在許多公開區域可以獲得，見D.J. Smith, “Aggressive Corporate Finance: A Close Look at the Procter & Gamble-Bankers Trust Leveraged Swap,” Journal of Derivatives 4, no.4(Summer 1997):67-79.

5.8　風險管理的挑戰

期貨、遠期、互換、期權和結構性等衍生產品變化多端，它們可以用來對衝風險也可以被用來投機及套利（對衝可以減少風險；投機通常要承擔風險；套利通常是通過進入兩種交易或更多交易來鎖定盈利）。產品的多變性會帶來危害，有時一些被指定只能做對衝或套利的交易員會在自覺或不自覺之中成為市場投機者，而投機的後果有時是災難性的。法國興業銀行的傑洛米·科維爾（Jerome Kerviel）給我們提供了典型的反面教材（見業界事例5-5）。

要想避免類似法國興業銀行的錯誤，金融或非金融機構一定要控制其衍生產品的交易。衍生產品一定要被用於正確的目的，在交易中必須設置風險額度，銀行必須監控交易員的交易以保證交易額度制度的貫徹執行。我們將在本書以後的章節中討論這一觀點。

小結

金融產品在兩類市場進行交易：交易所交易市場以及場外交易市場。2008年金融危機後，場外交易市場正在經歷一系列重大的變化。在本章中我們簡要介紹了這些變化，我們將在第17章中做進一步的詳細討論。

在這一章中我們討論了現貨交易、遠期合約、期貨、互換以及期權產品。遠期合約或期貨合約賦予合約持有者一種義務，持有者必須在將來某一指定時刻以某一約定價格買入或賣出某標的資產。互換合約約定互換的雙方在將來交換現金流，而交換的現金流的數量可能與某種或多種市場變量有關。期權合約分成兩種：看漲期權及看跌期權。看漲期權給期權持有者一種權利，在某一時刻以某一指定價格買入某資產；看跌期權給期權持有者一種權利，在將來某一時刻以某一指定價格賣出某一資產。

遠期、期貨及互換合約可以用來鎖定將來要發生的交易的價格。與此相比，期權提供價格保險，這一保險使得在將來某時刻的交易價格不會比某一選定價格更差。奇異期權或結構性產品可以用來滿足企業財務部的特殊要求。例如，在業界事例5-3中我們看到亞式一攬子期權可以被微軟公司用來對衝公司在某一特定時間區間內對於幾種不同風險源的風險敞口。

市場上有大量針對不同標的變量的衍生產品交易。在本章中我們回顧了與氣候、石油、天然氣和電力有關的衍生產品，我們還討論了奇異期權和結構性產品。

延伸閱讀

練習題

5.1　遠期合約空頭和多頭的區別是什麼？

5.2　請解釋對衝、投機以及套利的不同之處。

5.3　在某遠期交易中，投資者在遠期價格為50美元時進入多頭寸方，而另一個交易是投資者買入執行價格為50美元的看漲期權。這兩個交易的不同之處是什麼？

5.4　請詳細解釋賣出看漲期權及買入看跌期權的不同之處。

5.5　某投資者作為一遠期合約的空頭寸方同意在某一時刻以每英鎊1.3000美元的價格賣出10萬英鎊。在合約結束時匯率分別為：（a）1.2900；（b）1.3200，對應以上匯率投資者的盈虧分別為多少？

5.6　某交易員作為棉花遠期合約的空頭寸方同意在將來某時刻以每磅50美分價格賣出棉花，合約面值為50000磅棉花。當合約結束時棉花的價格分別為：（a）每磅48.20美分；（b）每磅51.30美分，對應以上價格交易員的盈虧為多少？

5.7　假定你賣出了一個執行價格為40美元、3個月期限的看跌期權，當前股票的價格為每股41美元，每份期權合約是關於100股股票。賣出這一期權後，你有什麼樣的義務呢？在此合約中你的盈利及虧損會為多少？

5.8　場外交易市場和交易所交易市場的區別是什麼？在這兩個市場中哪一個會進行如下產品的交易？（a）遠期合約；（b）期貨；（c）期權；（d）互換；（e）奇異期權。

5.9　你投機於某股票，希望價格會上漲。當前市場上股價為29美元，而3個月期限的執行價格為30美元的看漲期權的價格為2.9美元，假設你有5800美元可以用於投資，請陳列出兩種可以達到你的投資目的的投資方式，第一種投資方式只涉及股票投資而第二種方式應涉及期權，在兩種投資中可能的盈虧各為多少？

5.10　假如你擁有5000股每股價格為25美元的股票，你如何採用一個看跌期權而使得在將來4個月時價值得到保護？

5.11　股票在最初發行時會給公司提供資金，而對期權來講這種說法是否正確？請討論。

5.12　假如一個在3月到期的看漲期權的價格為2.5美元，期權執行價格為50美元。假設期權一直被持有至到期日，在什麼情形下期權持有者會盈利？在什麼情形下持有者會行使期權？

5.13　假如一個在6月到期的執行價格為60美元的看跌期權價格為4美元。假設期權被一直持有至到期日。在什麼情形下期權的賣出方（即空頭寸方）會盈利？在什麼情形下期權會被行使？

5.14　假如一家公司得知今後4個月時會收到一筆外匯，什麼樣的期權可以用來作為這筆外匯的對衝產品？

5.15　一家美國公司得知在將來的6個月要支付100萬加元。請解釋如何採用（a）遠期合約及（b）期權產品來對衝匯率風險。

5.16　20世紀80年代，信孚銀行開發了一種指數貨幣期權債券（index currency option notes，ICON）。債券持有者在到期時收到的回報與匯率有關，信孚銀行某交易對手是日本長期信用銀行（Long Term Credit Bank of Japan），在ICON中約定，如果在到期日（1995年）匯率高於169（YEN/USD），那麼債券持有者會收到1000美元。而當到期日的匯率低於169（YEN/USD）時，債券持有者的回報為

當到期日的匯率低於84.5時，債券持有者回報為0。請證明ICON是由一個簡單債券與兩個期權的組合。

5.17　假如USD/GBP現市及遠期匯率如以下表所示。

當以下（a）和（b）兩種情形同時出現時，會給套利者創造什麼樣的機會？

（a）180天期，執行價格為1.27（USD/GBP）的歐式期權價格為2美分；

（b）90天期，執行價格為1.34（USD/GBP）的歐式期權價格為2美分。

5.18　一家公司已經持有在今後5年提供3%的固定收益率的投資，此公司希望以表5-5所示的互換價格將固定回報投資轉化為浮動回報投資。請解釋公司如何達到這一轉換。

5.19　假定一家公司在今後以固定利率5%借入資金，請解釋公司如何用表5-5所示的互換價目表來將固定利息的負債轉化為浮動利息負債。

5.20　一家公司有一個利息為LIBOR+1%的浮動利息負債，請解釋這家公司如何用表5-5所示的價目表將這一浮動利息負債轉化為3年固定利息負債。

5.21　一個玉米農場的農場主有以下論點：“我不採用期貨來對衝我面臨的風險，我的真正風險並不是玉米價格的變化，我所面臨的真正風險是糟糕的氣候可能使我顆粒無收。”請討論這一觀點，這個農民是否應該對玉米預期產量有所估計然後採用對衝策略來鎖定預期價格？

5.22　一個航空公司主管有以下論點：“對衝航空燃料價格毫無意義，這樣做會得不償失。”請解釋此主管的觀點。

5.23　為什麼說微軟公司採用的一個亞式一攬子看跌期權的價格要遠遠低於一個相應的包含所有其中貨幣及期限的看跌期權的組合的價格（見業界事例5-3）？

5.24　“油價、天然氣以及電力價格都具有迴歸均值的性質。”這句話的含義是什麼？哪個產品具有最快的迴歸均值速度？哪個產品具有最慢的迴歸均值速度？

5.25　當我們增加觀測標的資產是否達到障礙水平的頻率時，一個敲出看漲期權的價格是有所增加還是有所減小？

5.26　假定在7月每一天的最低溫度為華氏68°，最高溫度為華氏82°，一個關於7月份累積CDD、執行價為250的期權收益為多少？假定每一度的收益為5000美元。

5.27　解釋一個5×8並且在2019年5月按天行使的電力期權運作方式。解釋一個5×8並且在2019年5月按月行使期權的運作方式。哪一個期權價值更高？

5.28　一位美國投資者簽署了5份看漲期權合約（即購買了500股股票的期權）。期權價格是3.5美元，執行價格是60美元，股票價格是57美元。初始保證金要求是多少？

5.29　一個交易者在股價為50美元時做空500股股票。初始保證金是160%，維持保證金是130%。投資者最初需要多少保證金？股票價格要漲到多高才會有追加保證金通知？

5.30　交易所要求其會員就期貨合約支付的保證金，與經紀人要求其客戶支付的保證金有何不同？

作業題

5.31　一家公司簽訂了一個空頭期貨合約，以每蒲式耳250美分的價格出售5000蒲式耳的小麥。初始保證金為3000美元，維持保證金為2000美元。什麼樣的價格變動會導致追加保證金？在什麼情況下可以從保證金賬戶中提取1500美元？

5.32　交易員以保證金購買200股股票。股票價格為每股20美元。初始保證金為60％，維持保證金為30％。交易者最初需要繳納多少保證金？需要追加保證金的股價是多少？

5.33　股票的當前市價為94美元，同時一個3個月期執行價格為95美元的歐式期權價格為4.70美元，一個投資者認為股票價格會漲，但他並不知是否應買入100股股票或者買入2000份（相當於20份合約）期權，這兩種投資所需資金均為9400美元。在此你會給出什麼樣的建議？股票價位漲到什麼樣的水平會使得期權投資盈利更好？

5.34　一個由標準石油公司（Standard Oil）發行的債券的形式如下：債券持有者不會收到通常的券息，但在債券到期時公司會給債券持有者償還1000美元本金並附加石油價格在債券持有期內的增值，這一增值等於170乘以在到期時石油價格高於25美元的差額，增值的最大限額為2550美元（該價格對應每桶40美元）。請說明這一債券是由一個簡單債券、一個執行價格為25美元的看漲期權多頭和一個執行價格為40美元的看跌期權空頭組合而成。

5.35　當前黃金市價為每盎司1500美元，一個1年期的遠期合約的執行價格為1 700美元，一個套利者可以以年利率5%借入資金，套利者應如何操作以達到套利目的？這裡我們假設黃金存儲費為0，同時黃金不會帶來任何利息收入。

5.36　某公司某項投資回報率為LIBOR-0.5%。請解釋此公司如何用如表5-5所示的價目表來將公司浮動利率投資轉化為期限分別為：（a）3年；（b）5年；（c）10年的固定利率投資。

5.37　一個投資者在遠期合約進入買入方，執行價格為K，到期時間為將來某一時刻。同時此投資者又買入一個對應同一期限，執行價格也為K的看跌期權，將這兩個交易組合會造成什麼樣的效果？

5.38　請計算由業界事例5-4所示的“5/30”互換合約中寶潔公司在以下情形下要付的利率：（a）商業票據（CP）利率為6.5%，國債利率為水平6%；（b）CP利率為7.5%，國債利率為水平7%。這裡的國債利率一年複利兩次。

第6章
2007年信用危機

本章有兩個學習目標：第一是調查2007～2008年金融危機的起因、發展以及它帶給我們的經驗與教訓，第二是解釋資產證券化是如何運作的。

從2007年開始，美國經歷了自20世紀30年代以來最嚴重的金融危機。這場危機非常迅速地由美國向世界其他地區，以及由金融市場向實體經濟蔓延。這場危機不但造成了許多金融機構破產，而且還迫使許多其他金融機構紛紛尋求本國政府的救助。21世紀的第一個10年對金融機構而言是災難性的，金融機構的風險管理實踐正在遭到多方面的批評。在以後的章節中我們將會看到，金融危機導致對金融機構的監管發生了巨大的變化。

第5章涵蓋了期貨、遠期、互換和期權，它們可以使風險從一個經濟實體轉移到另一個經濟實體。另一種重要的風險轉移方式是資產證券化。本章將介紹資產支持證券（ABS）和債務抵押債券（CDO），並討論它們在危機中所起的作用。

6.1　美國住房市場

要討論2007～2008年的信用危機，我們應當從美國住房市場談起。圖6-1展示了1987年1月～2017年3月的標準普爾10城市房價Case-Shiller指數（S&P/Case-Shiller Composite-10 index）。該指數跟蹤美國10個主要大都市區的房價。大約從2000年開始，房屋價格的上漲速度遠遠超過了前一個10年同期的上漲速度。2002～2005年的低利率是造成價格上漲的另一個重要原因，但住房市場價格泡沫形成的原因主要是房屋貸款政策的鬆懈。

2000～2006年，美國按揭市場的一個顯著特點是次級按揭貸款的激增。次級按揭貸款的風險明顯要高於按揭貸款的平均風險。在2000年以前，大部分被分類為次級的按揭貸款是借款人的第二個按揭（second mortgage），但在2000年以後，金融機構逐漸接受了第一次級按揭貸款（subprime first mortgage）這一名詞，自此，第一次級按揭貸款開始變得普遍。

圖6-1　標準普爾/Case-Shiller美國10城市房價指數（1987～2017年）

6.1.1　借貸標準的降低

從2000年開始，房屋貸款商紛紛開始降低貸款標準。對那些信用不夠好、以前沒有資格取得貸款的家庭而言，這時候購買住房也成了現實。而這些家庭的存在，增加了市場對房屋的需求，因此房價開始上漲。對貸款經紀人和貸款商而言，房屋價格上漲以及大數量的借貸需求無疑是個好消息，更多的借貸意味著更大的盈利，並且房屋價格的上漲意味著貸款會有很好的抵押品，即使借貸人違約，由違約所引起的止贖事件（foreclosure，即銀行強行收回房屋並拍賣以償還欠款）也不會造成損失。

貸款經紀與貸款商如何保持盈利的增長呢？他們所面臨的問題是隨著房屋價格的上漲，首次買房的購房者會越來越難以承擔高房價。怎麼樣才能持續性地吸引新客戶呢？貸款經紀及貸款商必須設法進一步降低貸款標準。果不其然，他們就是這樣做的。貸款標準降低的結果是貸款面額與房屋價值的比例提高了。這時市場開發出了可調整利率按揭（adjustable rate mortgages，ARM），在這一產品中，最初的前期優惠利率（“teaser” rate）很低，這一低利率會延續2～3年，而隨後的利率可能會很高。^[1]在這期間，貸款商在審查貸款申請時也變得越來越漫不經心，以至於他們常常對申請貸款人的收入及其他有關信息都沒有仔細審查。

為什麼政府沒有對貸款商的行為進行謹慎管理呢？答案是自20世紀90年代開始，美國政府一直致力於擴大住房擁有率，並常常對貸款商施壓來使其加大對中低收入群體的貸款力度。有些州的立法人（例如，俄亥俄州和佐治亞州）曾表示對貸款現狀的憂慮，並且試圖通過立法來抑制掠奪性貸款現象。^[2]但是法院認定，全國的貸款標準應具有優先權。

在信用緊縮之前，市場上有一系列的術語用於描述按揭發放過程，其中一個為“騙子貨款”（liar loan），用來描述按揭貸款申請人知道貸款申請過程中不會進行背景調查，因此在申請表上進行撒謊的行為。而另外一種貸款人被稱作“忍者”（NINJA，指沒有收入、沒有工作、沒有資產）。有些分析師認識到按揭貸款風險已經很高，但市場上由按揭貸款支持的證券的價格顯示，直到2007年，市場的參與者才真正認識到風險的嚴重程度和潛在影響。

Mian和Sufi的研究結果證實了按揭借貸的標準確實有所降低。^[3]在他們文章中，Mian和Sufi定義了“高拒郵編號”（high denial zip codes）為那些在1996年按揭申請被拒比率較高的地區所對應的郵編號碼。Mian和Sufi發現，2000～2007年，高拒郵編號地區的按揭貸款增長速度尤其快，另外，Mian和Sufi的研究結果顯示按揭貸款制度隨時間有一個逐步，而非一次性的放鬆過程，這是因為高拒郵編號地區的按揭發行量在2000～2007年是一個時間的遞增函數。Zimmerman（2007）的研究結果對這一點做了一定的證實，^[4]其研究結果表明，2006年發行的按揭質量比2005年要差，而2005年發行的按揭質量比2004年要差。標準普爾的估測表明，2006年一年內的次債發行總量為4210億美元。AMP資本投資者公司（AMP Capital Investors）的數據顯示在2007年7月全部次級按揭貸款總量為1.4萬億美元。

6.1.2　泡沫破裂

貸款制度的放鬆造成了房屋價格的泡沫，2000～2006年，住房價格飛速上漲。我們知道所有的泡沫最終總會破裂，住房價格泡沫也不例外。在2006年下半年，房價開始下跌。造成房價開始下跌的原因之一是房價上漲了，需求開始下降；另一個原因是當初期優惠利率結束後，許多貸款持有者發現自己並沒有能力支付貸款，這造成了斷供的上升，使許多房屋重新回到市場上，增大了房屋供應量。這造成了惡性循環：那些借貸數量為房屋價格100%或接近100%的貸款人這時發現他們的資產變成了負數（因為按揭貸款的數額超出了房屋的價值）。很多人選擇違約，這導致更多的斷供，市場供應量進一步加大，從而進一步壓低了房價。

美國房屋市場的一個特點是在許多州按揭具有無追索（nonrecourse）條款，這意味著當貸款人違約時，貸款借出方可以收回住房，但對貸款人的其他財產是不能追索的。^[5]因此，貸款人持有一個免費的美式看跌期權，他可以在任何時候以按揭的當前本金餘額的價格將房屋賣給貸款借出方（在最初優惠利率期間，按揭本金往往會增加，這使得期權的價值變得更高）。市場參與者在後來認識到這一期權非常昂貴，但為時已晚。如果貸款人的淨值為負，這時最好的策略是以本金餘額的價格賣出住房，房屋隨之在市場上拍賣，從而造成了市場價格的進一步下跌。

假設所有按揭違約人的處境都相同會是一個很大的錯誤。有些人不能承受按揭付款，當他們放棄房屋時會麻煩重重。但市場上有許多違約者是出於投機，他們買入房屋是為了出租，這些人會適時選擇行使看跌期權，這會給房屋的租客帶來麻煩。還有報告顯示，有的房屋擁有者（並非投機者）十分有創意地抽取看跌期權的價值，當他們將鑰匙還給住房貸款借出方後，隨即就以更好的價格買入那些已經斷供並被拍賣的住房。假設兩個相鄰並且結構相似的房屋均已喪失了贖回權，兩個房屋的按揭均為250 000美元，而且兩個房屋的價值均為200 000美元，斷供房屋的拍賣價均為170 000美元。這時房屋擁有者的最佳策略是什麼？答案是每個房屋擁有者均行使看跌期權，並隨即買入鄰居的屋子。

當斷供增加時，按揭貸款的損失也增加。損失會增加是因為斷供的房屋周圍通常還有其他斷供的房屋在市場上銷售。房屋的狀況通常也很糟。另外，銀行還要承擔法律和其他的費用。在正常的市場條件下，貸款借出方一般可以回收貸款餘額的75%。2008～2009年，某些地區的回收率只有25%。

美國並不是唯一的房價下跌的國家，世界上許多其他國家的房價也難逃厄運。當時英國的房價下跌幅度也非常大。如圖6-1所示，2012年年中～2017年3月，美國的平均房地產價格開始回升。

[1] 例如，一個“2/28”可調整利率按揭（“2/28”ARM）是指該產品在最初2年為固定利率，而在今後的28年為浮動利率。當房地產價格上漲時，貸款商預料貸款人會在優惠利率結束前提前付清按揭，併購買一個新的按揭。但是，次級貸款中對提前償付的懲罰可能會很高，而類似的懲罰在優質按揭貸款中一般是不存在的。

[2] 掠奪性貸款是指貸款借出方以欺騙的手段與客戶簽訂的不公平的貸款合約。

[3] See A. Mian and A. Sufi, “The Consequences of Mortgage Credit Expansion: Evidence from the US Mortgage Default Crisis,” Quarterly Journal of Economics 124, no.4(November 2009):1449-1496.

[4] See T. Zimmerman, “The Great Subprime Meltdown,” Journal of Structured Finance (Fall 2007):7-20.

[5] 在某些州，雖然按揭沒有無追索條款，但存在某些法規使得債主很難追索房產以外的資產。

6.2　證券化

按揭貸款的發行方在許多情形下並不保留按揭資產，而是將按揭賣給對其進行打包併產生證券的公司，這一過程被稱為證券化（securitization）。許多年來，證券化是市場上一個十分重要的有效的融資工具，證券化是發起-分銷模式的基礎。這種工具在2007年前被銀行普遍採用，在第2章中我們曾經對此有過討論。

證券化對房價泡沫的產生起了一定的作用，按揭的最初發行方知道貸款最終會被證券化，這一點會影響發行方的行為。^[1]這時，在考慮是否接受按揭申請時，按揭發行者不再關心“是否願意承擔信用風險”，而會更加關心“是否可以將按揭賣給其他人來盈利”。

當按揭被證券化後，按揭支持證券的買入方所得到的唯一信息是貸款與價值的比率（loan-to-value ratio，即貸款數額與房屋估價的比率），以及貸款人的FICO信用分數^[2]。貸款發行者並不關心貸款申請人的收入狀況、申請人在其住址上居住的年份等信息，因為這些信息被認為是無關緊要的。對於貸款發行方而言，最重要的是按揭貸款是否可以被賣給其他人，而這主要取決於貸款與價值比率，以及貸款申請人的FICO分數。

有時即使通過了貸款與價值比率和FICO分數檢驗的按揭也可能具有較差的信用質量，這一點耐人尋味。在貸款發放時，有時需要物業價格評估師（property assessor）確定物業的價值，有時評估師會給出虛高的價格，因為他們知道貸款發放人希望較低的貸款與價值比。有時一些潛在的貸款人可能會得到一定的諮詢，以設法改善自身的FICO分數。^[3]

我們接下來將要討論由按揭所派生出的產品以及其在市場上的出售過程。

6.2.1　資產支持債券

資產支持債券（asset-backed security，ABS）是由貸款、證券、信用卡應收付款、按揭、飛機租用費等類似的資產現金流而產生的證券，有時甚至音樂唱片的將來收入所產生的現金流也可以用來產生證券。證券的產生過程如圖6-2所示，資產發行人首先將投資組合（例如次級貸款組合）賣給一個特殊目的機構（special purpose vehicle，SPV），然後將資產現金流分配到不同的分檔（tranche），並對分檔進行出售。圖6-2中債券共有3個分檔：優先檔、中間檔以及權益檔。投資組合的面值為1億美元，組合資產被分為：優先檔面值為7 500萬美元，中間檔面值為2 000萬美元，權益檔面值為500萬美元，優先檔承諾的回報率為6%、中間檔為10%、權益檔為30%。

圖6-2　一個資產支持證券（簡化版）

乍看起來權益檔最為合算，但實際並非如此。權益檔拿到回報的可能性要小於其他兩個等級的分檔，證券化的現金流是以所謂的瀑布（waterfall）式進行分配的，瀑布式現金流分佈如圖6-3所示。利息和本金的現金流是兩個分開的瀑布。利息現金流首先要分配給優先檔，直到這個分檔收到所有的承諾回報後，現金流才會向較低檔進行分配。假定優先檔所承諾的回報可以被滿足，現金流可以進一步向中間檔來分配，如果中間檔所承諾的回報也被滿足，而且利息現金流仍有剩餘，這時剩餘的部分才會向權益檔進行分配。本金現金流也是先用來償還優先檔的本金，然後是中間檔，最後是權益檔。^[4]

圖6-3　資產支持證券中的瀑布式現金流

圖6-2中的結構一般要持續幾年。各檔所收到的本金取決於資產的損失程度。最初資產5%的損失由權益檔承擔；如果損失超過5%，權益檔將會損失全部本金。中間檔也會損失一定本金；如果損失超過25%，中間檔將損失全部本金，優先檔也會損失一定本金。

因此，我們可以用兩種方式來看資產支持證券的結構：一種是以圖6-3所示的瀑布式現金流形式。現金流首先會分配給優先檔，然後是中間檔，最後才是權益檔；另一種是以承擔損失的方式，權益檔首先承擔損失，然後是中間檔，最後才是優先檔。

資產支持證券的設計方式是保證優先檔的信用評級為AAA，中間檔的信用評級為BBB，權益檔通常沒有信用評級。與一般債券評級不同，資產支持證券各檔的評級常常被稱為“協商評級”（negotiated rating）。ABS發行者的目標是產生最大數量的優先檔資產，並保證其信用評級達到AAA級（這樣做可以將資產結構的盈利最大化）。在發行證券之前，ABS的發行者首先要查看信用評級公司如何來對各檔進行評級，然後向評級公司提供幾種債券發行的初選方案，最終選定一種結構來發行證券。資產支持證券的生成人一般會盈利，因為標的資產組合的加權平均回報高於賣出的各檔證券的加權平均回報。

一種特殊的資產支持證券就是所謂的擔保債務憑證（collateralized debt obligation，CDO），這種債券的標的資產為固定收益債券。附錄L介紹了市場上用以定價一個CDO的步驟。

6.2.2　基於ABS的CDO

尋找願意向由次級貸款所派生出的高級AAA檔的投資者並不困難。權益檔常常由按揭發行人持有，而且對衝基金也有興趣購買權益檔，但尋找中間檔的投資者會比較困難。這時金融工程師發揮了其想象力（有人說太具有想象力了），他們由ABS的中間檔進一步創造出新的ABS。以這種形式產生的債券被稱為ABS CDO或中層ABS CDO（mezz ABS CDO），其產生過程如圖6-4所示。ABS CDO的優先檔的評級為AAA，這意味著我們例子中的所有AAA級產品的面值佔基礎按揭組合面值的90%（75%加上20%的75%），這一比率看起來已經很高，但如果考慮將中層ABS CDO進一步證券化，那麼AAA級證券面值佔基礎按揭組合面值的比率會更高。

圖6-4　一個簡化的ABS CDO

在圖6-4所示的例子中，ABS的AAA檔在2007年下半年可能已經被降級，但是，如果基礎按揭資產的損失小於25%，因為有更低檔的證券來承擔本金損失，該檔仍可能會收到其承諾回報。圖6-4所示ABS CDO的AAA檔會更加危險。當基礎按揭組合的損失小於10%時，該檔會收到其承諾回報。這時ABS中間檔所承擔的損失小於或等於ABS本金面值的5%，^[5]因為ABS CDO中間檔的面值為ABS面值的20%，其所對應的最大損失（以ABS資產為基準）為5/20，即25%，因此，在最差的情況下（25%的ABS CDO損失，即標的資產損失為10%），ABS CDO的權益檔及中間檔會全部耗盡，但最優先檔沒有任何損失。

當標的投資組合的損失高於10%時，ABS CDO的優先檔會有損失。例如，當標的投資組合的損失為20%時，這時ABS中間檔的損失率達15/20，即其面值的75%，最初25%的損失由ABS CDO權益檔及中間檔承擔，ABS CDO的優先檔損失率達50/75，即67%。表6-1是對這一結果及其他情形所對應損失的總結。

表6-1　圖6-4中各檔的損失　（%）

許多銀行因持有ABS CDO的優先檔而蒙受損失。這些投資承諾的回報通常遠高於銀行的融資成本。因為投資資產的信用級別為AAA，投資所對應資本金要求會比較低。美林證券就是因投資ABS CDO而蒙受了巨大損失。2008年7月，美林以每一美元面值按22美分的價格向Lone Star Funds出售了總面值為306億美元、信用級別曾被評為AAA級的ABS CDO優先檔。^[6]

6.2.3　實際中的ABS及ABS CDO

圖6-2和圖6-4說明了證券化過程的實質。在實際中，證券化產品具有更多分檔，許多厚度比圖6-2和圖6-4中的分檔更薄（即承擔損失範圍會更窄）的分檔被創建出來。圖6-5展示了一個更接近於真實的結構，這一結構選自Gorton的文章，它最初來源於UBS的一篇文章。^[7]

圖6-5　一個現實的次級債證券化過程，其中ABS、ABS CDO和CDO的CDO設有超額抵押和超額利差機制

圖6-5顯示，由ABS可以產生兩類ABS CDO：一類由ABS的BBB級分檔來產生（見圖6-4中的ABS CDO），另一類由ABS中的AAA級、AA級及A級分檔來產生。圖形展示由中層ABS CDO可以派生第三層證券。通常我們會設定一個少量的所謂超額抵押（over-collateralization）機制，即按揭抵押資產的面值要比ABS證券的面值更高（1%或2%）。這對投資者提供了一定的保護，但只要做一個類似於表6-1中的分析，我們就會發現，事實上當基礎的次貸抵押貸款的損失稍微高一點時，很多分檔的投資者都會損失本金。

ABS CDO中AAA級分檔的風險以及相對來講風險較小的ABS的AAA級分檔的風險，要比投資者和評級公司所意識到的更高，其中一個原因是相關性。ABS分檔的價值與基礎按揭資產中違約相關性有關，而ABS CDO分檔的價值更加依賴於違約相關性。如果按揭違約的相關程度並不很高（一般情況是這樣），整體來講，高違約率並不太可能發生，因此AAA級分檔是相當安全的。但被很多分析師忽略的一個事實是，在受壓市場下，違約相關性總是會增加。2005～2006年，投資者和評級機構所採用的模型中假設的違約率相關性太低，特別是在很多觀察者已經預見到美國房地產市場很可能發生動盪的情況下。如業界事例6-1所示，分析人員所犯的一個錯誤是對ABS中的BBB級分檔與企業BBB級債券等同處理，但這兩類債券有顯著差別，而這些差別對於ABS CDO分檔中的風險有很大影響。

[1] Keys等的研究結果表明，證券化的發展與按揭篩選條件的寬鬆有一個關聯性，見B.J. Keys, T. Mukherjee, A. Seru, and V. Vig, “Did Securitization Lead to Lax Screening? Evidence from Subprime Loans,” Quarterly Journal of Economics 125, no.1(February 2010):307-362。

[2] FICO是由費埃哲公司（Fair Isaac Corporation）開發的一套信用評分體系，在北美被廣泛使用。信用分數的取值範圍是300～850。

[3] 一種做法是持續幾個月對信用卡進行按時付款。

[4] 這裡給出的優先權規則是被簡化了的。精確的現金流分配方式可能非常複雜，用以說明的法律文件可能長達幾百頁。

[5] 即高於權益檔5%上的額外的5%損失。——譯者注

[6] 事實上，這個交易對美林來講情況可能會更糟，因為美林要為售價的75%提供資金支持。當分檔價格低於每一美元面值16.5美分時，美林可能會發現這些資產實際上又回到了自己賬上。

[7] G. Gorton, “The Subprime Panic,” European Financial Management 15, no.1(2008):10-46.

6.3　危機爆發

在美國，住房抵押貸款的違約引發了一系列後果。購買了ABS和ABS CDO分檔產品的金融機構與其他投資者蒙受損失。一些抵押貸款發行人也遭受損失，因為他們對一些被證券化的抵押貸款提供了保護，還因為他們的借貸行為產生的法律訴訟。

就像債務市場上經常發生的，當一個行業發生損失時，會造成安全投資轉移（flight to quality）現象。投資者不再願意承受任何信用風險，而是趨向於買入國債和類似的安全投資。信用價差（為承擔信用風險而需要的超額收益）大幅度增加。很多非金融企業很難從銀行取得貸款。實際上，銀行之間也不願相互貸款，同業拆借利率也大幅攀升。

2007年下半年，ABS和ABS CDO分檔的評級被下調。市場上這些分檔的流動性變得非常差。投資者認識到，他們並沒有像以前所認為的那樣真正理解這些分檔，而且他們過於依賴評級信息了。這也折射出金融市場透明度的重要性。危機爆發前出現的產品非常複雜。^[1]投資者直到問題爆發才意識到這一點，然後他們發現，這些產品的流動性如此之差，自己只能以清倉甩賣的價格來拋售了。

花旗集團、UBS和美林等銀行遭受了嚴重損失，政府不得不對很多金融機構進行救助。雷曼兄弟則被放棄，陷入破產。世界經受了自20世紀30年代以來最嚴重的金融危機。失業率增加，甚至連世界偏遠角落裡和美國金融機構沒什麼聯繫的人也被波及。

銀行業現在仍在為危機付出代價。我們將在第16章中看到，現在銀行要保留更多的資本金，要維持一定的流動性比率。諸如《多德-弗蘭克法案》等新的立法加強了對金融機構的監督並限制銀行進行某些活動，如自營交易和衍生產品交易。

[1] 有些產品的複雜性甚至超過第6.2節中的描述。例如，有時候，ABS CDO分檔被包括在投資組合中，生成新的ABS CDO。

6.4　什麼地方出了問題

非理性繁榮（irrational exuberance）這一說法是美聯儲前主席艾倫·格林斯潘首先提出的，用來描述20世紀90年代股票市場牛市時某些投資者的行為。這對信用危機爆發前的那個階段同樣適用。按揭貸款提供商、由住房按揭貸款生成的ABS和ABS CDO分檔的投資者，以及賣出對這些分檔的保護的那些公司假設“美好的時光”能永遠持續下去。他們認為美國房地產價格能永遠漲下去。個別地區的房價也許會有下降，但如圖6-1中出現的那種大範圍的下降被認為是不可能的。

造成2007年危機的因素有很多。按揭發行者降低了貸款標準，市場上產生了在保證盈利的情況下將信用風險轉移給投資者的產品。評級公司將其傳統評級業務轉移到了對結構性產品進行評級，而這些產品是比較新的，歷史數據也比較少。投資者購買的產品很複雜，並且在很多情形下，投資者甚至評級公司只具有關於標的資產質量的不準確和不完整的信息。結構性產品的投資者以為自己發現了印鈔機，這些投資者將評級公司所提供的信息用來取代自己關於標的資產的風險分析。評級為AAA級的結構性產品承諾的回報率也高於同樣評級的傳統債券。

6.4.1　監管套利

很多按揭貸款的發行人是銀行，而銀行也是從按揭貸款生成的證券分檔的主要投資者。為什麼銀行選擇將按揭貸款證券化，然後再去買入證券化產品呢？答案是因為“監管套利”（regulatory arbitrage）的存在。銀行持有由按揭貸款證券化產生的分檔所需要的監管資本金遠小於持有按揭貸款本身所需的資本金。這是因為按揭貸款需要放在銀行賬戶（banking book），而分檔產生的證券可以放在交易賬戶（trading book）。銀行賬戶和交易賬戶所需的監管資本金是不同的。對這一點，我們將在第15~18章中進一步討論。

6.4.2　獎勵機制

經濟學家所指的代理成本（agency cost）是描述在某個商業行為中，兩個不同參與者的利益不完全一致的情形。不幸的是，按揭貸款的發行、證券化以及在銷售給投資者的過程中恰恰存在代理成本。

按揭貸款發行人的動機是使貸款能夠被ABS和ABS CDO分檔的創建人所接受。按揭貸款所購買的房屋的估價人的動機是提供一個儘可能高的估價，使得貸款價值比儘可能低，以取悅貸款提供商（取悅貸款提供商的好處是以後可以拿到更多的生意）。ABS和ABS CDO的創建人主要關心的是證券結構的盈利水平（也就是加權平均後流入資金與流出資金的比值）。他們希望自己產品中AAA級分檔的比重能儘量的高，並找到了根據評級機構發佈的評級信息來達到這一目的的方法。評級機構從被評級的產品的發行商那裡獲得報酬，他們有大約一半的收入來自結構化產品。

另一類代理成本與金融機構和其僱員有關。僱員的薪酬分成三類：一般工資、年終現金分紅以及股票和股票期權。金融機構中許多不同級別的高級僱員（特別是交易員）的薪酬很大一部分是以年終現金分紅形式給出的。這種薪酬形式側重於短期表現。如果某個僱員在某年盈利很高而在今後的幾年損失很大，則該僱員在第一年會收到很高的現金分紅而在今後幾年不需要歸還已得到的分紅。僱員也許因為第二年的損失而失去工作，即便如此，對他來講，也沒什麼大不了。令人驚訝的是，金融機構好像很願意僱用那些簡歷上有損失記錄的人員。

假設你是一位在2006年投資於ABS CDO資產的一家金融機構的僱員。幾乎可以肯定，你已經意識到美國房屋市場存在泡沫並認定這一泡沫最終會破裂。但是你仍然可能會決定進行ABS CDO投資。如果這一泡沫在2006年12月31日之前不破裂，那麼你仍可能在2006年年底收到一筆可觀的分紅。

6.5　危機的教訓

從危機中，風險管理人員應學到以下的教訓：

（1）風險管理人員應注意那些存在非理性繁榮的機構，並且保證高層管理人員能意識到美好的時光不會永遠持續下去。

（2）在市場受壓的情況下，相關性總是增加的。在考慮情況能變得多糟糕時，風險管理人員不能使用正常市場條件下估算的相關性。

（3）不僅對於按揭貸款，對於大部分債券，當違約率上升時，回收率會下降（見第19.3節）。當考慮情況能變得多糟糕時，風險管理人員不應使用從正常市場條件下得來的回收率數據。

（4）風險管理人員應保證，對交易人員的獎勵和其他個人激勵措施應保證他們做出的決定與公司的利益一致。由於金融危機，很多金融機構已經更改薪酬政策。現在分紅往往被分攤到幾年內發放，而不是在一年內全部付清。如果前一年的表現很好而接下來一年的表現很差，那麼在表現好的年份的分紅中還沒有發放的部分有可能被收回（claw back）。

（5）如果一個交易看上去好得讓人難以置信，那它多半就不是真的。結構化產品中AAA評級的分檔承諾提供比同樣評級的普通債券高100個基點的回報。對這一點，一個明智的投資者應當得出結論：進一步的分析很有必要，因為分檔中很可能存在評級機構沒有考慮到的風險。

（6）投資者不能過於依賴評級。他們應該清楚評級機構使用的假設，並進行自己的分析。

（7）金融市場的透明度很重要。如果缺乏透明度（例如ABS CDO的例子），那麼當壞消息來臨時，市場的流動性很可能喪失殆盡。

（8）生成ABS CDO和CDO的CDO產品的再證券化（re-securitization）是個非常糟糕的主意。用以在第一層證券化中生成ABS的資產也應儘量分散。進一步證券化不會產生任何有益的結果。

業界事例6-1表明，很多從業者以為評級為BBB級的ABS分檔和BBB級的債券是等同的。而業界事例6-2表明，認識到事實並非如此的人可以採用一個交易策略從中獲利。

小結

2007年開始的信用危機給全球金融市場帶來了災難性的效應。這一危機最初源於美國房屋市場。美國政府曾熱衷於鼓勵住房所有權。利率一度很低。按揭經紀以及按揭發行商發現可以通過降低貸款標準來贏得更多的業務。市場上產生了證券化產品使投資者所面臨的信用風險不同於最初按揭發行人所面臨的信用風險。信用評級公司對證券化的優先檔給出了AAA的評級，市場上出現大量AAA級分檔的投資者，這是因為高分檔AAA級債券的回報要高於AAA-級債券。銀行認為這一“美好時光”將會持續，而且因為交易員的獎勵集中於其短期表現，所以房屋市場泡沫以及所交易的這些複雜產品對於市場的潛在影響被選擇性地忽略了。

當初次購房者及投機者一起進入市場時，房價就上漲了。有些按揭包括適用於最初兩三年的優惠利率，當優惠利率結束後，許多貸款的還款利息會顯著增加。因不能償還高利息貸款，貸款人只能違約，從而造成了斷供的增大，同時也增加了賣方市場的供應。2000～2006年市場上漲現象終於戛然而止，投機者及其他投資者發現他們所欠按揭的價值大於其違約的房屋價值（即他們資產的淨值為負），於是選擇違約，這進一步加重了房價的下滑幅度。

造成美國房地產泡沫和由此產生的衰退的因素很多。這些因素包括：市場參與者的非理性繁榮、糟糕的獎勵措施、對評級機構的過度依賴、投資者分析的欠缺和產品的高度複雜化。危機帶給風險管理人員很多啟示。在本書後面的章節中我們將會看到，危機導致了對銀行監管系統和立法系統的非常大的調整。

延伸閱讀

練習題

6.1　為什麼在2000～2007年，按揭發行人常常不檢查按揭申請人的背景信息？

6.2　為什麼2000～2007年的房價上漲被稱為泡沫？

6.3　表6-1所對應的標的資產損失率（a）5%及（b）12%的含義是什麼？

6.4　ABS分檔的風險和同樣評級的債券的風險有何不同？

6.5　解釋以下資產的差異：（a）ABS；（b）ABS CDO。

6.6　市場是如何錯誤地判斷了ABS CDO的風險的？

6.7　“代理成本”的含義是什麼？

6.8　什麼是證券化的瀑布式現金流？

6.9　ABS CDO是如何產生的？產生ABS CDO的動機是什麼？

6.10　研究人員Mian及Sufi如何說明按揭發行人在2000～2006年確實降低了貸款發行標準？

6.11　什麼是中間檔？

6.12　解釋違約相關率上升的影響：（a）ABS中權益檔的風險；（b）ABS中優先檔的風險。

6.13　解釋為什麼年末的現金獎金是一個短期獎勵。

作業題

6.14　假定ABS和ABS CDO的優先檔、中間檔及權益檔所對應的本金比例為70%、20%和10%，而不是圖6-4所示的75%、20%和5%，這一變化對錶6-1的影響是什麼？

6.15　試著解釋如果圖6-4中ABS中間檔的厚度減小，並且減小的分檔被平分給優先檔和權益檔，那麼會發生什麼情況？特別地，對錶6-1的影響是什麼？

第7章
定價和情景分析：風險中性世界和真實世界

定價（或估值）和情景分析是金融機構進行的兩項重要的活動。二者都涉及未來現金流的估算，但是它們的目的不一樣。在定價過程中，金融機構的意圖是估算未來現金流的當前價值。要做到這一點，需要求出未來現金流的期望值（即未來可能出現的所有情形下的現金流的平均值），然後將該期望值貼現到當前。而在情景分析中，金融機構的目的是探究在未來某一個時間點上，所有可能出現的情況。通常，那些帶來不利後果的情景會得到最多的關注，因為金融機構工作的風險管理人員往往需要回答這樣的問題：“情況到底會糟糕到什麼地步？”

假設一家金融機構賣出了以某股票為標的的1年期看漲期權100萬股。當前股票的價格是每股50美元，期權的執行價格是55美元。該機構計算出的期權的價值對買家而言是+450萬美元，對自己而言是-450萬美元。如果賣出期權的收入是500萬美元，則公司可以取得50萬美元的利潤。但是情景分析可能得出這樣的結果：在1年內，該股票的價格有5%的可能會達到80美元。這意味著，在考慮了最初賣出期權的收入後，這筆交易有5%的可能會造成2 000萬美元的損失。這個例子說明了定價和情景分析的關鍵區別。定價關注的是可能發生的情況的平均（在上面的例子中，450萬美元是期權可能的收益的平均值貼現後的結果），而情景分析關注的重點是極端情況下的結果（在上面的例子中，這筆交易可能給公司帶來2 000萬美元的損失）。

在本章中我們將討論在實踐中如何進行定價和情景分析。我們會介紹如何區分真實世界中的預測和風險中性世界中的預測，前者是情景分析的基礎，而後者是定價的基礎。風險中性定價可以用於諸如資產價格一類隨時間變化的變量，也可以用來處理那些結果依賴於某一離散事件是否會發生（如一家公司是否違約）的情況。本章將介紹如何進行蒙特卡羅模擬，並解釋在預測資產價格時一般需要做哪些假設。

7.1　波動和資產價格

在討論定價和情景分析之前，我們先來介紹幾點與資產價格的表現有關的常用知識。假設資產的當前價格為S₀，一個常見的假設是價格每年會以一個常量μ（以連續複利計）增長，價格的波動率也是一個常量，每年為σ。^[1]我們可以證明，在T年後，資產價格S_T的概率密度函數為^[2]

其中，ϕ（m，v）表示均值為m、方差為v的正態分佈，ln為自然對數函數。變量S_T服從對數正態分佈，因為它的自然對數是一個正態分佈。lnS_T的均值是，標準差是。

S_T小於某個值V的概率，等於lnS_T小於lnV的概率。根據正態分佈的性質，我們可以得到

其中

N為正態累積分佈函數，可由Excel軟件中的NORMSDIST函數計算得出。在T時刻，S_T大於V的概率為

Prob（S_T>V）=1-N（-d₂）=N（d₂）

（7-3）

最後，假設我們希望找到V，使得S_T的值大於V的概率是q，也就是說Prob（S_T>V）=q。由式（7-3），我們有N（d₂）=q，即

或者

其中N^-1是正態累積分佈函數的反函數，可由Excel的NORMSINV函數算出。類似地，若S_T的值小於V的概率是q，即Prob（S_T<V）=q，由N（-d₂）=q或d₂=-N^-1（q），可知

[1] 我們在附錄A中對於連續複利做了介紹。顧名思義，波動率是一個度量股票價格不確性的手段，在第10章中我們將對它進行更精確的定義。

[2] 推導過程可見J. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 9th ed. (Upper SaddleRiver, NJ: Pearson, 2015)。

7.2　風險中性定價

衍生產品定價最重要的一個手段就是風險中性定價。一個風險中性世界（risk-neutral world）可以是一個想象中的世界，在這個世界中投資者不要求為所承擔的風險得到補償。也就是說，在該世界中，一項有風險的投資需要提供的預期回報與無風險的投資是一樣的，均為無風險利率。我們生活的真實世界顯然不是風險中性的。我們身邊的投資者均要求為自己承擔的風險獲得補償（第1章給出了一個便於理解風險-回報替代關係的框架）。但是，風險中性定價方法顯示我們可以通過假設世界是風險中性的來為任何衍生產品定價，而且我們不僅可以在風險中性世界中得出正確的定價結果，該結果還可以用在任何其他世界中。

乍看上去，風險中性定價的結果似乎完全不合理。投資者並不是生活在風險中性的世界中。當他們面對的風險上升時，他們通常會要求得到更高的回報，這一結論適應於衍生產品及其他投資。^[1]但當我們試圖理解風險中性定價時，需要注意關鍵一點，對某一衍生產品進行定價，我們計算的價格是與標的資產價格有關（例如，股票期權價值的計算與標的股票的價格有關），而標的資產的價格反映了市場參與者對風險-回報的權衡。如果市場參與者認為由於資產的風險他們應該獲得更多（更少）的回報，資產的價格就會下降（上升）。而風險中性定價認為將標的資產價格轉換成衍生產品價格的計算公式是獨立於投資者的風險偏好的。

在風險中性世界中，所有未來的現金流都以無風險利率進行貼現。這極大地簡化了定價。假設我們要給一隻股票的看漲期權定價，無風險利率是3%。風險中性定價的步驟如下：

（1）假設股票未來的預期回報率是3%（平均值）；

（2）計算看漲期權的預期收益；

（3）以3%的貼現率將預期收益貼現，得到期權的當前值。

一個很自然的問題是：“既然在真實世界中定價更為自然，為什麼我們還需要風險中性世界？”答案在於，雖然在理論上我們可以在真實世界中對一個看漲期權進行定價，但在實踐中這樣做很困難。我們需要履行以下的步驟：

（1a）估計股票在真實世界中的預期回報率（平均值）；

（2a）計算真實世界中看漲期權的預期收益；

（3a）以適當的貼現率將期權的預期收益貼現，作為期權的當前價值。

在步驟（1a）中，我們有可能得到一個合理的、在真實世界中的股票未來預期回報率。為此，我們需要估計股票的beta，並使用第1章中介紹的資本資產定價模型。但完成步驟（3a）將非常困難。用來對真實世界預期收益進行貼現的正確貼現率依賴於期權的（而不是股票的）beta，而這個值在期權的生命週期中很有可能是變化的。隨著股票價格的變化，期權中隱含的槓桿會發生變化，貼現率也會跟著變化。如果在看漲期權的整個生命週期中使用單一貼現率，那麼得出的期權價值會非常高；同樣地，如果在一個看跌期權的生命週期中使用單一貼現率，那麼得出的期權價值會非常低，通常是負值。我們是怎麼知道這些情況的？我們可以使用風險中性定價，算出期權的價值，然後從這個答案倒推，看看要得到同樣的答案，在真實世界中正確的貼現率應為多少。後面我們會以一個二元期權為例，說明這一點。

風險中性定價是一個看上去很神奇的結論。它意味著我們無須關心諸如衍生產品的風險大小和市場對標的資產及衍生產品的回報要求之類的問題。我們需要問自己的唯一的問題是：如果我們生活在一個投資者對任何投資所要求的回報均等於無風險利率的世界中，我們如何對衍生產品進行定價？如果沒有風險中性定價，衍生產品的定價將會更加複雜（而且更加不準確）。

需要強調的是，風險中性定價（或者說“投資者在決定投資的預期回報時，並不關心投資的風險”這一假設）只不過是用來給衍生產品定價的一種人工設備。從中得到的定價結果不僅在風險中性世界中是正確的，在其他所有世界中也是正確的。當我們從風險中性世界變化到真實世界中時，會同時發生兩件事情：衍生產品的預期收益會發生變化，同時用於對預期收益進行貼現的貼現率也會發生變化。這兩個變化總是恰好相互抵消。

7.2.1　在遠期合約中的應用

作為風險中性定價的一個簡單例子，讓我們考慮一個遠期合約的多頭的定價，合約的標的資產是一隻不付股息的股票。假設交割價為K，期限為T。在到期日，合約的價值為

S_T-K

其中S_T是股票在T時刻的價格。根據風險中性定價的論點，該遠期合約在當前時刻（即零時刻）的價值即為它在風險中性世界中T時刻的價值以無風險利率貼現後的值。設遠期合約的價值為f，我們有

f=e^-rTÊ（S_T-K）

其中Ê表示無風險世界中的期望值，r為無風險利率（假設為常量）。因為K為常量，我們有

f=e^-rTÊ（S_T）-Ke^-rT

（7-6）

在無風險世界中，股票價格的增長率是r。由此我們得到

Ê（S_T）=S₀e^rT

其中S₀為股票的當前價格。將上式代入式（7-6）中

f=S₀-Ke^-rT

（7-7）

類似地，遠期合約空頭的價值為

Ke^-rT-S₀

（7-8）

上述結果和附錄C中的結果是一致的。

7.2.2　在二元期權合約中的應用

在本節中，我們給出了一個風險中性定價的更進一步的例子。假設一隻不付股息的股票的價格是30美元，如果1年後股價高於40美元，某衍生產品就會支付100美元。這種衍生產品被稱為二元或指狀（digital）或者是現金或無價值（cash-or-nothing）期權。假設無風險利率為每年3%（連續複利），真實世界中股票的預期增長率是每年10%（同樣是連續複利），股票的年波動率為30%。

在風險中性世界中，股票的預期增長率是每年3%。股票價格在1年後高於40美元的風險中性概率可以通過計算得出：設式（7-3）中的參數μ=0.03，T=1，σ=0.3，S₀=30，V=40。我們有

在風險中性世界中，該衍生產品的預期收益為100×0.1565=15.65美元。衍生產品的價值按3%無風險利率貼現1年後的價值為15.65e^-0.03×1=15.19美元。

真實世界中股票價格在1年後高於40美元的概率是這樣來計算的：設式（7-3）中μ等於假定的股票1年後的回報10%，得出的概率為0.2190（我們將在本章後面的內容中解釋，當從風險中性世界變換到真實世界時，不需要改變波動率；反之亦然）。因此在真實世界中，期權的預期收益是21.90美元。我們前面曾經提到過，使用真實世界的預期收益進行定價的問題在於我們不知道應該使用什麼樣的貼現率。股票的價格存在風險，該風險已經被市場定價（否則股票的預期收益就不會是高於無風險利率的7%）。衍生產品可以在該風險基礎上增加槓桿，因此對衍生產品的預期收益貼現時應該使用更高的貼現率。我們知道該衍生產品正確的當前價值應為15.19美元，據此我們可以推算出真實世界中21.90美元的預期收益應使用的貼現率為36.6%（這是因為21.90×e^-0.366×1=15.19）。

7.2.3　布萊克-斯科爾斯-默頓公式的應用

接下來我們考慮一隻不付股息的股票的歐式期權，執行價格為K，到期日為T，假設無風險利率為r，在T時刻的收益為

max（S_T-K, 0）

其中S_T為股票在T時刻的價格。因此，期權在T時刻的預期收益是

Ê［max（S_T-K, 0）］

其中Ê表示風險中性世界中的期望值。使用風險中性定價的結論，該期權的價值為

e^-rTÊ［max（S_T-K, 0）］

（7-9）

類似地，相應的看跌期權的價值為

e^-rTÊ［max（K-S_T, 0）］

在進行一些代數變換後，我們可以證明這些結論可以推導出附錄E中的布萊克-斯科爾斯-默頓公式，用於歐式股票期權的定價。^[2]

7.2.4　應用於離散化回報的情況

風險中性定價還可以用於回報是離散化的情況。假設在T時刻可能出現兩種互斥的結果。設π₁為某衍生產品的價值，如果第一種結果出現，那麼該衍生產品在T時刻的收益為1美元，否則收益為0。同樣地，設π₂為另一個衍生產品的價值，如果第二種結果出現，那麼該衍生產品在T時刻的收益為1美元，否則收益為0。如果同時買入這兩個衍生產品，那麼我們可以保證在T時刻獲得1美元的收益。在T時刻保證獲得的1美元收益的當前價值為e^-RT，其中R為到T時刻的無風險利率（連續貼現）。所以我們有

π₁+π₂=e^-RT

（7-10）

現在考慮另一個衍生產品，如果在T時刻第一種結果發生，則該產品支付V₁；如果第二種結果發生，則支付V₂。該衍生產品的價值為

π₁V₁+π₂V₂

進一步有

將式（7-10）的結果代入上式，該衍生產品的價值為

e^-RT（p₁V₁+p₂V₂）

其中

從這個結果出發，我們可以很自然地把p₁和p₂看作是兩種結果分別發生的風險中性概率。該衍生產品的價值也就是其在風險中性世界中預期收益以無風險利率的貼現。這個例子說明風險中性定價也適用於結果是離散的情形。

上述結果還可以擴展到結果有很多種可能的情況。假設在T時刻可能會發生n種互斥的可能的結果。設π_i是一個衍生產品的價值，該衍生產品在第i（1≤i≤n）種可能結果發生時，收益為1美元，否則為0。那麼，一個在第i（1≤i≤n）種可能結果發生時，收益為V_i美元的衍生產品的價值為

其中，p_i為第i（1≤i≤n）種可能結果發生的風險中性概率，且

7.2.5　應用於違約概率

考慮一個金融工具，其回報取決於某家公司是否違約（這樣的工具可以定義成信用衍生產品）。根據我們在前面所做的分析，如果我們要對這樣一個衍生產品定價，那麼可以遵循以下步驟：

（1）估計違約的風險中性概率；

（2）計算衍生產品的預期收益；

（3）將預期收益按無風險利率貼現。

我們將在第19章中看到，風險中性違約概率可以由該公司發行的債券的收益率或信用違約互換利差推出。一般來說，風險中性違約概率會高於真實世界中的違約概率。

[1] 如在第1章中解釋的，對投資者來說系統性（即不能被分散的）風險是至關重要的。

[2] 按照約翰·赫爾所著的《期權、期貨及其他衍生產品》（Options, Futures, and Other Derivatives, 10th ed, Upper Saddle River, NJ: Pearson, 2018），可用三種方式推導出布萊克-斯科爾斯-默頓公式。第一種是先建立滿足所有衍生產品的微分方程，然後通過恰當的邊界條件求解；第二種是建立股票價格行為的二叉樹，然後對時間步長取極限，使其趨向於0；第三種是通過式（7-9）。這種方式的詳細步驟可在本書附錄和《期權、期貨及其他衍生產品》（原書第10版）的第15章中找到。

7.3　情景分析

現在我們討論情景分析。在情景分析中，我們希望瞭解將來可能發生的狀況。我們的目的不是定價，而未來的現金流也不會貼現到當前。在進行情景分析時，我們考慮的世界是真實世界，而不是風險中性世界。我們要強調的是，風險中性世界不過是我們為了對衍生產品進行定價而構造的一個人造的世界而已。對風險管理人員來說，他們一般不會太關心在一個人人都是風險中性的虛擬世界中，將來會發生什麼情況。

使用哥薩諾夫定理（Girsanov’s theorem），我們可以比較簡便地在真實世界和風險中性世界中切換。該定理證明，當我們從某一種風險偏好設定的世界變換到另一種風險偏好設定的世界時，市場變量，如股票價格、商品價格、匯率和利率的預期增長率會發生變化，但是它們的波動率不會變。

為說明情景分析是如何進行的，假設真實世界中的股票預期回報率為8%，目前股價為30美元，其波動率為25%。若你擁有10 000股股票，明年你的損失額會是多少？

由式（7-5）可知，在真實世界中1年內股票價格分佈的5%分位數為

類似地，股票價格分佈的1%分位數是17.61美元。

因此，有95%的概率在接下來的1年裡損失不會超過10 000×（30-20.88）=91 200美元。同樣，可以99%地確定損失不會超過123 900美元。我們將在後面的章節中看到，這些就是所謂的風險價值評估。

這裡的關鍵是，由於我們在進行情景分析而不是評估，所以該結果是基於真實世界的預期回報率，而不是無風險回報率。

7.4　兩個世界必須同時使用的情況

在某些情況下，進行情景分析要求我們既使用真實世界，又使用風險中性世界。真實世界用來產生在需要考慮的時間範圍內可能發生的情景，風險中性世界則用來為在這個時段內仍未有效的交易進行定價。舉一個簡單的例子，假設我們剛才討論過的遠期合約是某投資組合中唯一的一筆交易。我們希望通過情景分析來研究一下6個月後，這個投資組合的價值會是什麼情況。為了達到這個目的，我們需要進行兩個步驟：

（1）計算真實世界中，6個月後股票價格的概率分佈。

（2）使用步驟（1）中得到的股票的可能價格，對6個月後的遠期合約進行定價，並得到遠期合約6個月後價值的概率分佈。此時，需要使用風險中性定價（6個月後，合約的期限為1.5年）。

假設我們想知道6個月後可能出現的“最壞”的情況。我們可以把“最壞”定義成6個月後合約價值概率分佈中對應於1%概率的低點。在這個例子中，因為該投資組合非常簡單，所以最壞的情況對應於在真實世界中6個月後股票價格可能以1%的概率達到的高點。根據式（7-4）此點對應的股票價格應為

將這個股票價格代入式（7-8），得到的遠期合約的價值為

55e^-1.5×0.03-84.18=-31.61

因此，6個月後，有1%的概率，合約的價值會低於-3 161萬美元。

注意，最壞情況下的股價是在真實世界中計算出來的，然後用風險中性估值法對遠期合約的最壞情況進行估計。

7.5　實踐中的計算

我們剛剛看到的例子非常簡單，因為組合中只有一個金融工具——一個2年期的股票遠期。我們知道該合約的價值隨著標的股票價格的上升而下降。當該股票的價格達到概率為1%的高點時，遠期合約的價值就會跌到概率為1%的低點。

在實踐中，一家金融機構的投資組合通常包括大量的金融工具，因此進行情景分析需要的計算可能會非常複雜。要了解自今天起始的特定時間段內真實世界中可能發生的情況，我們需要生成大量的場景，並在這些場景下對投資組合進行定價。然後，我們才能知道在某一概率下（例如1%）所對應的損失的情況。舉例而言，如果我們考慮了1 000個場景，1%概率對應的損失就是這些場景中出現的第10個的損失。

對股票價格、股指價格和匯率等市場變量，最常用的模型一般會假設預期增長率μ和波動率σ是兩個常數，或是時間的某個函數。由式（7-1）可知，如果S_t是市場變量在時間t的值，我們有

其中，ε是一個服從標準正態分佈的隨機變量（均值為0，波動率為1）。也就是說

通過這個公式，我們就可以從一個標準正態分佈中取樣，以Δt為時間步長對一個市場變量進行模擬。

短期利率、波動率和商品價格等市場變量使用的模型會更加複雜。這類模型不僅考慮變量表現出的波動性，而且還假設從長期來看變量會迴歸到一個平均水平。這一現象被稱作均值迴歸（mean reversion）。在大多數情況下，我們並不假設各種市場變量的變動是相互獨立的。市場變量之間的相關性通常可以通過歷史數據估算出來。然後，這些相關性可以通過標準正態分佈隨機變量ε之間的相關性體現出來（我們在第11章中介紹特定相關係數下的多元標準正態分佈取樣的方法）。

從上面這個簡短的介紹中我們可以看出，情景分析可能非常耗費時間。在每次模擬中，除要通過取樣生成市場變量的值以外，還需要計算組合在所模擬的時間點上的價值。網格計算技術（grid computing，一種調度多個計算機資源協同工作，以完成同一個任務的分佈式計算技術）常常被用來進行這類計算。有時，為了能在合理的時間內得到結果，我們還不得不對蒙特卡羅模擬實驗的次數進行限制。

7.6　對真實世界中的過程進行估計

在情景分析中，我們面臨的一個主要問題是，我們對市場變量在風險中性世界中表現的瞭解，常常遠多過對它們在真實世界中表現的瞭解。考慮一隻股票的價格，我們知道在風險中性世界，股價的回報就是無風險利率。我們可以從歷史數據或以該股票作標的的期權價格中計算出波動率。對於消費資產（即非純粹用於投資的資產），期貨價格可用於提供有關其價格在風險中性世界中預期表現的信息。類似地，利率期限結構提供了風險中性世界中利率遵循的規律信息。

不幸的是，在真實世界中不存在這類隱含計算的方法。理論上，我們可以從歷史數據中推導。但在實際中，要得出比較準確的估計所需要的歷史數據量是很大的（遠遠超過得出合理波動率所需要的數據量）。

我們還可以使用資本資產定價模型（見第1章）。我們可以先估計這隻股票的回報與某個對整個市場有代表性的指數（如標準普爾500指數）的表現的相關係數ρ。如我們在第1.3節中解釋的，這隻股票的β可由下式計算出

其中，σ是股票回報的波動率，σ_M是標準普爾500指數回報的波動率。根據資本資產定價模型，股票在真實世界中的回報率為

R_F+βE

其中，R_F是無風險利率，E是市場相對於無風險利率的預期超額回報（通常假設為5%或6%）。

我們可以對其他變量使用類似的方法。假設一個市場變量的波動率是σ（注意波動率在真實世界和風險中性世界中是相同的）。該變量在真實世界中的百分比變化量超出其在無風險世界中的變化量可計為λσ，其中λ被稱作該變量風險的市場價格。一般來說

其中ρ為該變量百分比變化量與標準普爾500指數回報的相關係數。

現在考慮某一商品的價格。如果它的回報和標準普爾500指數的回報沒有相關性，我們可以假設它在真實世界中的預期回報和在風險中性世界是相等的。或者，設ρ=0.3，σ_M=0.2，E=0.06，我們可以推算出λ=0.09。如果商品價格的波動率是40%，則其回報率應為0.09×0.40=3.6%，即在真實世界中的預期回報高於風險中性世界中的回報。

就利率而言，市場風險價格為負（通常在-0.1至-0.2）。^[1]這意味著，在風險中性的世界，利率的增長速度要快於真實世界（這使得利率不同於股票價格，而在真實世界中恰恰相反）。

[1] 參見J. Hull, A. Sokol, and A. White, “Short-Rate Joint-Measure Models,” Risk (October 2014): 59-63，以獲得估算利率風險市場價格的方法。美國聯邦儲備委員會有時會根據經驗判斷實際利率的變動幅度是每月比實際利率低一個基點。

小結

風險管理中一個比較容易讓人迷惑的問題是定價和情景分析（應該）基於對市場變量（例如股價、商品價格和匯率）表現的不同假設上。通過標的資產的價格對衍生產品進行定價，我們使用一個虛構的風險中性世界。這意味著投資組合中所有資產的預期回報都被假設為無風險利率，而預期收益也會以無風險利率貼現。風險中性定價結論的普遍適用性說明我們在風險中性世界中的定價結果在真實世界中也是正確的。

在情景分析中，我們感興趣的主要是市場變量在真實世界中（也就是我們真正生活的世界）是如何變化的。幸運的是，哥薩諾夫定理告訴我們，在真實世界和風險中性世界中，一個變量的波動率是相等的。但是，變量在這兩個世界中的預期回報很可能是非常不同的。例如，股票價格和股指價格在真實世界中的預期回報通常顯著高於它們在風險中性世界中的回報。正如我們在第1章中討論過的，這是因為投資者會為所承擔的風險要求補償。

另一個讓人迷惑之處是，有時我們需要同時考慮風險中性世界和真實世界中的情況。例如，一家金融機構持有一個衍生產品組合，且該機構希望瞭解自己未來1年可能遭受的損失，那麼它要做的就是考慮相關市場變量在未來1年內，在真實世界中會如何變化，並據此生成很多場景，然後它就可以使用風險中性定價方法來計算1年後投資組合在各場景下的價值。

延伸閱讀

練習題

7.1　一隻股票的價格的預期回報是12%，波動率是20%，當前價格為50美元。2年內股價高於70美元的概率是多少？

7.2　在習題7.1中，2年內股票能以5%的概率突破的高位是多少？

7.3　試著解釋風險中性定價的原理。

7.4　一個分析師計算一個股票指數未來的預期價格：（a）在真實世界中；（b）在風險中性世界中。你認為哪個世界中的值會更高一些？為什麼？

7.5　有一個衍生產品價值3美元，如果1年內某公司違約，該衍生產品會支付100美元。另一個衍生產品價值95美元，如果上述公司在1年內不違約，則該衍生產品會支付100美元。那麼，1年期無風險利率是多少？這家公司的風險中性違約概率是多少？

7.6　有一個二元期權，如果某股票的價格在3個月後高於30美元，則該期權會支付100美元。目前股票的價格是25美元，波動率是30%，無風險利率是3%，股票價格的預期回報是10%。該期權的價格是多少？在真實世界中，能從該期權中獲得收益的概率是多少？

7.7　我們需要進行情景分析，以確定1年後一個投資組合的價值的某一置信區間，試著說明為什麼我們既需要使用真實世界，又要使用風險中性世界。

7.8　解釋均值迴歸的含義。

7.9　解釋哥薩諾夫定理。

作業題

7.10　一隻股票的預期回報率是9%，波動率是25%，目前價格為40美元。未來18個月後，股票價格低於30美元的概率是多少？

7.11　某投資者持有某股票10 000股，股票目前的市場價格是80美元。6個月後，該組合在最壞的情況下價值是多少？這裡最壞的情況下的價值的定義是，組合的價值只有1%的概率低於該值。假設股票的預期回報率是8%，波動率是20%。

7.12　有一個二元期權，如果3個月後某股票的價格高於60美元，該期權會支付500美元。股票目前的價格是61美元，波動率是20%，無風險利率是2％，股票的預期回報率是8%。期權的價值是多少？真實世界中的預期收益是多少？

第8章
交易員如何管理風險敞口

金融機構的交易臺被稱為前臺（front office），而管理銀行所面臨的整體風險、資本充足率以及監管合規的部門被稱為中臺（middle office），管理銀行賬目的部門被稱為後臺（back office）。如同我們在第1.6節中解釋的，交易臺的風險在兩個層次被管理：第一個層次是交易前臺人員通過對衝手段來控制單一市場變量風險敞口不至於太大；第二個層次是中臺管理人員將所有交易員的風險敞口進行彙總來測算銀行面臨的整體風險，並決定整體風險是否可以被接受。在這一章中，我們將集中精力討論前臺的風險對衝行為，在以後的章節中，我們將討論中臺如何彙總及測算整體風險。

本章將討論“希臘字母”（greek letters），有時這些字母被簡稱為希臘值（greeks）。每一個希臘值都被用來度量交易中存在的不同方面的風險。在每個交易日結束時，交易員都要計算自己交易的各個希臘值，如果結果顯示風險已經超出了本金融機構確定的內部風險額度（internal risk limit），交易員應立即採取措施來減小風險敞口。如果不採取適當措施，那麼交易員可能會被解僱。

8.1　delta

假如你是美國某家銀行的交易員，你負責銀行所有與黃金有關的交易。當前黃金價格為每盎司1 300美元。表8-1顯示了你所持有的交易組合（也被稱為交易賬本或賬戶，“book”），你應該如何管理你所面臨的風險呢？

表8-1　某一黃金交易組合

這裡你所持有的交易組合的當前價值為-5 683 000美元（這可能部分是因為你一直是期權的淨賣方，部分是因為市場走勢不利於你），一種檢測你的交易組合所面臨風險的辦法是假定黃金的價格由現在每盎司1 300美元變為每盎司1 300.10美元，然後再重新對你所持交易組合進行估價。假定當黃金價格變化後，交易組合的價格從-5 683 000變為-5 683 100美元。黃金價格增加0.1美元會觸發交易組合損失100美元，因而交易組合對黃金價格的敏感性為

以上所討論的敏感性就是交易組合的delta。對應於每一美元黃金價格的上漲，交易組合損失1 000美元。類似地，我們可以計算出對應於每一美元黃金價格的下降，交易組合會有1 000美元的收益。

通常來講，交易組合價值對應於市場變量的delta由以下表達式來定義

這裡的ΔS是指市場變量的微小變化，而ΔP對應於隨之而來的交易組合的價值變化。採用微積分的術語，delta（希臘字母中為Δ）是指交易組合價值對某一市場變量的偏導數，也就是說

在我們的例子中，交易員可以買入1 000盎司黃金來消除delta風險。這是因為持有1 000盎司黃金的delta也是1000。當黃金價格每盎司增加1美元時，持有1 000盎司的黃金會產生1 000美元的收益，這被稱為delta對衝（delta hedging）。買入的黃金與最初交易組合迭加所產生的新的交易組合的delta為0，這樣的交易組合被稱為delta中性（delta neutral）。

8.1.1　線性產品

線性產品的價值變化與標的資產的價值變化有某種線性關係（見圖8-1）。如果標的資產的價值是一項資產（如黃金）的價格，該資產的現貨頭寸顯然是一個線性產品。頭寸的價值與資產的價格呈線性關係。遠期是一種線性產品，而期權不是。

圖8-1　某種線性產品

線性產品的風險很容易對衝。例如，一家美國銀行與某企業做了一個遠期交易，在遠期合約中這家銀行同意在1年後以130萬美元的價格賣給這家企業100萬歐元。假定歐元和美元1年期的利率（每年複利1次）分別為4%和3%。這意味著，1年後100萬歐元的現值為1 000 000/1.04=961 538歐元，1年後130萬美元的現值為1 300 000/1.03=1 262 136美元。假定在當前1歐元等於S美元，合約價值（以美元計量）為^[1]

1 262 136-961 538×S

這表明合約的價值和匯率S呈線性關係。合約的delta為-961 538，這家美國銀行可以通過買入961 538歐元來對衝風險。因為這一線性關係，delta對衝對匯率的大小變動都能提供保護。

假設銀行進入相反的交易，也就是說銀行在1年後必須買入100萬歐元，遠期合約價值為

961 538×S-1 262 136

合約的delta為+961 538，銀行可以賣空961 538歐元來對衝風險，即銀行首先以4%的利率借入歐元，並隨即將歐元轉換為美元，在1年後合約到期時，收到的歐元可以用於償還歐元貸款。

通過賣空資產以對衝遠期合約並不一定總是很容易實現的，黃金就是一個有意思的實例，金融機構時常發現自己需要進入大數目的遠期合約，而在合約中需要買入黃金，這意味著金融機構必須借入大量黃金以達到對衝效果。如業界事例8-1所示，中央銀行往往是銀行借入黃金的來源，中央銀行借出黃金會收一定的費用，這一手續費利率被稱為黃金租賃利率（gold lease rate）。

線性產品一個很有吸引力的特性是：對衝保護對標的資產價格的大小波動同樣有效。另一個同樣非常有吸引力的特性是：一旦建立了對衝，則在交易的有效期內，都不要再調整倉位（這一特性有時被稱作“保後即忘”（hedge and forget））。為了說明這一點，再次回顧一下我們上面的例子，銀行通過遠期合約，同意在1年後以130萬美元售出100萬歐元。為了對衝風險，銀行購入了961538歐元。銀行能夠以4%的收益投資這筆歐元，1年後，投資的本息合計恰好是100萬歐元。這正好就是銀行用來完成遠期合約交割所需要的數額。因此，在1年內，銀行都沒有必要對對衝倉位進行調整。

8.1.2　非線性產品

期權以及大多數結構性產品都屬於非線性產品，這些產品的價格（變化）同標的資產的價格（變化）有某種非線性關係，而這種非線性關係使得這些產品的風險更難被對衝。首先，將一個非線性的投資組合delta中性化只能在標的資產價格變化比較小時才起保護作用。其次，我們不能採取保後即忘的策略，而必須不斷地調整對衝倉位。這被稱作動態對衝（dynamic hedging）。

例如，一個交易員賣出100 000份歐式期權，標的資產為某種無股息的股票，市場及期權變量如下：

（1）股票當前市價為49美元；

（2）期權執行價格為50美元；

（3）無風險利率為5%；

（4）股價波動率為20%；

（5）期權期限為20周。

我們假定交易員因賣出期權而得到300 000美元收入，並且假定此交易員除了這一期權交易，他不持有和這一股票有關的其他交易。

圖8-2　看漲期權價值與股票價格的變化關係

注：執行價格為50美元，無風險利率為5％，股價波動率為20％，期權期限為20周。

圖8-2顯示出期權價值與股票價格的函數關係。由於該函數是非線性的（即曲線），期權的delta取決於股票價格。當股票價格較低時，期權的價值幾乎為0，股票價格的微小變化導致的期權價值的美元增值也接近於0，這意味著期權的delta也接近於0。當股價較高時，比如70美元，看漲期權的買方會行權，因此期權的delta接近於1.0。這是因為股票價格中增加（減少）的ΔS使期權價值增加（減少）了ΔS。

圖8-3　看漲期權的delta與股票價格的變化關係

注：執行價格為50美元，無風險利率為5％，股價波動率為20％，期權期限為20周。

在我們的例子中，股價為49美元，期權的delta是曲線在這一點上的斜率，在圖8-2中為0.522（有關歐式期權希臘值的計算見附錄E）。圖8-3顯示了一個期權的delta隨股票價格的變化關係。^[2]在交易開始時，可買入1份標的股票的看漲期權的價值為2.4美元，而所對應的delta為0.522。因為該交易員賣出了對應100 000份的期權，所以交易員所持交易組合的價值為-240 000美元，交易組合所對應的delta為-52 200。交易員會因為期權的賣出價格超出了期權的理論價格60 000美元而感到興奮，但隨之而來的問題是如何對衝交易的風險以鎖定盈利。

賣出期權後，隨即買入52 200股股票可以使得交易組合達到delta中性。當股票價格有微小降低（增加）時，期權價值的收益（虧損）會被股票的損失（收益）中和。例如當股票價格由49美元漲到49.10美元時，期權價值會增加52 200×0.1=5 220美元，因此，期權的空頭會帶來5220美元的損失。這正好是股票價格上漲所帶來的收益。

對於線性產品，對衝交易在建立起來以後就無須調整。而對於非線性產品，為了保證delta中性，對衝交易要定期得到調整，這些調整過程被稱為再平衡（rebalancing）過程。

表8-2及表8-3顯示了在兩種不同情形下的再平衡模擬過程。假設對衝交易是每週進行一次。像我們在前面指出的那樣，最初的1份期權的delta為0.522，因而整個交易組合的delta為-52 200，這意味著在出售看漲期權的同時，交易員必須借入2 557 800美元並按49美元價格購買52 200股股票。借入資金的利率為5%，第1周的利息費用大約為2 500美元。

表8-2　delta對衝模擬，期權為實值期權，對衝成本為263 300美元

表8-3　delta對衝模擬，期權為虛值期權，對衝成本為256 600美元

表8-2顯示，股票在1周以後價格降到了48.12美元，期權的delta也隨之降到了0.458。要保持delta中性，此時應該持有45 800股股票來對衝持有期權所帶來的風險，這意味著必須賣出6 400（=52 200-45 800）股股票，賣出股票帶來的現金收入為308 000美元，第1周的累計借款餘額減至

在第2周，股價繼續走低至47.37美元，期權的delta也隨之降低，保證delta中性需要再賣出5 800股股票。在第3周，股票價格上升到50美元以上，隨之delta會增加，這會造成在第3周結束時，需要買入19 600股股票。在期權接近到期時，很明顯期權將被行使，期權的delta接近於1.0。因此，在第20周結束時，對衝者會擁有100 000股股票，期權持有者會在此時行使期權，對衝者以執行價格賣出股票而收到5 000 000美元，賣出期權並對衝風險的總支出費用為263 300美元。

表8-3顯示出另一組模擬的股票價格，期權在到期時成為虛值期權，在第20周結束時，對衝者不持有任何股票，對衝總支出費用為256 600美元。

表8-2及表8-3顯示出，對衝成本的貼現接近於布萊克-斯科爾斯-默頓模型給出的理論價值240 000美元，並不完全一致。如果對衝機制是完美的，那麼在每一條股票價格的模擬路徑上，對衝成本的貼現值都應該與期權的理論價格完全相等。delta對衝成本與理論價值的差別是因為對衝交易頻率僅為一週一次，當對衝再平衡的頻率增大時，對衝成本與理論價值的差距會減小。當然，這裡的分析結果是建立在布萊克-斯科爾斯-默頓給出價格完全正確以及無交易費用等完美假設之下。

delta對衝的目的是儘量保證金融機構的交易組合價值恆定。開始時，賣出期權價值為240 000美元。如表8-2所示，第9周時的期權價值為414 500美元，因而金融機構因賣出期權損失174 500美元（=414 500-240 000）。累計現金費用在第9周時比交易開始（第0周）時要多1 442 900美元，所持有的股票的價格由最初的2 557 800美元變為4 171 100美元，增加了1 613 300美元。將所有因素彙總在一起，到第9周，金融機構的交易組合價值變化僅僅為4 100美元。

8.1.3　費用由何而來

由表8-2及表8-3所示的delta對衝機制以合成的形式構造出一個期權的多頭，而這一“合成”期權會被用來對衝交易員的期權空頭交易。正如表中所示，對衝機制會造成股價下跌後賣出股票，而在股價上升後買入，這正是所謂的“買高賣低”。240 000美元的費用來自購買股票的價格與賣出價格之間的平均差價。

8.1.4　交易費用

按以上描述方式維持一個由單一資產為標的的期權和資產本身組成的組合的delta中性而引發的交易費用會非常昂貴，以至於對交易員來說不具可操作性。但對一個由多種衍生產品組成的大的交易組合，如果這些衍生產品的標的是同一個資產，則維持delta中性的可操作性會更好，因為將整個組合的delta歸零，只需要進行一筆標的資產的交易即可。因此交易費用會更容易地被其他交易的利潤所吸收。這表明，衍生產品交易也具有規模效應，因此衍生產品市場被少數幾家大的交易商所控制也就不足為奇了。

[1] 關於遠期合約的定價，見附錄C。

[2] 圖8-2及圖8-3是由軟件RMFI產生的，這一軟件可在作者的網頁上下載，計算中採用了布萊克-斯科爾斯-默頓解析模型，讀者可選擇“Black-Scholes-European”。

8.2　gamma

如前面所述，對一個非線性的交易組合，delta中性只能在標的資產價格變化比較小的情況下才能夠提供保護。

一個期權交易組合的gamma（希臘字母中為Γ）用來衡量當標的資產的價格變化較大時，對組合價值產生的影響。gamma是指交易組合的delta的變化與標的資產價格變化的比率，也就是說，gamma是交易組合對於標的資產價格的兩階偏導數

當gamma的絕對值很小時，delta變化緩慢，這時為保證delta中性所做的交易調整並不需要太頻繁。但是當gamma的絕對值很大時，交易組合的delta標的資產的價格就變得很敏感。此時在任意的一段時間內，對一個delta中性的交易組合不做調整會非常危險。圖8-4以一個股票的期權為例說明了這一點。當股票價格由S變成S′時，在delta中性假設下，期權價格由C變成C′，而事實上期權由C變成了C″。C′與C″之間的差異就造成了對衝誤差，這一誤差的大小取決於期權價格與標的資產價格曲線的曲率。gamma值正是用來度量這一曲率。^[1]

圖8-4　非線性形態所引入的對衝誤差

期權的多頭寸方gamma為正。圖8-5顯示了gamma與標的資產價格的一般關係。期權的gamma在標的股票價格接近於執行價格K時會達到最大值。

圖8-5　期權gamma與股票價格的關係，K為期權執行價格

構造交易組合gamma中性

一個線性產品的gamma為0，因此線性產品不能被用於改變交易組合的gamma，改變交易組合的gamma必須採用價格與標的資產價格呈非線性關係的產品，例如期權。

假如一個delta中性的交易組合的gamma為Γ，而某一交易所交易期權的gamma為Γ_T，將w_T數量的期權加入交易組合中，由此產生新的交易組合的gamma為

w_TΓ_T+Γ

要使得交易組合gamma中性，期權的交易頭寸應為w_T=-Γ/Γ_T，引入交易期權會改變交易組合的delta，此時必須調整標的資產數量以保證新的交易組合delta中性，交易組合只是在較短的時間內會保持gamma中性，隨時間的變化，只有不斷調整期權數量以使得期權的頭寸滿足w_T=-Γ/Γ_T，才能維持交易組合的gamma中性。

對一個delta中性的交易組合進行gamma中性化，可以看作是對delta對衝中的標的資產頭寸不能連續變化這一缺陷的校正。delta中性保證了連續兩次對衝再平衡之間，交易組合價值不受股票價格微小變化的影響。而gamma中性保證在對衝再平衡之間，交易組合價值不受股票價格較大變化的影響。假定一個交易組合為delta中性，其gamma量為-3000；市場上交易的某期權的delta及gamma分別為0.62及1.50。在交易組合中加入3000/1.5=2000份期權會使得此交易組合變得gamma中性，但因此交易組合的delta也會從0變為2000×0.62=1240，為保證新的交易組合delta中性，我們必須賣出1240股股票。

[1] 事實上，期權的gamma有時被從業人員稱為曲率（curvature）。

8.3　vega

衍生產品交易的另一個風險來自標的資產價格波動率的變化。一個市場變量的波動率是用來衡量此變量將來價值的不確定性（這一概念會在第10章中被詳細討論）。在期權定價模型中，波動率經常被假設成常數，而在實踐中，波動率會隨時間而變化。現貨產品、遠期、期貨及互換產品的價值與標的資產的市場價格的波動率無關，但期權及大多數更復雜的衍生產品的價格與標的波動率有關，這些產品的價值會因為標的資產的價格、資產價格的波動率及時間的變化而變化。

一個交易組合的vega（V）是指交易組合價值變化與標的資產價格波動率變化的比率，其定義為^[1]

如果一個交易組合的vega絕對值很大，此交易組合的價值會對波動率變化非常敏感，當一個交易組合的vega絕對值較小時，資產波動率的變化對交易組合的價值影響也會很小。

在某個交易組合中加入某個在市場上交易的期權會改變交易組合的vega，假定某交易組合的vega為V，可交易期權的vega為V_T，在交易組合中放入頭寸為-V/V_T的可交易期權可使最初的交易組合vega呈中性。但不幸的是，一個gamma中性的交易組合一般不會是vega中性，投資者想使得一個交易組合同時達到gamma及vega中性，就必須引入與標的資產有關的兩種不同衍生產品。

【例8-1】　假如某一交易組合為delta中性，gamma為-5000，vega為-8000。設某個可交易期權的gamma為0.5，vega為2.0，delta為0.6。購買數量為4000的該交易期權會使得交易組合呈vega中性，這樣做同時會使得delta增至2400，因此為了保證delta中性必須賣出2400單位的標的資產，交易組合的gamma也會從-5000變成-3000。

為了保證交易組合gamma及vega中性，我們引入第二個可交易期權。此期權的gamma為0.8，vega為1.2，delta為0.5。我們用w₁及w₂來代表兩個可交易期權的頭寸，我們要求

-5000+0.5w₁+0.8w₂=0

-8000+2.0w₁+1.2w₂=0

以上兩個方程式的解為w₁=400，w₂=6000。因此加入400份上述第一種及6 000份上述第二種交易所交易期權會使得交易組合gamma及vega都呈中性。加入這兩種期權後，交易組合的delta變為400×0.6+6 000×0.5=3 240，因此必須賣出3 240份標的資產，以保持交易組合的delta中性。

期權的多頭寸方的vega為正。圖8-6顯示了vega隨標的資產價格變化的關係曲線圖。vega圖形同gamma圖形較為相似。gamma中性在兩次對衝平衡交易之間，標的資產價格發生較大幅度變化的情況下，為交易組合的價值提供保護；vega中性在兩次對衝平衡交易之間，標的資產價格波動率發生變化的情況下，對交易組合的價值提供保護。

圖8-6　期權vega與標的資產價格的關係，K為期權執行價格

期限較短的期權的波動率比期限較長的期權波動率更具有多變性，因此在計算交易組合vega時，通常對期限較短的期權波動率的擾動量要比對期限較長的期權波動率的擾動量大，這一點將在第10.10節中討論。

[1] vega雖然是期權定價中“希臘值”的一個名稱，但是vega本身並不在希臘字母表中。

8.4　theta

一個投資組合的theta（希臘字母中為Θ）是指在其他條件不變的情況下，交易組合價值變化與時間變化的比率，theta常常被稱為投資組合的時間損耗（time decay）。

期權多頭寸方的theta通常為負，^[1]這是因為在其他條件不變的情況下，隨著期權期限的接近，期權的價值會下降。圖8-7顯示了一個看漲期權的theta與股票價格的一般關係曲線。當股票價格很低時，theta接近於0。對應於一個平值看漲期權，theta可正可負。圖8-8顯示了在三種不同情況下，即實值期權、平值期權、虛值期權的theta隨時間變化的典型曲線。

圖8-7　歐式看漲期權的theta隨股票價格變化的關係曲線

圖8-8　歐式看漲期權的theta隨時間變化的典型曲線

theta與delta等希臘值有所不同。這是因為股票將來的價格有很大的不確定性，但時間走向沒有不確定性，通過對衝來消除交易組合對於標的資產的風險十分有意義，但通過對衝來消除交易組合對於時間的不確定性就毫無意義。即使如此，許多交易員仍把theta量作為對於交易組合的描述，一個delta中性的交易如果其theta很大並且為正，那麼該交易組合的gamma常常會很大並且為負，這一關係反過來也正確。

[1] 對這一特性的反例包括：不付股息的股票的實值歐式看跌期權，或以某利率很高的外匯為標的的實值歐式看漲期權。

8.5　rho

我們最後將要考慮的希臘值為rho（希臘字母為ρ）。rho是指交易組合的價值變化與利率變化之間的比率。對於外匯期權，由於存在兩種利率，一個是本國利率而另一個是外幣利率，所以就可以得到兩個rho值。當交易組合包含債券及其他利率衍生產品時，通常交易員會謹慎考慮整個利率期限結構的變化方式。我們將在第9章中討論這一問題。

8.6　計算希臘值

在附錄E及附錄F中，我們解釋了希臘值的計算。在本書作者的網頁中，讀者可以下載一個名為RMFI的軟件，這個軟件可用於計算歐式期權和美式期權的希臘值，這裡讓我們再一次以在第8.1節中考慮的歐式看漲期權為例，這時股票價格為49美元，期權執行價格為50美元，利率為5%，股票價格波動率為20%，期權期限為20周（以年計為20/52年），表8-4顯示的delta、gamma、vega、theta和rho分別對應於一份期權的多頭與100 000份期權的空頭，這些頭寸曾在表8-2和表8-3中有所討論。

表8-4　利用RMFI軟件所得出的希臘值

這些數字意味著：

（1）在股票價格上漲0.1美元，同時其他因素不變的情況下，期權價格會上漲0.522×0.1=0.052 2美元，100 000個空頭的價值下降5 220美元。

（2）在股票價格上漲0.1美元，同時其他因素不變的情況下，期權的delta將增加0.066×0.1=0.006 6美元，100 000個空頭的delta下降660美元。

（3）在股票價格波動率上漲0.5%，同時其他因素不變的情況下，期權價格會上漲0.121×0.5=0.060 5美元，100 000個空頭的價值下降6 050美元。

（4）一天時間過去以後，假定同時其他因素不變，期權價格下降0.012美元，100 000個空頭的價值上漲1 200美元。

（5）在利率上漲了1%（100個基點），同時其他因素不變的情況下，期權價格上漲0.089美元，100 000個空頭的價值下降8 900美元。

8.7　泰勒級數展開

在附錄G中，我們解釋了泰勒級數（Taylor series）展開過程，泰勒級數展示了在某一短時間內各個希臘值在交易組合變化中所起的不同作用。假設某交易組合價值只與某單一標的資產（變量）有關，並且利率及標的資產的價格波動率為常數。作為標的資產（變量）價格S以及時間t函數，交易組合價格P的泰勒展開式為

其中ΔP及ΔS分別對應於在某一短時間Δt內P以及S的變化。delta對衝可將上式右端第1項消除，第2項對應於時間損耗，是一個非隨機項，第3項可以在保證gamma中性時被消除，隨機微分方程理論顯示出ΔS的誤差級別與相同，這意味著右端第3項的誤差級別為Δt，右端的其他項的誤差級別高於Δt。

對於一個delta中性的交易組合，式（8-1）的右端第1項為0，因此

在以上表達式中，我們忽略誤差級別高於Δt的項。圖8-9顯示了交易組合價值的變化同標的資產價格的變化的曲線。當gamma為正時，如果標的資產價格的變化幅度較大，那麼交易組合會有正收益；當標的資產價格的變化幅度較小或不變時，交易組合收益會為負。當gamma為負時，以上結論相反，即標的資產價格的一個較大變動會給交易組合帶來嚴重的損失。

圖8-9　delta中性的交易組合的ΔP與ΔS之間的幾種關係

當標的資產價格波動率也為變量時，作為σ、S以及t的函數，交易組合價格的泰勒方程展開式為

其中Δσ為波動率在Δt內的變化量。此時，delta中性可以消除右端第1項。vega中性可消除第2項，第3項為非隨機項，第4項可被gamma中性消除。

交易員經常也會對泰勒展開式的高次項進行定義，例如，∂²P/∂S∂σ被稱為vanna，∂²P/∂σ²被稱為vomma，∂²P/∂S∂t被稱為charm。

8.8　對衝的現實狀況

在一個完美的世界，金融機構的交易員可以隨時調整對衝交易以確保交易組合delta、gamma及vega均為0。在現實中，這樣做是不可能的，在管理與某標的資產有關的交易組合時，交易員通常是通過每天對標的資產進行交易以確保交易組合的delta為0或接近於0，而保證gamma及vega為0就十分困難，這是因為在市場上很難找到價格合理並且適量的期權以達到對衝目的（見業界事例8-2中有關動態對衝的討論）。

期權交易具有經濟規模效應，在以前我們曾指出，保持單一期權的delta中性成本太高，不具可行性，但對一個擁有上百個期權的交易組合維持delta中性是可行的，這是因為每天的再平衡費用可以被大量交易所帶來的利潤所支持。

8.9　奇異期權對衝

我們常常可以採用以上關於簡單產品的對衝方式來對衝奇異期權（見第5.7節）。正如業界事例8-3所示，有時奇異期權的delta對衝較為容易，而另外一些時候卻很困難。當利用delta對衝方式來對衝某些奇異期權產品不可行時，我們可使用另外一種被稱為靜態期權複製（static options replication）的方式。圖8-10解釋了靜態期權複製。我們用S代表標的資產價格，t代表時間，資產在當前（t=0）的價格記為S₀。在靜態期權複製對衝決策中，我們要在{S，t}空間選擇標的資產以及時間會達到的某一邊界，然後再選擇簡單期權組合並使得簡單期權組合在邊界上某些選定點上與奇異期權產品有相同的價值。奇異期權的組合可以被簡單期權組合的空頭對衝。當邊界值被達到時，用來對衝的簡單組合會被平倉，然後可以通過靜態期權複製再建立一個新的對衝倉位。

圖8-10　靜態期權複製

注：在靜態期權複製對衝策略中，我們建立一個簡單的期權組合P，使其在給定的標的資產價格以及時間的邊界點上，與奇異產品有相同的價值。

靜態期權複製的理論根據是，如果兩個交易組合在{S，t}邊界所有點上的價值相同，那麼這兩個交易組合也會在{S，t}空間內到達邊界值前所有點上的價值相同。但在實踐中，最初的奇異期權交易組合和用來對其進行復制的簡單期權交易組合的價值通常只能在邊界上的某些點而不是全部點上達到一致。所以，實際上這一做法假設，當兩個交易組合在足夠多的邊界點上價值相同時，這兩個交易組合在邊界其他點上的價值也往往會很接近。

8.10　情景分析

除了監控諸如delta、gamma、vega等風險量之外，期權交易員也常常進行情景分析。情景分析包括計算在某一指定時間內在不同的情景下交易組合的損益，分析中時間長度的選擇通常與產品的流動性有關，分析中所用的情景可由管理人員選定，也可由模型產生。

考慮某銀行持有一個匯率期權組合，此交易組合價值取決於兩個主要變量：匯率及匯率波動率。假定當前匯率為1.0，匯率波動率為每年10%。銀行可以用類似表8-5的表格來計算顯示在兩週內不同情景下交易組合的盈虧。在表中，我們考慮了7種不同的匯率及3種不同的波動率。

表8-5　在不同情景下某匯率期權交易組合在兩週內的損益　（百萬美元）

表8-5顯示，最大損失位於該表的右下角。這一損失對應的波動率為12%，匯率為1.06。在類似表8-5的情景分析中，最大損失通常位於表格的角落位置，但這一特性並不永遠正確。例如，在圖8-9中，當gamma為正時，最大的損失是對應於標的資產市場價格不變的情景。

小結

銀行的交易員通過監控自己負責的與某一市場變量相關的所有交易的敏感度，即希臘值來保證它們位於銀行指定的風險額度範圍內。

變量delta（Δ）是交易組合的價值的變化與標的資產價格變化的比率。delta對衝就是指構造delta為0的交易組合（有時被稱為delta中性）。因為標的資產的delta為1，所以持有一個-Δ頭寸的標的資產可以達到對衝交易組合風險的目的。對於期權及更復雜的產品，對衝交易要得到經常性的調整，這一調整過程也被稱為再平衡交易。

對於某一交易組合，一旦做到delta中性，下一步我們往往要關心交易組合的gamma。gamma變量是指交易組合的delta的變化與標的資產價格變化的比率。這一變量可以衡量交易組合價值與標的資產價格之間關係曲線的曲率。另外一個常用於對衝的重要變量為vega。vega用來衡量交易組合價值變化與標的資產波動率變化的比率。通過交易標的資產的期權可以改變交易組合的gamma及vega。

在實際中，為使得delta中性，交易員通常每天調整（再平衡）一次交易組合。要保證在一般情形下的交易組合gamma及vega的中性並不十分容易。交易員通常對這些變量進行測算，當這些變量變得太大時，交易員或者要做對衝交易來減小風險量，或者要將交易進行平倉。

延伸閱讀

練習題

8.1　一個交易組合價值對於標準普爾500指數的delta值為-2100。標準普爾500指數的當前市價為1000。請估計當標準普爾500指數上漲到1005時，交易組合的價格為多少。

8.2　某一衍生產品組合對於USD/GBP匯率的vega為200（每1%變化），請估算一下當波動率由12%變為14%時，衍生產品組合價格的增值為多少。

8.3　一個delta中性的交易組合的gamma為30（見前述gamma的定義），請估測以下兩種標的資產變化對交易組合價值的影響：（a）標的資產突然漲價2美元；（b）標的資產突然下跌2美元。

8.4　一個期權的delta=0.7的含義是什麼？如何將賣出的1 000份期權交易變為delta中性？這裡我們假定買入單位期權的delta為0.7。

8.5　一個期權的theta量每天為-100的含義是什麼？假如一個交易員認為股票價格及期權隱含波動率在將來不會改變，對交易員來講，什麼樣的期權交易（買入或賣出）較為合理？

8.6　一個期權的gamma含義是什麼？一個交易的gamma較大並且為負，並且delta為0，此時這個期權的風險是什麼？

8.7　請解釋以下觀點：“人工合成一個期權交易也就是期權對衝交易的反過程。”

8.8　一家公司對其持有的交易組合進行delta對衝，交易組合由看漲期權及看跌期權的多頭組合而成，期權的標的變量為某匯率。以下哪種情形會使交易組合增值更大？（a）現期匯率基本不變；（b）現期匯率劇烈變化。假如在交易組合中引入一筆期權賣空交易，以上分析會有什麼變化？

8.9　一個銀行持有USD/EURO匯率期權交易組合，交易組合的delta為30 000，gamma為-80 000，請解釋這些數字的含義。假設當前匯率（1歐元所對應的美元數量）為0.90，你應該進行什麼樣的交易以使得交易組合具備delta中性？在某短時間後，匯率變為0.93，請估計交易組合新的delta。此時還要追加什麼樣的交易以保證交易組合delta呈中性？假如最初銀行實施delta中性決策，匯率變化後銀行是否會有損益？

8.10　“在靜態期權複製理論中，波動率被假設為常量。”請解釋這句話的含義。

8.11　假定一個交易員採用一組簡單期權及靜態期權複製來計算某一奇異交易期權組合的價值。交易員希望簡單期權組合在某邊界上的10個點同奇異期權價值相同，簡單期權組合需要含有多少個期權交易？請解釋你的答案。

8.12　為什麼亞式期權比一般期權更加容易對衝？

8.13　為什麼在期權對衝過程中會有經濟規模效應？

8.14　我們考慮一個標的變量為匯率的6個月期限的美式看跌期權，匯率為0.75（對應於每一單位外幣的本國貨幣數量），期權執行價格為0.74，本國利率為5%，外國利率為3%，匯率的波動率為每年14%。請利用RMFI軟件（100步二叉樹）來計算期權的價格以及期權的delta、gamma、vega、theta以及rho，將匯率變為0.751，並計算對應期權價格，由此來檢驗delta的正確性。

作業題

8.15　一個delta中性的交易組合的gamma及vega分別為50以及25，請解釋當標的資產價格下跌3美元以及波動率增加4%時，交易組合的價值變化為多少？

8.16　讓我們考慮一個歐式看漲期權。標的資產股票價格為30美元，執行價格為30美元，無風險利率為5%，股票價格波動率為每年25%。請應用RMFI軟件來計算期權價格以及期權的delta、gamma、vega、theta以及rho。將股價變為30.1美元時計算期權價格，並由此來檢驗delta的正確性，通過計算期權在標的價格為30.1美元時的delta來計算gamma，並由此來檢驗gamma的正確性，對其他變量vega、theta以及rho，請進行相應的計算，並驗證計算結果的正確性。

8.17　一家金融機構持有以下場外期權交易組合，標的資產為英鎊。

某可交易期權的delta為0.6，gamma為1.5，vega為0.8：

（a）用多少可交易期權及英鎊可使交易組合同時達到gamma及delta中性，期權和英鎊應為多頭還是空頭？

（b）用多少可交易期權及英鎊可使交易組合同時達到vega及delta中性，期權和英鎊應為多頭還是空頭？

8.18　在作業題8.17中，引入第二種可交易期權，假定期權的delta為0.1，gamma為0.5，vega為0.6。採用什麼樣的交易可使交易組合delta、gamma以及vega均為中性？

8.19　用RMFI軟件檢驗表8-2的前3行，計算對應於前3周的期權的gamma與theta，並計算交易組合的價值變化（計算時間為每週末再平衡交易之前），並以此檢驗關係式（8-2）（注意：RMFI軟件計算的theta以天為計量單位，而式（8-2）中的theta以每年為計量單位）。

第9章
利率風險

同其他市場變量相比，例如股價、匯率及商品價格等，利率風險更加難以管理。一個複雜的問題是，對於任何一種貨幣，往往都會有幾種不同的利率（國債利率、銀行之間的拆借利率、房屋貸款利率、儲蓄利率、最優貸款利率等）。雖然這些利率一般會同時變動，但它們並不是完全相關的。另一個造成利率風險複雜的原因是我們不能僅僅只用一個數字來描述利率，而需要一個與期限有關的函數。這種函數關係被稱為利率期限結構（interest rate term structure），或者稱為收益曲線（yield curve）。該曲線所考慮的利率通常是零息利率（zero-coupon interest rate），有時也被稱為零利率。如果所有利息和本金都在期末支付，則這個利率就是整個持有期的利率（例如持有期間沒有現金流，最終只支付面值的債券）。

在此讓我們考慮一個管理美國國債的交易員的交易組合，這一交易組合由不同期限的很多國債組成。因此該交易員會對1年期、2年期、3年期等各種利率有風險敞口，從而這個交易組合的delta會比表8-1中黃金交易員的更加複雜。該交易員必須考慮美國國債收益率曲線形狀可能隨時間變化而發生的各種改變。

本章開始的部分介紹了金融機構對利率風險進行管理的傳統手段，其中包括對金融機構來說非常重要的幾種利率。接下來我們還要介紹久期及凸性等概念。這些變量可類比為第8章討論的delta及gamma。隨後我們將介紹管理曲線非平行移動的不同方法，這些方法包括局部久期、計算多項delta以及主成分分析法等。

本章不討論度量利率時的複利頻率以及零息利率的期限結構計算等問題。這些計算過程包含在附錄A和附錄B中。

9.1　淨利息收入管理

銀行風險管理活動的一項核心內容是管理銀行的淨利息收入。如第2.2節中介紹的，淨利息收入是指利息收入與利息支出的差。確保淨息差的穩定是資產負債管理部門的職責。淨息差（net interest margin）是淨利息收入和全部生息資產的比值。在本節中我們將討論這一目標是如何達到的。

為了展示淨息差的變動是如何發生的，我們假定某銀行給客戶提供1年及5年的存款利率，同時又給客戶提供1年及5年的住房貸款利率。這些利率如表9-1所示。為了簡化分析，我們假設市場投資者認為將來的1年期利率同今天市場上的1年期利率相同。簡單地講，市場認為利率增加與利率減少有相同的可能性，由此我們可以說表9-1顯示的利率是“公平”的，它們正確地反映了市場的期望。在這個公平假設下，將資金投放1年然後再滾動投資4年同一個5年的投資帶來的回報是相同的。類似地，以1年期利息借入資金然後再滾動借入4年同一個5年的貸款產生的融資費用是相同的。

表9-1　銀行給客戶提供各種利率

假定你將資金存入銀行，並且你認為利率上升與下降有相同的可能性，你此時會將資金以3%的利率存入1年還是會以3%的利率存入5年？你往往會將資金存入1年，因為將資金鎖定在一個較短期限裡會給你帶來較多的財務靈活性。

下一步假定你需要一個住房貸款，你仍然認為利率上升與下降的可能性均等，你此時是會選一個1年期6%的住房貸款還是會選一個5年期6%的住房貸款？這時你往往會選擇一個5年期的住房貸款，因為這樣做會給你帶來較小的再融資風險。

根據銀行提供的如表9-1所示的利率，大多數存款客戶會選擇1年期存款，同時大多數住房貸款客戶會選擇5年期貸款。這樣一來，銀行的資產及負債就會產生不匹配，從而對淨利息收入產生風險衝擊。用來支撐5年期利率為6%的貸款的存款需要每年滾動。這在利息降低時不會產生問題，銀行的貸款收入仍為6%，而支撐貸款的存款利息低於3%，因此利息收入會增加。但當利率增加時，銀行貸款收入仍為6%，存款費用高於3%，由此觸發銀行的淨利息收入降低。假如頭兩年內利率增長了3%，第3年的淨利息收入將為0。

資產負債管理部門的職責就是將這種利率風險降到最低。達到這一目的的方法之一是將帶來收入的資產的期限與產生利息費用的負債的期限進行匹配。在我們的例子中，一種達到這種匹配目的的方法是同時提高5年期的存款利率和住房貸款利率。例如將利率調整為如表9-2所示的情形，其中5年期的存款利率變為4%，5年期的貸款利率變為7%。在這種情況下，5年期存款及1年期住房貸款會變得相對更有吸引力。一些選擇表9-1中的1年期存款的儲戶會將自己的資金轉入如表9-2中所示的5年期存款，一些選擇表9-1中的5年期住房貸款的顧客會選擇1年住房貸款。這樣所帶來的效果是資產及負債得以匹配。如果客戶仍然過多地選擇1年期存款及5年期住房貸款而造成資產負債的不平衡，那麼我們可以進一步提高5年期存款及貸款利率，這樣會逐漸消除資產負債的失衡。

表9-2　提高5年期利率以達到資產負債的匹配

所有的銀行均按以上所描述的方式來進行資產負債管理，其效果是長期利率要比預期的將來短期利率高，這一現象就是所謂的流動性偏好理論（liquidity preference theory）。這一現象造成長期利率在通常情況下比短期利率要高，即使當市場預測短期利率稍有下降時，流動性偏好理論也會使得長期利率高於短期利率，只有當預測利率會有急劇下降時，長期利率才會低於短期利率。

許多銀行已經建立了較為完善的系統來監控客戶的業務決策行為，當看到客戶所選的資產與負債期限不匹配時，銀行可以對提供的利率進行細微調整。有時利率互換等衍生產品可以用來管理利率風險敞口（見第5.5.3節中的例5-1）。所有這些措施的結果是銀行的淨息差較穩定，但並不是所有的銀行都能時刻做到這一點。20世紀80年代，美國很多信貸公司和大陸伊利諾伊銀行（Continental Illinois）的倒閉在很大程度上是因為資產和負債期限的不匹配。

流動性

除了侵蝕淨息差，資產和負債不匹配還可能導致流動性問題。一家靠短期存款支持長期貸款的銀行必須不斷地以新的存款置換到期的存款，這也被稱作存款滾動（rolling over）。如果存款人對銀行喪失信心，銀行的這種做法就難以為繼。金融機構因為流動性問題而倒閉的一個廣為人知的案例是英國的北巖銀行，該銀行以批發存款支持其按揭組合，有些批發存款的期限只有3個月。從2007年9月開始，因為美國市場出現的狀況，存款人開始擔心。結果北巖銀行不能再為其資產融資，只能於2008年年初由英國政府接管（參見業界事例24-1）。在美國，雷曼兄弟和貝爾斯登也遇到類似的問題，不能滾動它們的批發存款。

2007年信用危機中的很多問題實際上是由於流動性短缺引起的。如同市場受壓時通常會發生的那樣，由於投資者尋求更安全的投資方式並且不打算承擔信用風險，從而引發安全投資轉移現象。現在，銀行監管機構已經意識到，應像設定資本金要求那樣為銀行設定流動性要求。第16章解釋了《巴塞爾協議Ⅲ》中的流動性要求。第24章對流動性問題進行了更深入的討論。

9.2　利率的種類

在這一節中，我們將介紹幾種對金融機構非常重要的利率。

9.2.1　國債利率

國債利率（treasury rate）是投資者投資短期國債和長期國債^[1]得到的利率。政府通過發行國債的方式用本幣融資。日本國債利率就是日本政府以日元發債的利率，美國國債利率就是美國政府以美元發債的利率，依此類推。通常，我們假設一個國家的政府是不會對本幣負債違約的。^[2]因此，投資者購買短期國債或長期國債，總會如約收回本金和利息，所以國債利率可以被看成是無風險利率。

9.2.2　LIBOR

LIBOR的全稱為倫敦銀行間同業拆借利率（London interbank offered rate）。它是銀行間無抵押短期拆借的利率。傳統上，每天發佈的LIBOR利率包含多種不同的幣種和期限，拆借期限從1天到1年。在世界範圍內，以LIBOR為參照利率的交易規模達到數萬億美元。一種非常常見並且非常重要的以LIBOR為參照利率的衍生產品是利率互換（見第5章）。LIBOR利率是由18家全球銀行在每個工作日的上午11：00（英國時間）之前發佈其可以從其他銀行借入資金的利率報價來估計的。每種幣種以及拆借期限最高的4個報價和最低的4個報價均會被捨棄，對剩餘的報價進行平均以確定當天的LIBOR報價。提交報價的銀行通常具有AA信用等級。因此，通常將LIBOR視為AA級銀行的無抵押借款利率的估計值。

一些為銀行工作的交易員被指控試圖操縱LIBOR報價。他們為什麼要這樣做？假設銀行從衍生產品中獲得的收益取決於特定日期的LIBOR變動，隨著LIBOR的增加，收益也增加。交易員有動機在那天提供更高的報價，並試圖說服其他銀行也這樣做。湯姆·海斯（Tom Hayes）是第一個因操縱LIBOR而被定罪的交易員。2015年8月，他被英國一家法院判處14年徒刑（後減刑為11年）。該機制的一個問題是，沒有足夠多的銀行間拆借交易能為所有的幣種/期限組合提供準確的拆借利率估計，因此做出一些調整是不可避免的。為了改善現狀，對LIBOR包含的不同幣種的數量從10個減少到5個，將不同的拆借期限從15個減少到了7個。此外，對拆借利率估計過程的監管得到了加強。

現在人們認識到，將LIBOR作為衍生產品交易的參考利率並不理想，因為它是根據銀行的估算而不是實際市場交易價格確定的。衍生產品市場正在考慮使用其他參考利率，例如OIS利率（將在稍後討論）。

9.2.3　LIBOR/互換零息曲線

正如前面所述，LIBOR的報價期限區間在1天到1年之間，因此，我們只可以定義期限小於1年的零息LIBOR利率曲線。LIBOR利率曲線將如何被延伸到一年以外呢？有兩種做法：

（1）構造期限大於1年的AA級公司借入資金的利率曲線；

（2）構造一個AA級公司在某個時刻短期借入資金的利率曲線。

瞭解這兩種構造方式的不同之處非常重要。如果對於所有期限的利率均為4%，假定利率曲線是通過第一種辦法構造而成的，那就意味著AA級公司今天借入資金的期限無論多長，利率均為4%；假定利率曲線是通過第二種辦法構造而成的，那就意味著市場已經認定AA級公司在將來短期內借入資金利率為4%（見附錄B中遠期利率的定義和計算）。第一種方法構造的曲線給出了今天信用級別為AA級的公司的遠期短期拆借利率，而第二種方法構造的曲線給出了遠期合約期限所覆蓋的將來某時段開始時信用級別為AA級的公司借入短期資金的利率。

在實踐中，LIBOR利率曲線是通過第二種方法構造的。互換利率（見表5-5）可以用來將利率曲線的期限延伸到1年之外（見附錄B）。^[3]LIBOR利率曲線有時也被稱為互換利率曲線或LIBOR/互換利率曲線。為了理解為什麼互換利率可以在第二種方法中來延伸LIBOR曲線，我們應該注意到銀行可以利用短期LIBOR貸款利率來生成互換利率，例如，銀行可以進行以下交易：

（1）借給一家信用級別為AA級的公司一筆資金，期限為6個月，並且在以後連續9次，每次以6個月為期限將相同數量的資金借給該公司（或信用級別也為AA級的其他公司）。

（2）進入一個5年期的互換交易，收入現金流為5年期互換利率，付出LIBOR。

這意味著，互換利率代表了銀行從一系列對AA級公司發放的短期貸款中能獲得的預期收益。因此，它有時也被稱為持續更新利率（continually refreshed rate）。^[4]

9.2.4　LIBOR和國債利率

無風險利率對於金融產品的定價非常重要。我們可能會認為國債利率應該很自然地被用作無風險利率。但實際上，市場通常認為國債利率是被人為壓低的，這是因為：

（1）對銀行來說，持有國債所需要的資本金要求（通常為0）要顯著低於投資其他類似的低風險產品。

（2）在美國，對於國債的稅務規定要比其他大部分固定收益產品更為有利，投資國債的收益無須繳納州稅。

在2007年信用危機之前，金融機構一般使用LIBOR和互換利率作為無風險利率的近似。在危機以後，隔夜指數互換利率已經取代LIBOR用作無風險利率。下面我們就解釋什麼是隔夜指數互換利率。

9.2.5　隔夜指數互換利率

隔夜指數互換（overnight indexed swap，OIS）是一種互換合約，指一定期限的（例如，1個月、3個月、1年或2年）固定利率與同期隔夜利率的幾何平均值交換。^[5]相關的隔夜利率來自一個由政府組織的銀行間拆借市場。在該市場上，有多餘儲備金的銀行可以將資金借給準備金不足的銀行。^[6]在美國，這一市場上的隔夜拆借利率也被稱作美聯儲基準利率（fed funds rate），每日的有效美聯儲基準利率由當日借入資金的銀行向借出資金的銀行支付的利率的加權平均求得，該利率用於OIS利率中的幾何平均計算。其他很多國家也存在類似的市場，例如，歐元區的歐元隔夜指數平均利率（Euro OverNight Index Average，Eonia）相當於美聯儲基準利率；類似的還有英國的英鎊隔夜指數平均利率（Sterling OverNight Index Average，SONIA）等。

如果在一段時間內，銀行以隔夜利率借入資金（每日將貸款和利息向前滾動），則銀行所付利息是基於隔夜利率在這段時間內的幾何平均。類似地，如果銀行以隔夜利率借出資金，所得利息是基於隔夜利率在這段時間內的幾何平均。因此，OIS將隔夜資金借入或借出和一個固定利率借入或借出互換。這一固定利率被稱為OIS互換利率。

OIS互換利率通常被認為是比LIBOR利率更好的對無風險利率的近似。銀行系統中一個重要的風險指標是LIBOR-OIS利差，這是3個月期限的LIBOR利率高出3個月OIS互換利率的值。正如我們討論過的，前者是一家銀行向另一家AA級銀行提供3個月期限的無抵押貸款的利率，而後者是銀行以美聯儲基準利率借入資金，然後通過利率互換將隔夜利率轉換為3個月固定利率。理論上銀行可以以3個月OIS利率借入資金，然後以3個月LIBOR利率借出給另一家AA級的銀行，因此LIBOR-OIS利差實際上是補償一家AA級銀行在3個月內可能破產的風險的信用價差。在正常的市場條件下，LIBOR-OIS利差小於10個基點（年平均）。該利差越大，說明銀行越因為擔心對手信用，而不願相互之間拆借。

圖9-1顯示了2002年1月～2017年6月LIBOR-OIS利差的狀況。在2007年8月前，LIBOR-OIS利差小於10個基點。2007年8月，因為美國房地產市場的問題開始顯現，銀行間逐漸不願意彼此拆借，所以該利差開始上升。2008年10月初，利差達到峰值364基點。1年後，又恢復到基本正常的水平。

圖9-1　3個月期限LIBOR-OIS利差，2002年1月～2017年6月

9.2.6　回購利率

和LIBOR與聯邦基金利率不同，回購利率是一種有擔保的利率。在一個回購交易中，持有有價證券的金融機構同意將該證券以一定價格賣出，並保證在將來以稍高的價格將其買回。金融機構實際上是得到了一筆貸款，這筆貸款的利息就是賣出和買回該證券的差價。由此算出的利率被稱為回購利率。

如果構造嚴謹，那麼回購交易的信用風險會很小。如果借貸方不履約，那麼借出方就可以把證券據為己有。如果借出方不履約，那麼證券的最初所有方就不用歸還借出方的現金。最常見的回購是隔夜回購，這種回購經常會日復一日地向前滾動。但是，期限更長的回購，即定期回購，有時也被使用。因為是有擔保的利率，所以回購利率通常會比LIBOR或聯邦基金利率低幾個基點。

[1] 在美國，1年期以內的短期國債被稱作treasury bill。treasury bill是一種零息債券，一般以低於面值的價格出售。1年以上的中期（2～10年）和長期（10年以上）國債分別被稱作treasury note和treasury bond。——譯者注

[2] 這是因為對本幣來說，政府總是能控制貨幣供應（也就是說，政府控制著自己的印鈔機）。即便如此，一國政府也是有可能對外幣債務違約的。另外，歐元區的國家政府也有可能對歐元債務違約。

[3] 以未來LIBOR值作為標的變量的歐洲美元期貨也可用來延伸LIBOR利率曲線。

[4] See P. Collin-Dufresne and B. Solnik, “On the Term Structure of Default Premia in the Swap and Libor Market,” Journal of Finance 56, no.3(June 2001):1095-1115.

[5] 隔夜利率的幾何平均的準確含義是隔夜利率加1的幾何平均值再減1（見業界事例4-1）。

[6] 央行要求商業銀行留存一定比例的客戶存款作為準備金，準備金不能被作為貸款發放。準備金可以以現金或者央行存款的形式存在。

9.3　利率久期

久期（duration）這一概念已經被廣泛地用來度量交易組合對於利率曲線的風險敞口。假設債券收益率為y，債券價格為B，債券的久期D的定義為

或等價於

ΔB=-DBΔy

其中Δy為債券收益率的一個小的變化，ΔB為相應債券價格的變化。因此債券久期用於衡量債券價格對收益率的敏感度。利用微積分中的符號，我們有

假定一個債券在t₁，t₂，…，t_n時刻給債券持有者提供的現金流為c₁，c₂，…，c_n（現金流包括券息和本金），債券收益率y是使得債券理論價格等於市場價格的貼現率。如果我們用v_i來表示現金流c_i以y為貼現率從時間t_i貼現到當前的值，則債券的價格可表示為

因此，債券久期D也可以定義為

式（9-3）括號中的項為t_i時刻的債券支付的現金流的貼現值與債券價格的比率。債券價格等於將來所有支付的本息貼現值的總和。因此式（9-3）中久期的定義方式是付款時間t_i的加權平均，而對應於t_i時刻的權重等於t_i時刻的現金流貼現值與債券總貼現值的比率（這裡的所有權重相加等於1），這一關係式給出了債券久期這一術語的出處。久期是指投資者收到現金流所要等待的時間。一個n年期零息債券的久期為n年，而一個n年帶息（coupon-bearing）債券的久期小於n年，這是因為國債持有者在第n年之前就已經收到部分現金付款。

如果式（9-1）中的債券收益率y以連續複利形式表示，則式（9-1）和式（9-3）是等價的（見作業題9.15）。

考慮某個面值為100美元、券息為10%的3年期債券。該債券連續複利的年收益率為12%，即y=0.12，每6個月付息一次，息值為5美元。表9-3顯示了有關債券久期計算的步驟，在計算中收益率代替貼現率，計算出的現值被呈現在表中的第3列（例如第一次付息的現值為5e^-0.12×0.5=4.709），第3列的數字之和等於債券價格94.213，由第3列中的數字除以94.213，我們可以得到久期的權重，第5列的數字之和等於久期，即2.653年。

表9-3　久期的計算

利率的微小變化通常用基點（basis point）來描述，1個基點對應於0.01%。以下例子驗證了當久期定義為式（9-3），且收益率以連續複利形式表示時，式（9-1）是正確的。

9.3.1　修正久期

式（9-3）定義的久期是由麥考利（Macaulay）在1938年首先提出的，因而這一久期被稱為麥考利久期（Macaulay’s duration），在收益率y為連續複利的前提之下，式（9-3）的定義與式（9-1）等價。由式（9-1）定義的久期，在其他複利的假設前提下，為了保證等價關係，我們必須對麥考利進行一個小的調整。如果y為一年複利一次的利率，則我們需要對式（9-3）中的久期D除以1+y；在更為一般的情況下，如果y為一年複利m次的利率，則式（9-3）中的久期D需要除以1+y/m（見作業題9.15）。對式（9-3）進行這一調整以後，所定義的久期被稱為修正久期（modified duration）。

【例9-2】　由表9-3描述的債券價格為94.213，久期為2.653。每年複利2次的收益率為12.3673%（見附錄A），修正久期為

由式（9-1），我們得出

ΔB=-94.213×2.498 5Δy

或

ΔB=-235.39Δy

當收益率（一年複利2次）增加10個基點（0.1%），即Δy=+0.001時，久期關係式預計債券價格變化ΔB為-235.39×0.001=-0.235，因此債券價格下降到94.213-0.235=93.978。當收益率（一年複利2次）增加10個基點，即對應收益率y=12.4673%（或連續複利收益率增加10個基點，即對應收益率為12.0941%）時，通過一個幾乎與前面的例子相同的計算，我們得出的債券價格為93.978。這一例子說明：當債券收益率變化較小時，修正久期計算公式非常精確。

9.3.2　絕對額久期

絕對額久期（dollar duration）等於修正久期與債券價格的乘積，如果D_＄代表絕對額久期，由式（9-1）得出

ΔB=-D_＄Δy

採用微積分的記號

久期為債券相對價格變化（即債券價格變化與債券價格的比率）與收益率變化建立了聯繫，而絕對額久期將債券價格變化與收益率變化建立了聯繫，絕對額久期類似於我們在第8章中討論的delta測度。

9.4　凸性

對於收益曲線一個較小的平行移動，久期可以度量組合價值的相應變化。圖9-2表明具有相同久期的兩個債券，它們的相對價格變化和收益率變化之間的關係可以不同。這兩個債券在起始點的導數（切線）相同。這意味著，當收益率有較小的變化時，兩個債券價值變化同收益率變化的百分比相同，這與式（9-1）一致。當利率變化較大時，兩個債券的表現就不一樣了。債券X的曲率比債券Y要大。一個被稱為凸性（convexity）的變量是用來度量曲線的凸凹變化的程度，它可被用來改善近似式的準確性。

圖9-2　兩個久期相同、凸性不同的債券

債券凸性的定義為

其中y對應於債券的收益率，以連續複利表示。債券凸性是將來收到現金流的時間平方的平均值，由附錄G的結論，我們可以得出關於債券價格的兩階近似式

由此

【例9-3】　由表9-3描述的債券B的價格為94.213，久期為2.653，凸性為

0.05×0.5²+0.047×1.0²+0.044×1.5²+0.042×2.0²+0.039×2.5²+0.779×3.0²=7.570

由式（9-4）得出

假設債券收益率由12%變為14%，即變化量為2%，久期公式預計債券價值變化將是-94.213×2.653×0.02=-4.999，凸性關係式預計變化為

-94.213×2.653×0.02+0.5×94.213×7.750×0.02²=-4.856

而證券價格的實際變化為-4.859。這個例子說明：當債券收益率變化較大時，凸性公式比久期公式更為精確。

絕對額凸性

絕對額凸性（dollar convexity）C_＄的定義與絕對額久期類似，它等於凸性與債券價格的乘積，這意味著

絕對額凸性類似於我們在第8章中討論的gamma測度。

9.5　推廣

到目前為止，我們採用了久期和凸性來檢測單一債券對利率的敏感度。久期和凸性可以被推廣到債券組合，或其他與利率相關的產品組合。我們將零息收益曲線的平行移動定義為將零息收益曲線上的所有點平行移動一個相同的數量（見圖9-3）。

圖9-3　零息利率的平行移動

假定P代表組合的價值，將零息收益曲線進行一平行移動，我們觀察到相應價格的變化為ΔP，久期被定義為

其中Δy為平行移動的變化量，^[1]式（9-5）等價為

假定組合由多種跟利率相關的資產組成，第i個資產價值為X_i，其對應的久期為D_i（i=1，2，…，n）。定義ΔX_i為收益率變化Δy時的X_i的相應變化量，定義，根據式（9-5），整個組合的久期為

關於第i項資產的久期，由以下公式給出

因此

這一公式說明投資組合的久期D是其構成資產久期的加權平均，權重等於構成資產與整體組合價值的比率。

交易組合的絕對額久期D_＄可被定義為交易組合的久期乘以組合的價值，即

絕對額久期是交易組合對於利率的delta，與利率有關的產品所組成的交易組合的絕對額久期等於交易組合的構成資產的絕對額久期的總和。

凸性的概念同樣也可以像久期那樣推廣。假定一個與利率相關的組合其價格為P，我們定義組合的凸性C為1/P乘以組合的價值對零息收益曲線平行移動二階偏導的乘積，將B替換為P，式（9-4）仍然正確

這個公式說明了組合的凸性與構成組合的資產的凸性關係。這一關係與久期的關係式相似，也就是說，組合的凸性等於構成資產的凸性的加權平均，其權重為構成資產價格佔整體組合價格的比率。當一個交易組合的久期為一個特定值時，如果現金流在一個較長的時間內有較為均勻的分佈，則交易組合的凸性會趨向最大，而當現金流侷限在一個時間點時，債券組合的凸性趨向最小。

價值為P的交易組合的絕對額凸性可被定義為P乘以組合的凸性。絕對額凸性給出了交易組合對利率的gamma。與利率有關的產品所組成的交易組合的絕對額凸性等於組合的構成資產的絕對額凸性的總和。

交易組合免疫

通過保證久期為0，我們可以使得一個與利率有關的交易組合（由空頭和多頭組成）價值不受收益曲線小規模平行移動的影響。保證久期及凸性均為0或者接近於0，我們可以使得交易組合價值不受收益曲線較大規模的平行移動的影響。

[1] 零息收益曲線平行移動Δy數量所引起的債券收益率的變動大約為Δy。

9.6　收益曲線的非平行移動

不幸的是，利率久期的關係式（9-6）只適用於利率曲線的平行移動，由久期和凸性所組成的關係式（9-7）雖適用於較大規模的利率變動，但變動形式仍應是平行移動。

9.6.1　局部久期

一些研究人員已經擴展了久期方法以使其適用於收益曲線的非平行移動。Reitano（1992）提出了一種局部久期度量方法。在這一方法中零息收益曲線只在局部一點變動，而收益曲線的其他點保持不變。^[1]例如，假定零息收益率由表9-4及圖9-4所示，將收益曲線上第5年所對應的點按圖9-5所示的形式進行移動。假定零息曲線上有n個點，交易組合對於收益曲線上第i點的局部久期D_i的定義為

其中P為交易組合的價值，Δy_i對應於收益曲線上第i個點的變動幅度，ΔP_i是所對應交易組合的價值變化量。所有局部久期的和等於通常意義下的整個久期。^[2]由於零息曲線第i個節點的變化Δy_i所觸發的組合價值的相對變化為-D_iΔy_i。

表9-4　某零息收益率曲線（利率為連續複利）

圖9-4　與表9-4對應的零息利率曲線

圖9-5　當某一點移動時零息收益率曲線的變化

假定表9-5顯示的是某交易組合的局部久期。整個交易組合的久期（各局部久期之和）僅僅為0.2，這說明交易組合對於收益曲線的平行移動並不是很敏感。但是從表中我們可以看到，對應於短期期限的久期為正，對應於長期期限的久期為負，這說明當短期利率上升（下降）時組合會有損失（收益），當長期利率上升（下降）時組合會有收益（損失）。

表9-5　某一投資組合的局部久期

我們現在可以進一步說明非平行移動對交易組合的影響，進一步計算投資組合價值對任何非平行移動變動的敏感性，定義一種旋轉方法，對應於1年、2年、3年、4年、5年、7年及10年的利率變動量為-3e、-2e、-e、0、e、3e及6e，這裡e為一個很小的值。圖9-6是此旋轉的圖形顯示。採用表9-5中的局部久期數據，我們得出由於收益曲線旋轉導致的交易組合價值的相對變化為

-［0.2×（-3e）+0.6×（-2e）+0.9×（-e）+1.6×0+2.0×e-2.1×3e-3.0×6e］=25.0e

對於曲線的一個小的平行移動e，交易組合價值的相對變化為-0.2e。這一結果顯示具有表9-5所示的局部久期的交易組合對於曲線旋轉的敏感性遠大於對平行移動的敏感性。

圖9-6　利率曲線的旋轉

在第9.5節中，我們解釋了通過將投資組合的價值乘以投資組合的久期，可以測度絕對額久期。類似地，局部久期是投資組合的變化率相對於期限結構一個頂點的微小變化的delta。

9.6.2　分段delta

局部久期的一種變形方法是，首先將收益曲線分成幾段或幾個區間（bucket），然後計算每一部分的變動對於交易組合的影響，在改變任意部分的利率時，要保證其他部分的利率不變。這種方法常常被應用於資產負債管理過程（見第9.1節），該管理方法也被稱為缺口管理（GAP management）。圖9-7將圖9-4所示的曲線中介於2年至3年的部分進行移動，類似於局部久期方法，所有部分的delta之和也等於DV01。

圖9-7　某區間的利率曲線變化

9.6.3　計算delta用於對衝

截至目前，我們考慮的敞口度量並不是為了方便對衝而設計的。考慮如表9-5所示的局部久期，假定我們打算用零息債券來對衝我們的交易組合，我們可以計算出1年期零息債券的頭寸來對衝2年期的利率變化。同樣我們也可以計算出2年期零息債券的頭寸來對衝2年期的利率變化，並依此類推。但是如果在對衝中採用其他工具，則對衝難度會大大增加。

在實踐中，交易員往往採用那些用於生成零息收益率曲線的產品來對衝他們的風險敞口。例如，在對衝時，一個政府債券交易員喜歡採用在市場上最活躍的，並被用來構造零息收益率曲線的政府債券。又如，當交易產品和LIBOR/互換曲線有關時，交易員更可能採用LIBOR存款、歐洲美元期貨以及互換交易等來對衝。

為了便於對衝分析，交易員常常測算那些用於構造零息收益率曲線的產品價格的微小變動對於交易組合的影響。當價格有微小變化時，零息收益率曲線會被重新產生，組合也會被重新定價。考慮某個負責交易利率上限期權（caps）以及利率互換期權（swap options）的交易員，假定對應於某一歐洲美元期貨報價的每一個基點變動，交易員的交易組合價格變化為500美元，而對應於一個基點價格變動，期貨價格變化為25美元，因此交易員可以採用20個期貨來對衝其風險；假定對應於5年期互換利率的一個基點變化，交易組合價格變化為4 000美元，而對應於這一5年期互換利率變化，一個5年期面值100萬美元的互換價格變化為400美元，因此交易員可採用一個面值1 000萬美元的互換來對衝其交易組合。

[1] See R. Reitano, “Nonparallel Yield Curve Shifts and Immunization,” Journal of Portfolio Management (Spring 1992):36-43.

[2] 當零息曲線的第i個點被移動而其他點不動時，這時的零息曲線是由被移動點和不被移動點的插值來生成的，如圖9-5所示。

9.7　主成分分析法

對於任意一個零息收益曲線，前面所述方法可能會要求分析員計算10～15個不同的delta。這看起來似乎有點小題大做，因為曲線上的變量相互之間是高度相關的。例如，曲線上5年期的收益率變化了若干基點，在大多數情況下，10年期的收益率變化也大致如此。當一個交易員在5年期有一個很大的正風險敞口，而對應於10年期有一個類似的負風險敞口時，此時該交易員不應該太擔心利率的變化。

一種可用來分析高度相關的市場變量的風險的方法是主成分分析法（principal component analysis），這種方法以市場變量的歷史變化數據為依據，並試圖從中找出解釋這些變化的主要成分或因素。

通過一個實例，我們可以更好地解釋這一方法。我們考慮的市場變量是期限為1年、2年、3年、4年、5年、7年、10年和30年的8個不同的互換利率，表9-6及表9-7顯示了基於2000～2011年2780個交易日的觀察數據產生的結果。表9-6中第1列顯示了利率期限，表中其他列顯示出描述利率變化的8個因子（主要成分）。第1個因子對應於利率曲線變化的平行移動，這一因子是表中的PC1。一個單位的PC1對應的1年期利率增加量為0.216基點，2年期利率的增加量為0.331個基點，依此類推；第2個因子位於PC2列，這一因子對應於收益率曲線的扭動（twist）或曲線坡度的變化，1～4年期利率變化為同一方向，5～30年期利率變化為另一方向；第3個因子PC3對應於利率曲線弓伸（bowing）現象，對應於這一因子，短期（1～2年）及長期利率（10～30年）朝同一方向移動，而中期利率會朝另一相反方向移動。因子所對應的利率變動被稱為因子載荷（factor loading）。在我們的例子中，對於1年期利率，第1個因子的因子載荷為0.216。^[1]

表9-6　互換利率的因子載荷

表9-7　因子得分的標準差

我們的分析涉及8個利率變量以及8個因子，通過對一線性8元方程求解，可以將任意一天的利率變化表達為變化因子的線性組合，任意一天的利率變化對應某一因子的係數也被稱為這一天利率變化的因子得分（factor score）。

因子的重要性是通過因子得分的標準差來反映的，我們將例子中因子得分的標準差列在表9-7中，並按重要程度進行排列。在分析中，利率變動的計量單位為基點。因子的單位是標準差。因此第一個因子對應的1年期利率變動為0.216×17.55=3.78個基點，2年期利率變動為0.331×17.55=5.81個基點，依此類推。

用來計算表9-6和表9-7中結果的軟件可以在作者的網頁上找到。計算過程在附錄I中做了說明。主成分分析法是一個標準的統計工具。要進行主成分分析，第一步需從觀測中計算出一個方差-協方差矩陣（見第14章關於方差-協方差矩陣的討論）。在我們的例子中，該方差-協方差矩陣有8行8列，其中第1行第1列對應的是1年期利率日變動量的方差，第1行第2列對應的是1年期利率和2年期利率日變動量的協方差，依此類推。因子載荷是由該矩陣算出的特徵向量，而因子得分是由該矩陣算出的特徵值（對特徵值和特徵向量的解釋見附錄H）。

因子具有的一個性質是因子得分沒有相關性。在我們的例子中，第1個因子得分（平行移動數量）與第2個因子得分（扭動數量）在2 780個觀察日內相互獨立。因子得分的方差滿足以下性質：其和等於整個數據的方差。由表9-7得出，數據的整體方差（也就是1年期利率的觀察值的方差，2年期利率的觀察值方差等）為

17.55²+4.77²+2.08²+…+0.53²=338.8

由此可以看到第1個因子解釋了17.55²/338.8=90.9%的原始數據的變化；前兩個因子解釋了（17.55²+4.77²）/338.8=97.7%的數據變化；第3個因子又進一步解釋了1.3％的數據變化。這說明，大部分利率變化中的風險可以由前兩個或前三個因子來解釋，這意味著我們可以將利率產品組合的風險同這些主要因子聯繫起來，因此我們並不需要考慮所有8個不同的利率。我們在圖9-8中畫出了表9-6所示的三個最重要的因子。^[2]

圖9-8　驅動利率變化的三個最重要因素

應用主成分分析法來計算delta

主成分分析法給計算delta提供了又一種有效的途徑。為了說明這一點，假定我們擁有一個交易組合，其對於利率變化的敞口如表9-8所示。3年期利率變化一個基點觸發組合價值增加量為1000萬美元；4年期利率變化一個基點觸發組合價值增加量為400萬美元等。如果我們採用前兩個最重要因子來模擬利率變化（如前所述，這兩個因子解釋了97%的利率變化），應用表9-6中的數據，我們算出第1個因子的delta敞口（對於每一個因子得分的一個基點變動所觸發的以百萬美元為單位的變動數量）為

10×0.372+4×0.392-8×0.404-7×0.394+2×0.376=+0.05

及第2個因子的delta敞口為

10×（-0.267）+4×（-0.110）-8×0.019-7×0.194+2×0.371=-3.88

表9-8　與一個基點利率變化相對應的交易組合價值變化　（百萬美元）

這裡的計算方法與第9.6節所描述的用局部久期來解釋非平行移動的方法相似。應用主成分分析法的優點是，這種方法會告訴你利率的哪種不同變化形式更為重要。在剛才的例子中，我們看到交易組合對於第2種利率變化的敞口是對於第一種變化敞口的80倍；但是，基於表9-7，第1種變化的標準差是第2種變化的標準差的3.7倍。某因子對於一個特定的交易組合的重要性可以通過delta敞口與因子得分的標準差的乘積來衡量。採用這個方法，對錶9-8中的交易組合，第2個因子的重要性是第1個因子的20倍。

[1] 因子載荷有一個性質：所有載荷因子的平方之和為1.0。另外，要注意，如果所有因子載荷的符號發生變化，因子不變。

[2] 將主成分分析法應用於任何一個國家的任意一收益曲線所得出的主要因子含義及解釋整體風險的數量與這裡陳述的結論基本相同。

9.8　gamma和vega

對應幾個不同利率的delta，會產生許多不同的gamma。假定在一個收益曲線的構造中涉及了10個金融產品，我們在此想測算交易組合對於每一種產品的敏感性。gamma是指交易組合價格對於基礎變量的二階偏導數∂²P/（∂x_i∂x_j），其中P為交易組合的價格。對於x_i及x_j，我們有10種不同的選擇，因此我們會有55個不同的gamma項。對所有這些值進行計算及監控，會造成“信息超負荷”（information overload）。一種變通的方法是忽略交叉項，因此我們只關心在i=j時10個gamma項。另外一種做法是將gamma定義為交易組合價值對於零息收益曲線平行移動的兩階導數，此時的gamma項是單一變量。還有一種選擇是計算交易組合價值對於主成分分析中的前兩個主要因子的gamma項。

一個利率產品交易組合的vega用來度量交易組合價值對於波動率的敞口。不同的利率衍生產品定價需要採用不同的波動率。一種測算波動率對組合價值影響的辦法是以相同數量來擾動所有的波動率，然後重新計算組合價值。另外一種辦法是採用主成分分析法，在主成分分析法中我們需要計算出能夠反映不同產品（如上限、下限、債券期權等）的波動率變化的主要因子。然後我們可以計算出對應於前兩個或三個主要因子的vega數量。

小結

銀行的淨利息收入來源於利息收入與費用之差，現在銀行已建立了較為完善的資產負債管理程序以使得淨利息收入在不同年度會保持相對穩定。

在世界範圍內，LIBOR是一種決定浮動貸款利率的重要參考利率。LIBOR利率是一個AA級公司短期的融資利率。一個完整的LIBOR曲線由LIBOR、歐洲美元期貨及互換利率計算得出。由LIBOR曲線得出的在將來某一時間段的遠期利率是在該時間段開始時，信用為AA級公司的短期貸款利率，而不是今天AA級公司的短期貸款利率。傳統上，大多數金融機構將LIBOR/互換利率結構曲線作為對無風險利率曲線的近似。但現在，隔夜指數互換利率已經取代LIBOR成為無風險貼現利率。

在利率市場中，久期是一個重要概念。久期衡量交易組合價格對零息收益率曲線平行變化的敏感度。我們有以下近似等式

ΔP=-PDΔy

其中P為交易組合價值，D為組合價值的久期，Δy為零息曲線平行移動的微小變量，ΔP是由Δy產生的組合價值變化。另外，一個更為精確的關係式為

其中C為組合的凸性，這一關係式在收益曲線有一個較大的平行移動時仍然成立。但是，該關係式不適用於收益曲線的非平行移動。

為了量化利率曲線在不同時間的不同變化對投資組合的影響，我們需要引入幾種不同的久期及敏感度，其定義有多種方法。主成分分析法給計算多項敏感度提供了另一種有效的方法。它表明，實際中的收益曲線變化在很大程度上是二類或三類典型變化的線性迭加。假如一個交易組合管理人員對於這些典型變化進行了對衝，他通常也對實際中可能發生的曲線變化進行了很好的對衝。

延伸閱讀

練習題

9.1　假設銀行有一個50億美元1年期貸款及一個200億美元5年期貸款，支撐這些資產的負債分別為150億美元1年期及100億美元5年期存款。請陳述一下如果在今後3年中每年利率均增長1%，淨利息收入會受到什麼樣的影響。

9.2　為什麼通常長期利率會高於短期利率？在什麼情形下長期利率會低於短期利率？

9.3　為什麼美國國債利率遠低於無風險投資利率？

9.4　解釋隔夜指數互換是如何運作的。

9.5　為什麼說LIBOR-OIS利差是金融市場狀況的一個重要指標？

9.6　久期可以告訴你債券價格同利率變化之間有什麼樣的敏感關係？久期的侷限性是什麼？

9.7　一個年收益率為11%（連續複利）的5年期債券在每年年底支付8%的票息：

（a）債券價格為多少？

（b）債券久期為多少？

（c）運用久期公式來說明幅度為0.2%的收益率下降對債券價格的影響。

（d）重新計算年收益率為10.8%時債券的價格，並驗證計算結果同（c）的一致性。

9.8　假定收益率為一年複利一次，重複練習題9.7的計算，在計算中請採用修正久期公式。

9.9　一個6年期的債券的連續複利收益率為4%，此債券在每年的年底支付5%票息，利用久期及凸性公式來計算說明1%的收益率上升對債券價格的影響。公式計算的準確性如何？

9.10　請說明三種計算多變量delta並以此管理收益曲線非平行移動的辦法。

9.11　估算由表9-5定義的交易組合對於表9-6中前兩個因素的delta。

9.12　利用表9-5的數據來計算利率曲線的變動對一個價值為1 000萬美元的交易組合的影響，利率曲線的變動為利率曲線1年、2年、3年、4年、5年、7年和10年的利率分別增加10個、8個、7個、6個、5個、3個和1個基點。

9.13　如何定義絕對額久期和絕對額凸性？

9.14　以下關於交易組合的變量的關係是什麼？（a）久期；（b）局部久期；（c）DV01。

作業題

9.15　證明：（a）當y為連續複利時，式（9-1）和式（9-3）是等價的；（b）當y為每年複利m次時，將式（9-3）右邊除以1+y/m後，二者仍是等價的。

9.16　假定某銀行有100億美元1年期及300億美元5年期貸款，支撐這些資產的是分別為350億美元1年期及50億美元5年期的存款。假定銀行股本為20億美元，而當前股本回報率為12%。請估計要使得下一年股本回報率變為0，利率要做怎樣的變化？假定銀行稅率為30%。

9.17　組合A由一個1年期、面值為2 000美元的零息債券及一個10年期、面值為6 000美元的零息債券組成。組合B由5.95年期、面值為5 000美元的債券組成，當前所有債券年收益率為10%（連續複利）。

（a）證明兩個組合有相同的久期。

（b）證明如果收益率上升0.1%，兩個組合價值的百分比變化是相等的。

（c）如果收益率上升5%，兩個組合價值的百分比變化為多少？

9.18　作業題9.17中的交易組合的凸性為多少？久期以及凸性在多大程度上解釋了在作業題9.17（c）中組合價值的百分比變化？

9.19　假定表9-5為對局部久期的估計，解釋以下曲線移動的效果：10年利率保持不變，1年利率增加9e，1年與10年之間利率變化由0與9e之間的線性插值得出。從第9.6節中計算出的利率旋轉的結果中，如何算出本題的答案？

9.20　假設收益曲線上1年、2年、3年、4年、5年、7年、10年和30年的不同期限的利率分別增長一個基點時，交易組合價值變化分別為+5、-3、-1、+2、+5、+7、+8和+1（以百萬美元計）。估算交易組合對於表9-6所示的前三個因子的變化率，並將這三個因子對該組合的重要性進行量化。

第10章
波動率

對與組合價值相關的市場變量（如利率、匯率、股票價格、商品價格等）的波動率進行監控，對於金融機構來講至關重要。這一章將討論實現此目標所需的步驟。

在本章的開始，我們首先定義波動率。一個較為流行的假設是認為市場變量的百分比回報服從正態分佈，我們將對這一假設進行討論並展示另一種方法，即冪律分佈法。在這之後我們將介紹一些名稱看上去很“高大上”的估計波動率的方法，例如指數加權移動平均（exponentially weighted moving average，EWMA）、自迴歸條件異方差（auto-regressive conditional heteroscedasticity，ARCH）以及廣義自迴歸條件異方差（generalized auto-regressive conditional heteroscedasticity，GARCH）等方法。這些方法的一個顯著特點是它們都不把波動率設為常數。在某些時間段內波動率變化可能很小，而在其他時間段內變化可能很大，這些方法試圖跟蹤波動率隨時間的變化。

10.1　波動率的定義

某個變量的波動率σ定義為這一變量在單位時間內連續複利回報率的標準差（見附錄A關於複利的討論）。當波動率被用於期權定價時，時間單位通常定義為1年，因此波動率就是1年的連續複利回報率的標準差。但當波動率被用於風險控制時，時間單位通常是1天，此時的波動率對應於連續複利的日回報率的標準差。

定義S_i為一個變量在日期i結束時的值，則該變量連續複利的日回報為

這與下式基本相等

因此，日波動率的另外一種定義是變量的日相對變化的標準差。這個定義也是風險管理中常用的定義。

如果我們假設，每日的回報是相互獨立的且具有同樣的方差，則T天的回報的方差為T乘以每日回報方差的積。這意味著，T天回報的標準差是日回報標準差的倍。這和“不確定性隨時間長度的平方根增長”這一法則是一致的。

10.1.1　方差

風險管理人員常常關心方差而不是波動率。方差被定義為波動率的平方。年方差對應於變量在1年內連續複利變化的方差。在時間T內變化的標準差與時間的平方根成正比，而方差與時間成正比。嚴格來講，我們應該說方差對應於每天的變化，而波動率對應於每天的平方根的變化。

10.1.2　交易天數與日曆天數

在計算波動率時，會產生以下的問題：我們應該採用日曆天數還是交易天數？如業界事例10-1所示，研究人員已經證明在交易所營業日的波動率比在交易所非營業日的波動率要大很多，因此當由歷史數據估計波動率時，分析員常常忽略週末和節假日，在計算時通常的假定是每年有252個交易日。

設σ_yr為某一資產的年波動率，σ_day為相應的每天波動率。假設連續交易日的回報是獨立的，並有相同的標準差，這意味

或

以上關係式說明，日波動率大約為年波動率的6%。

10.2　隱含波動率

儘管風險管理人員通常從歷史數據中計算波動率，但他們也會計算和跟蹤隱含波動率（implied volatility）。布萊克-斯科爾斯-默頓期權定價公式中唯一不能直接觀察到的參數就是股票價格的波動率（見附錄E）。隱含波動率是將市場上的期權價格代入公式後反推計算出的波動率。

VIX指數

芝加哥期權交易所（CBOE）會發布隱含期權指數。最流行的指數VIX由標準普爾500指數上大量30天期限的看漲和看跌期權來計算求得。^[1]在VIX上的期貨交易是從2004年開始的，而在VIX上的期權交易是從2006年開始的。涉及標準普爾500指數的期貨或期權在將來的標準普爾500指數水平以及標準普爾500指數波動率兩方面下注。與此相反，VIX上的期貨或期權只在波動率上下注。一份合約是指數的1 000倍。

圖10-1顯示了2004年1月～2017年6月的VIX指數。2004～2007年年中，指數基本保持在10～20。在2007年下半年，指數達到30；在雷曼兄弟破產後，指數在2008年10月和11月達到了破紀錄的80。在2010年早些時候，指數已經恢復到比較正常的狀態，但隨後因為市場的不確定性指數又再次升高。有時，市場參與者也把VIX指數稱作“恐慌指數”。

圖10-1　2004年1月～2017年6月的VIX指數

[1] 與其類似，VNX是NASDAQ 100指數的波動率指數，VXD是道瓊斯工業指數的波動率指數。

10.3　金融變量的每日變化量是否服從正態分佈

當通過波動率來計算市場變量變動的置信區間時，一個常用的假設是市場變量服從正態分佈。這也是在例10-1和例10-2中我們採納的假設。在實際中，大多數金融變量的值發生較大變化的可能性比正態分佈所給出的要大。表10-1顯示了用10種匯率在2005～2015年10年期內的日變化量來檢驗其是否符合正態分佈的結果。這10種匯率分別是美元與下列貨幣之間的匯率：澳元、英鎊、加拿大元、丹麥克朗、歐元、日元、墨西哥比索、新西蘭元、瑞典克朗和瑞士法郎。編制該表的第一步是計算每種匯率的日百分比變化的標準差，第二步是計算有多少百分比變化超過1個標準差、2個標準差，等等。將這些數字與正態分佈上對應的數字進行比較。

表10-1　價格比例變化大於1，2，…，6個標準差的天數佔全部觀察日數的比例（S.D.=價格比率變化的標準差）

每天價格百分比變化超過3個標準差的個數佔所有觀察數據的比例為1.30%，而正態分佈所對應的比例只是0.27%。每天價格百分比變化超出4個、5個以及6個標準差的天數佔整個觀察日的比例分別為0.49%、0.24%以及0.13%，而正態分佈認為這些事件幾乎不可能發生。因此，表10-1提供了實際中的匯率變化比正態分佈的預測存在更肥大尾部的證據。

當對回報採用連續複利時，多日的回報等於其中每日回報的和。如果每日回報服從相同的非正態概率分佈，那麼統計學上的中心極限定律給出的結論是：多日的回報服從正態分佈。實際上，連續多日的回報並不服從同一個分佈（其中一個原因是，波動率並不為常數。我們會在本章的後面討論這個問題）。因此，較長觀察期內的回報以及每日回報的分佈都會呈現肥大的尾部。業界事例10-2指出，如果你早在1985年做了這一分析，你將如何賺大錢。

圖10-2　正態分佈與某肥尾分佈的比較

注：這裡的兩個分佈具有同樣的期望值及標準方差。

圖10-2比較了一個典型的肥尾分佈（例如匯率分佈）與一個具有同樣期望值及標準差的正態分佈。^[1]肥尾分佈比正態分佈的峰值要高。在圖中我們可以看到這兩種分佈有3處不同，分別是中間部分、尾部以及介於中間及尾部的過渡部分。當從正態分佈轉移到肥尾分佈時，概率密度圖形的腰部向中央及兩尾部移動。我們在考慮市場變量的百分比變化時，肥尾分佈所對應的極大及極小變化事件的數量要比在正態分佈中相應的數量多，而相應過渡部分事件數量會少。

[1] 峰度（kurtosis）度量分佈尾部的大小。肥尾（leptokurtic）分佈比正態分佈的尾部要肥大，輕尾（platykurtic）分佈比正態分佈的尾部要瘦小，同尾（mesokurtic）分佈同正態分佈的尾部大小相等。

10.4　冪律

冪律（power law）提供了正態分佈假設外的另一種方法。冪律指出，實踐中的許多變量的值，例如v，當x很大時，以下的關係式近似成立

Prob（v>x）=Kx^-α

（10-1）

其中K及α為常數。上式已經被證明在許多情形下近似成立，這裡的變量可能是指個人的收入、城市的大小或者網頁每日被點擊的次數等。

由式（10-1），我們可以得出

ln［Prob（v>x）］=lnK-αlnx

我們因此可以畫出ln［Prob（v>x）］與lnx的關係曲線來快速檢驗等式的正確性。為了將這一過程應用於表10-1中的數據，我們將v定義為匯率在一天內變化的標準差數量。

lnx和ln［Prob（v>x）］的價值在表10-2中進行了計算，圖10-3顯示了表10-2的數據。當x≥2時，匯率變化大於x個標準差的概率的對數近似和lnx呈線性關係，這說明了冪律的正確性。當x=3，4，5，6時，利用迴歸得出最佳匹配曲線為

ln［Prob（v>x）］=-0.735-3.291ln（x）

表10-2　由表10-1所得出的數值

參數K和參數α的估計為：K=e^-0.735=0.479，以及α=3.291。一個大於4.5倍標準差的增量的概率為

0.479×4.5^-3.291=0.003 40

變化大於7倍標準差的概率為

0.479×7^-3.291=0.000 794

在第13章討論極值理論時，我們將會較為正規地討論冪律以及給出更好的參數估計方式。在第23章中，我們將討論如何將冪律用於對操作風險進行檢測。

圖10-3　匯率變化超過若干標準差的概率的log-log圖

注：其中v是以標準差為度量的匯率變化量。

10.5　監測日波動率

定義σ_n為第n-1天結束時所估計的市場變量在第n天的波動率，相應的方差為。假定市場變量在i天天末的價格為S_i。定義u_i為第i天連續複利收益率（第i-1天天末至第i天天末的收益），於是有

一種估計σ_n的方法是令其等於u_i的標準差，利用u_i最近m天的觀察數據和標準差的一般公式，我們得出

其中為u_i的平均值

【例10-5】　表10-3顯示了股票價格的一個可能的序列。假設我們希望根據前20天對u_i的觀察數據估計第21天的波動率，即n=21，m=20。在本例中，根據式（10-2）計算得出的日回報的標準差的估計值為1.49%。

表10-3　用來計算波動率的數據

式（10-2）的以下幾種變形常常被用於風險管理過程之中。

（1）如第10.1節中介紹的，u_i被定義為市場變量在第i-1天天末與第i天天末的價格百分比變化

這種計算方式與前面計算u_i的方式差別不大。

（2）被假設為0：這種假設的前提是因為每一天市場變化期望值遠遠小於市場變化的標準差。^[1]

（3）m-1被m代替：這種做法將我們的波動率從無偏差估計轉換為最大似然估計（見第10.9節）。

以上三個變形會使得方差公式簡化為

其中u_i由式（10-3）給出。

【例10-6】　再次考慮例10-5，當n=21，m=20時

於是由式（10-4）

σ_n=0.014 618或1.46%。與例10-5相比變化很小。

加權方法

式（10-4）為所有項賦予了相等的權重。我們的目標是估計第n天的波動率σ_n水平，因此賦予較新的數據更高的權重就具有合理性。一種這樣做的模型為

變量α_i為i天前的觀察值所對應的權重，所有的α均為正。如果我們在對α賦值時保證在i>j時α_i<α_j，數據越久，所獲得的權重就會越低。所有權重之和必須為1，即

對於式（10-5）的理念，我們還可以做進一步擴展。假設存在某一長期平均方差，我們在考慮分配權重時，也應該將此均值考慮在內。這種擴展對應於以下模型

其中V_L為長期方差，γ為V_L所對應的權重，權重之和仍為1，我們有

此模型被稱為ARCH（m）模型。這一模型最先由恩格爾（Engle）提出。^[2]在這一模型中，方差的估計值與長期平均方差以及m個觀察值有關，觀察數據越陳舊，所對應的權重越小。令ω=γV_L，我們可以將式（10-6）寫為

在接下來的兩節中，我們將討論兩種測算波動率的重要方法，這兩種方法均採用了式（10-5）及式（10-6）中的理念。

[1] 即使在我們所觀察的m天中，變量值增大或減小的速度非常快，這一假設也基本上是成立的。

[2] See R. F. Engle, “Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of U. K. Inflation,” Econometrica 50(1982):987-1008.羅伯特·恩格爾因對ARCH模型的貢獻而獲得2003年諾貝爾經濟學獎。

10.6　指數加權移動平均模型

指數加權移動平均模型（EWMA）是式（10-5）的一個特殊形式，其權重α_i隨著回望時間的加長而按指數速度遞減。這一模型的特殊形式為α_i+1=λα_i，其中λ是介於0與1之間的某一常數。在以上特殊假設下，更新波動率的公式變得非常簡潔

第n天波動率σ_n（在第n-1天天末估算）由第n-1天波動率σ_n-1（在第n-2天天末估算）及最近一天價格變化率u_n-1的數據來決定。

為了說明式（10-8）的權重以指數速度下降，我們將式（10-8）所算出的代回式（10-8）之中

即

代入項，我們進一步得出

依此類推，我們得出

當m很大時，小到可以忽略，所以當α_i=（1-λ）λ^i-1時，式（10-8）與式（10-5）等價。對應於u的權重以λ速度遞減，每一項的權重是前一項權重與λ的乘積。

【例10-7】　假如λ為0.90，對應於第n-1天由市場變量所估測的波動率為每天1%。在第n-1天，市場變量增加了2%，這意味著以及，由式（10-8），我們得出

因此，第n天波動率σ_n的估計為，即每天1.14%。注意的期望值為，也就是0.000 1，這一例子中，所對應的實際值比期望值要大，因此我們對於波動率的估計會增大。當的實際數值小於期望值時，我們對於波動率的估計值會減小。

EWMA方法的一個非常好的特性是該方法需要的數據相對較少。對於任一時刻，我們只需要記憶對當前方差的估計以及市場變量的最新觀察值。當我們得到市場變量的最新觀察值後，我們可以計算每天價格變化的比例，進而採用式（10-8）更新我們對方差的估計，這時更早的方差估計以及更早的市場變量數據可以被捨棄。

EWMA方法的出發點是對波動率進行跟蹤監測。假定市場在n-1天有一個較大的變化，那麼也較大，由式（10-8）可以看出，這時對當前波動率的估計會增加。數值λ決定了當前估算出的日波動率估計對於最新市場變量日百分比變化的靈敏度。在計算σ_n時，對項，一個較低的λ會對應一個較大的權重。在這種情形下，對接下去幾天的波動率的估計本身就會有很大波動，而當λ較大時（接近於1），估算出的波動率對於新的日百分比變化率信息的反應會較為遲鈍。

由摩根大通建立並在1994年發佈的RiskMetrics數據庫中，採用λ=0.94來更新每天波動率估計。摩根大通發現對許多市場變量，這一選定的λ值生成的方差預測與實際方差非常接近。^[1]2006年以後，RiskMetrics更換了模型，轉而採用一個長記憶模型（long memory model）。相比EWMA模型，在新模型中隨i的增大，賦予項的權重衰減得要慢。

[1] See JPMorgan, RiskMetrics Monitor, Fourth Quarter, 1995.在這一章中我們採用另一種方法（最大似然估計）來估計參數，某一天實際的方差是對連續25天的數據實施等權重平均計算得出的（見作業題10.20）。

10.7　GARCH（1，1）模型

我們現在討論由Bollerslev在1986年提出的GARCH（1，1）模型。^[1]GARCH（1，1）模型與EWMA模型的不同類似於式（10-5）與式（10-6）的不同。在GARCH（1，1）中，是由長期平均方差V_L、u_n-1及σ_n-1計算得出的，GARCH（1，1）表達式為

其中γ為對應於V_L的權重，α為對應於的權重，β為對應於的權重，因為權重之和為1，我們有

γ+α+β=1

EWMA模型是GARCH（1，1）模型對應於γ=0、α=1-λ及β=λ的特例。

GARCH（1，1）模型中的“（1，1）”代表是基於最近的u²的觀察值以及最新的方差的估計而得到的。在廣義的模型GARCH（p，q）中的是從最近p個u²的觀察值及q個最新的有關方差的估計而計算得到的。^[2]到目前為止，GARCH（1，1）是最流行的一種GARCH模型。

令ω=γV_L，我們可以將GARCH（1，1）模型寫成

這種模型的表達形式是為了估計參數。當ω、α及β被估算出後，我們可由γ=1-α-β來計算γ，長期方差V_L=ω/γ。為了保證GARCH（1，1）模型的穩定，我們要求α+β<1，否則對應於長期方差的權重會為負值。

【例10-8】　假設某一個由每天觀測數據估算出的GARCH（1，1）模型為

這對應於α=0.13、β=0.86以及ω=0.000 002。γ=1-α-β=0.01，ω=γV_L，得出V_L=0.000 2。換句話講，由模型隱含出的長期平均日方差平均為0.000 2，對應的波動率為，即每天1.4%。

假設對應於n-1天的日波動率估算值為1.6%，因此，又假設n-1天市場價格降低1%，即，因此

對於波動率的最新估計為，即每天1.53%。

權重

對式（10-10）中的進行替換，我們可得

即

替換，我們得到

以這種形式繼續下去，我們可以看到對應於的權重為αβ^i-1，權重以β指數速度下降，參數β可被解釋為衰減速度（decay rate），這與EWMA中的λ係數近似。在決定最新方差時，此係數決定了不同u_i的重要性。例如，如果β=0.9，說明的重要性只是的重要性的90%，的重要性只是的重要性的81%，依此類推。GARCH（1，1）與EWMA模型類似，其不同之處是在對過去的u²賦予指數衰減權重的同時，對於長期平均波動率也賦予了某種權重。

[1] See T. Bollerslev, “Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity,” Journal of Econometrics 31(1986):307-327.

[2] 有人已經提出反映公司非對稱信息的GARCH模型，在這些模型設計中，σ_n與u_n-1的符號有關。在某種意義上，這些模型比GARCH（1，1）更適合股票，這是因為股票的波動率常常與價格有反向關係，因此一個符號為負的u_n-1比一個符號為正的u_n-1對於σ_n的影響更大。關於處理非對稱信息的模型，讀者可參考D. Nelson, “Conditional Heteroscedasticity and Asset Returns: A New Approach,” Econometrica 59(1990):347-370 and R. F. Engle and V. Ng, “Measuring and Testing the Impact ofNews on Volatility,” Journal of Finance 48(1993):1749-1778。

10.8　模型選擇

在實踐中，方差值常常會被拉回到長期平均值水平，這種現象被稱為均值迴歸（mean reversion），我們曾在第7.5節中討論過。GARCH（1，1）模型有均值迴歸的特性，而EWMA沒有均值迴歸特性，從理論上講，GARCH（1，1）比EWMA有更好的特性。

在下一節中，我們將討論如何估計GARCH（1，1）中ω、α、β等的最佳匹配參數。當參數ω為0時，GARCH（1，1）退化為EWMA，在某些場合，最佳匹配參數ω為負，這時對應的GARCH（1，1）模型不穩定，此時採用EWMA模型更為合理。

10.9　最大似然估計法

現在是個很好的時機討論如何應用歷史數據來估計我們以上討論模型的參數，將要討論的方法被稱為最大似然法（maximum likelihood method）。在參數估算過程中，這一方法會涉及選擇合適的參數以使得產生所觀測到的數據的概率達到最大。

為了解釋這個方法，我們引用一個簡單的例子，隨機地抽取某一天10只股票的價格，我們發現其中一隻股票的價格在這一天下降了，而其他9只股票的價格或有所增加或至少沒有下跌，這裡我們要問，當天一隻股票價格下降的概率最好估計為多少？答案是0.1，讓我們看一下這一結果是否就是最大似然估計所給出的結果。

將任意股票價格下降的概率計為p，對應只有一隻股票價格下降，而其他股票價格不下降的概率為p（1-p）⁹（p對應於一只股票的概率，而其他9只股票中任意一隻股票不下降的概率為1-p），應用最大似然估計法，最好的估計值^[1]是會使得p（1-p）⁹取得最大值。將以上表達式對p求導，並令導數為0，我們得出時會使得表達式取得最大值，這說明最大似然估計值正如期望的那樣為0.1。

10.9.1　估計常數方差

在下一個有關最大似然估計法的例子中，我們考慮如何由服從正態分佈，並且期望值為0的變量X的m個觀察值來估計這一變量的方差。我們假定觀察值為u₁，u₂，…，u_m，其對應的期望值為0，將方差記為v。觀察值出現在X=u_i的概率等於X的概率密度函數在u_i的取值，即

m個觀察值正好為u₁，u₂，…，u_m的概率為

應用最大似然法，v的最好估計使得以上表達式達到最大值。

以上表達式的最大化與其對應的對數最大化等價，對式（10-11）取對數並且忽略常數項，我們得出將被最大化的目標函數為

或

將以上表達式對v求導，並令導數為0，我們可以看到v的最大似然估計量為

最大似然估計正是式（10-4）的估計式，而獲得無偏差估計值只需要將m替換為m-1。

10.9.2　估計GARCH（1，1）或EWMA模型中的參數

我們現在考慮如何用最大似然法來估計EWMA、GARCH（1，1）或其他波動率的方法中的參數。定義為第i天的方差的估計。假設在方差給定的條件下，u_i的條件概率分佈為正態分佈。與上一節類似，我們得出最佳匹配參數應使得以下表達式最大化

對這一表達式取對數，得出以上表達式最大化與以下表達式最大化等價

除了v被代替為v_i，這一表達式與式（10-12）相同，我們可以採用迭代法來求取使得以上表達式達到最大化的解。在模型中迭代地尋找能最大化表達式（10-13）的參數很有必要。

表10-4中所示的計算表顯示出GARCH（1，1）模型中的參數估算過程，這一表格採用了2005年7月18日～2010年8月13日標準普爾500指數的數據。^[2]

表中報告的數字是對GARCH（1，1）模型中3個參數ω、α及β的估計，表中第1列對應於日期，第2列對應天數，第3列顯示了在第i天結束時的標準普爾500指數價格S_i，第4列顯示了由第i-1天結束時至第i天結束時價格的百分比變化，即u_i=（S_i-S_i-1）/S_i-1，第5列是對在第i-1天天末所做的第i天的方差的估計，。對於第3天，我們將方差設為。在接下去的每一天，我們採用式（10-10）來估計方差，第6列顯示了可能性測度。第5列及第6列中的值是基於參數ω、α及β的當前值計算得出的。我們的目標是如何選取ω、α及β以使得第6列的和達到最大值，這一過程涉及迭代搜索。^[3]

表10-4　使用2005年7月18日～2010年8月13日標準普爾500指數數據估計GARCH（1，1）模型中的參數

在我們的例子中，參數對應的最佳解為

ω=0.000 001 346 5，　α=0.083 394，　β=0.910 116

式（10-13）的最大值為10 228.234 9（在表10-4中所顯示的數字對應於參數ω、α及β的最終迭代解）。

在我們的例子中，長期方差V_L為

長期波動率為，也就是每天1.440 4%。

圖10-4和圖10-5顯示了該數據涵蓋的5年期內的標準普爾500指數以及由GARCH（1，1）所計算的波動性。在大多數時間，每天的波動率小於2%，但在金融危機期間，某些天的波動率超過了5%（同期VIX指數也顯示了較高的波動率，參見圖10-1）。

圖10-4　標準普爾500指數，2005年7月18日～2010年8月13日

圖10-5　標準普爾500指數的GARCH（1，1）日波動率，2005年7月18日～2010年8月13日

估計GARCH（1，1）參數的另外一種更穩健的方法是所謂的方差目標法（variance targeting）。^[4]這種方法將長期平均方差V_L設定為由數據計算出的抽樣方差（或其他合理的估計）。因為ω的值等於V_L（1-α-β），所以模型只需要估測兩個參數。表10-4的數據所對應的抽樣方差為0.000 241 2，每天的波動率為1.553 1%。令V_L等於抽樣方差，我們可以找出使得目標函數式（10-13）達到最大化的α及β，分別為0.084 45和0.910 1，相應的目標函數取值為10 228.194 1，這一數字只是稍稍低於前面計算的極值數據10 228.234 9。

EWMA模型的參數估計過程就相對簡單一些，令ω=0、α=1-λ及β=λ，我們只需要估計一個參數λ，應用表10-4中的數據，使得目標函數式（10-13）取得最大值的λ為0.937 4，對應的目標函數取值為10 192.510 4。

GARCH（1，1）及EWMA模型方法均可以通過Excel軟件中的Solver程序實現，應用Solver，我們可以尋求使得似然函數達到最大的數值解。當計算表格中所尋求的數值解大體在同一水平時，Solver程序的表現令人滿意。例如，在GARCH（1，1）模型中，我們可以將計算表中的單元格A1、A2、A3與數據ω×10⁵、10α及β相對應。然後我們可以使得單元格B1=A1/100 000、B2=A2/10以及B3=A3，我們用B1、B2、B3進行計算，但是讓Solver求解A1、A2、A3的數值以使得似然函數達到最大。偶爾，Solver可能會給出一個局部最優解，因此，有必要多試幾個不同的初始值。

10.9.3　模型表現如何

GARCH模型假設波動率的變化與時間有關。在某一階段波動率較高，而在其他階段波動率較低。換句話說，當較高時，，…也會較高；當較低時，，…也會較低，我們可以通過計算的自相關係數來檢驗這些結論的正確性。

假定確實有自相關性，如果GARCH模型有效，那麼自相關性就會被剔除。我們通過計算變量的自相關係數來驗證這一結論，如果計算出的結果顯示自相關性非常小，那麼我們就可以得出結論：有關σ_i的模型確實解釋了中的自相關性。

表10-5顯示的結果是基於以上的標準普爾500指數數據。第1列顯示了計算自相關係數所用的時滯（time lag），第2列對應於自相關係數，第3列展示了的自相關係數。^[5]表中結果顯示出對應於1與15之間的所有時滯，的自相關係數為正，而對於，有些自相關係數為正，有些為負，這些相關係數的幅度比最初的相關係數要小。

看來GARCH模型對於解釋數據確實做了很好的工作。如果想做一個更科學的檢驗，我們可以採用所謂的Ljung-Box統計方法。^[6]當一個數列中有m個觀察值時，Ljung-Box統計量定義為

其中c_k對應於時滯為k的自相關係數，K為所考慮的所有時滯，再有

對應於K=15，當Ljung-Box統計量大於25時，我們可以有95%的把握拒絕自相關係數為0這一假設。

基於表10-5中數據，序列的Ljung-Box統計量為1566，這說明自相關性確實存在。關於數列，Ljung-Box統計量為21.7，這說明GARCH模型確實基本上剔除了數據中的自相關性。

表10-5　在採用GARCH模型之前以及之後的自相關係數

[1] 這裡的代表估計值，原書採用的符號為p。——譯者注

[2] 數據和計算過程可以在以下網站上找到：www-2.rotman.utoronto.ca/~hull/riskman。

[3] 就像在後面會討論的那樣，微軟軟件Excel中的廣義求解算法Solver可以用來對問題求解。

[4] See R. Engle and J. Mezrich, “GARCH for Groups,” Risk (August 1996):36-40.

[5] 數列x_i對應於時滯k的自相關係數等於x_i與x_i+k的相關係數。

[6] See G. M. Ljung and G. E. P. Box, “On a Measure of Lack of Fit in Time Series Models,” Biometrica 65(1978):297-303.

10.10　採用GARCH（1，1）模型來預測波動率

採用GARCH（1，1）模型，在n-1天結束時所估算的第n天的方差為

因此

在將來第n+t天，我們有

的期望值為，因此

其中E表示期望值。連續應用該式，我們得出

或者

上式採用了在n-1天結束時的所有數據來預測第n+t天的波動率。在EWMA模型中，α+β=1。式（10-14）說明，將來方差的期望值與當前方差相等。當α+β<1時，式中最後一項隨時間增加而逐漸減小。圖10-6顯示出當前方差與V_L不同時，預期方差的將來路徑。如上所述，方差具備均值迴歸的性質，均值迴歸水平為V_L，迴歸速度為1-α-β。我們對將來方差的預測，會隨著展望時間的延長逐漸趨向於V_L，這一分析強調了為保證GARCH（1，1）模型的穩定，我們必須有α+β<1這一條件。當α+β>1時，對應於長期平均方差的權重為負，這時方差不具備均值迴歸特性，事實上，此時的模型具備均值逃離（mean fleeing）特性。

圖10-6　對應於兩種情形預期方差的曲線

在前面考慮的標準普爾500指數數據中，α+β=0.993 5，V_L=0.000 207 5。假定我們對於當前方差的估計為每天0.000 3（這對應於日波動率為1.732%），10天之後的方差期望值為

0.000 207 5+0.993 5¹⁰×（0.000 3-0.000 207 5）=0.0002942

預期波動率為每天，這一數值仍然高於長期日波動率（1.44%），但是500天后的預期方差為

0.000 207 5+0.993 5⁵⁰⁰×（0.000 3-0.000 207 5）=0.0002110

預期波動率為每天1.45%，這同長期波動率已經非常接近。

10.10.1　波動率期限結構

假定今天為第n天，定義

式（10-14）變為

V（t）=V_L+e^-at［V（0）-V_L］

這裡的V（t）是對今後第t天的即時方差（instantaneous variance）的估計，介於今天與時間T之間的日方差平均值為

隨著期限T的增大，以上數值會更接近V_L。定義σ（T）為GARCH（1，1）模型對於一個期限為T天的期權定價時所採用的每年波動率，假定每年有252天，σ（T）²是每天方差的252倍，因此

期權的波動率和期權期限之間的關係被稱作波動率期限結構（volatility term structure）。波動率期限結構通常用隱含波動率來求得，但是式（10-15）提供了另外一種途徑，即用GARCH（1，1）來估算。儘管由此所估計的期限結構同隱含波動率的期限結構會有所不同，但這種方法常常被用來預測真正的波動率期限結構如何對波動率的變化做出反應。

在當前波動率高於長期波動率時，GARCH（1，1）模型預測出的波動率期限結構為下降型（downward-sloping），而在當前波動率低於長期波動率時，GARCH（1，1）預測出的波動率期限結構為上升型（upward-sloping）。對標準普爾500指數的實例，，V_L=0.000 207 5。假定當前的日方差估測為V（0）=0.000 3，由式（10-15）得出

其中時間T以天計。表10-6顯示出對應於不同時間T的每年波動率。

表10-6　由GARCH（1，1）模型預測的標準普爾500指數波動率的期限結構

10.10.2　波動率變化的作用

式（10-15）可以寫為

當σ（0）的變化量為Δσ（0）時，相應σ（T）的變化量約為

表10-7顯示了在標準普爾500指數例子中的波動率的變動對於不同期限的期權價格的影響。類似以前的假定，V（0）=0.000 3，因而。表中考慮的情形為即時波動率上升100個基點，由27.50%變為28.50%，這意味著Δσ（0）=0.01，即1%。

表10-7　由GARCH（1，1）模型預測的即時波動率增加1%所帶來的效應

許多金融機構採用這樣的分析來確定其交易戶頭對於波動率變化的敏感性。在計算vega時，我們不是將所有期限的隱含波動率都增加1%，而是將波動率的變化量與期權期限的長短聯繫起來。在表10-7中，10天期權的波動率增加量為0.97%，30天期權的波動率增加量為0.92%，50天期權波動率增加量為0.87%，等等。

小結

在風險管理中，日波動率被定義為每天市場變量的百分比變化的標準差。每天的變化的方差為每天波動率的平方。波動率在交易日要遠高於在非交易日，因此在波動率計算過程中非交易日可以被忽略。每天的市場變化服從正態分佈這一假設很吸引人，但事實並非如此。大多數市場變量變化比正態分佈有更肥的尾部，因此冪律是對我們在日常生活中所遇到的許多分佈的尾部的一個更好的描述。冪律常常被用於描述許多市場百分比變化的尾部分佈。

本章描述瞭如何跟蹤及更新波動率的方法。我們定義u_i為第i-1天天末到第i天天末市場變量的百分比變化，市場變量的方差（即波動率的平方）為的加權平均。這裡討論的模型的一個主要特性是對應於不同的，模型賦予不同的權重。數據越新，所對應的權重也越大。在EWMA及GARCH（1，1）模型中權重隨著回望期長度以指數速度下降。GARCH（1，1）與EWMA模型的不同之處在於GARCH（1，1）給長期平均方差也賦予了某種權重。EWMA及GARCH（1，1）模型的構造都保證了我們能夠較為容易地預測將來方差的水平。

最大似然法通常被用於估計GARCH（1，1）以及其他基於歷史數據來計算波動率的模型中的參數，這些方法採用數值迭代過程來確定參數，使得歷史數據得以出現的可能性達到最大。當參數確定之後，我們可以從中的自相關性是否被有效地剔除這一指標來驗證模型的好壞。

我們可以採用GARCH（1，1）模型由歷史數據估算期權波動率，這種分析常常被用於計算波動率的擾動對不同期限期權的隱含波動率帶來的影響。

延伸閱讀

練習題

10.1　某資產的波動率是每天2%，該資產3天后的價格百分比變化的標準差是多少？

10.2　某資產的波動率為每年25%，對應一天的資產價格百分比變化的標準差為多少？假定價格變化服從正態分佈，均值為0，估測在95%的置信度下價格百分比變化的區間為多少？

10.3　為什麼交易員在計算年波動率時採用252天而不是365天？

10.4　什麼是隱含波動率？在實踐中對應於同一資產的不同期權會有不同的隱含波動率，這一結論的含義是什麼？

10.5　假定在過去11天每天交易結束時某匯率數值為0.700 0，0.701 0，0.707 0，0.699 9，0.679 0，0.700 3，0.695 1，0.695 3，0.693 4，0.692 3，0.692 2。請用式（10-2）和式（10-4）估計每天的波動率。

10.6　網站的訪問次數服從式（10-1）給出的冪律分佈，其中α=2。假定有1%的網站每天會受到500或更多次的點擊，則在所有的網站中，日點擊的次數為：（a）1 000；（b）2 000或更多的網站所佔比例為多少？

10.7　請解釋如何用指數加權移動平均（EWMA）模型及歷史數據來估算波動率。

10.8　採用EWMA及GARCH（1，1）對波動率進行更新的不同之處是什麼？

10.9　某一資產的波動率的最新估計值為1.5%，資產在昨天交易結束時的價格為30美元。EWMA模型中的λ為0.94，假定在今天交易結束時資產價格為30.50美元，EWMA模型將如何對波動率進行更新？

10.10　某公司採用EWMA來預測波動率，公司決定將參數λ由0.95變為0.85，請解釋這一變化的影響。

10.11　假定標準普爾500指數在昨天交易結束時的價格為1 040，而在昨天指數的日波動率的估計值為1%。GARCH（1，1）模型中的參數ω=0.000 002、α=0.06以及β=0.92，指數價格在今天交易結束時的價格為1 060，今天新的日波動率的估計值為多少？

10.12　在昨天下午4點，美元/英鎊匯率的波動率的最新估計為每天0.6%，匯率價格為1.5000，在EWMA中參數λ為0.9，假定在今天下午4點匯率價格變為1.4950，今天匯率波動率的最新估計為多少？

10.13　一家公司採用GARCH（1，1）來更新波動率，模型中的參數為ω、α及β。請描述稍稍增加某一參數同時保證其他參數不變的影響是什麼？

10.14　某GARCH（1，1）模型的不同參數為ω=0.000 004、α=0.05以及β=0.92，長期平均波動率為多少？描述波動率會收斂到長期平均值的方程是什麼？如果當前波動率為20%，20天后波動率的期望值為多少？

10.15　假設富時100指數股指（以英鎊計）的每天波動率為1.8%，美元/英鎊匯率的每天波動率0.9%，我們進一步假定富時100指數與美元/英鎊匯率的相關係數為0.4，富時100指數被轉換成美元后的波動率為多少？這裡假定美元/英鎊匯率被表達為1英鎊所對應的美元數量（提示：當Z=XY時，Z所對應的每天百分比價格變化等於X的每天百分比價格變化加上Y的每天百分比價格變化）。

10.16　假定GARCH（1，1）模型中的參數估計為ω=0.000 003、α=0.04以及β=0.94，當前日波動率估計為1%，請估計30天后的日波動率。

10.17　假定GARCH（1，1）模型中的參數估計為ω=0.000 002、α=0.04以及β=0.94，當前日波動率近似為1.3%，在為一個期限為20天的期權定價時，所用的年化波動率應為多少？

作業題

10.18　假定股票在過去連續15天的價格（以美元計）為30.2，32.0，31.1，30.1，30.2，30.3，30.6，30.9，30.5，31.1，31.3，30.8，30.3，29.9，29.8。請用式（10-2）和式（10-4）估計股票價格波動率。

10.19　假定某資產價格在昨天收盤時為300美元，日波動率為1.3%，今天該資產的收盤價為298美元。請採用以下模型來更新波動率：

（a）採用EWMA模型，其中λ=0.94；

（b）採用GARCH（1，1）模型，其中參數選擇為ω=0.000 002、α=0.04以及β=0.94。

10.20　在本書作者的網頁（www-2.rotman. utoronto.ca/～hull/data）上，讀者可以下載一個Excel計算表，其中含有超過900天的不同匯率數據以及股指價格數據。選定某匯率及某種股指，估計EWMA中的λ以使得

達到最小，其中v_i為在i-1天天末對於方差所做的預測，β_i是由第i天至第i+25天的數據所計算出的方差，在計算中請採用Excel中的Solver功能，在開始EWMA計算時，令第一天方差的預測值等於第一天收益的平方。

10.21　GARCH（1，1）模型中的參數α=0.03、β=0.95以及ω=0.000 002：

（a）長期平均波動率為多少？

（b）如果當前波動率為每天1.5%，你對20天、40天及60天后的波動率預估為多少？

（c）應採用什麼樣的波動率來計算20天、40天及60天期限的期權價格？

（d）假定有某一事件使得日波動率由1.5%增至2%，請估測這一事件對20天、40天及60天后波動率的影響。

（e）估測這一事件對用於20天、40天及60天期限的期權定價中的波動率的影響。

10.22　使用2005年7月27日～2010年7月27日的歐元兌美元匯率的歷史數據，估算EWMA和GARCH（1，1）模型的參數。數據可以從作者的網頁上下載：www-2.rotman.utoronto.ca/～hull/data。

10.23　投資組合在1個月後損失超出1 000萬美元的概率大約為5%：

（a）假定投資組合價值變化服從正態分佈，均值為0，1個月展望期置信度99%的VaR^[1]為多少？

（b）在α=3的冪律假設前提下，1個月展望期置信度99%的VaR為多少？

[1] VaR的概念將在本書第12章中介紹。——譯者注

第11章
相關性與Copula函數

假設一家公司對市場上兩個不同的市場變量有風險敞口。兩個變量之中任意一個變量增加一個標準差，公司會收益1 000萬美元，兩個變量之中任意一個變量減小一個標準差，公司會虧損1 000萬美元。如果這兩個市場變量的變化有很強的正相關性，那麼公司面臨的整體風險很大；如果兩個市場變量的相關性為0，那麼公司面臨的整體風險會小一些，但仍然很大；如果兩個市場變量變化有很強的負相關性，那麼公司面臨的整體風險會大大減小，因為一個變量帶來的損失會被另一個變量帶來的收益中和。這個例子說明，和對市場變量的波動率的監測一樣，風控人員對市場變量變化的相關性進行監測對正確評估市場風險敞口也是至關重要的。

在本章中，我們將要討論如何對相關性進行類似於波動率那樣的監控。這一章也會涉及Copula函數。通過Copula函數我們可以定義兩個或更多變量之間的相關性結構，而這種定義對於任意的概率分佈均適用。Copula函數在風險管理領域有不同形式的應用，利用Copula函數，我們可以較為便利地建立違約相關性，展示如何使用Copula函數來構造一個貸款組合的違約相關性模型。該模型可以被用來計算《巴塞爾協議Ⅱ》中要求的資本金。

11.1　相關係數的定義

變量V₁及V₂的相關係數ρ被定義為

其中E（·）代表期望值，SD（·）代表標準差。如果兩個變量不相關，即E（V₁V₂）=E（V₁）E（V₂），因此ρ=0。如果V₁=V₂，以上表達式中的分子及分母均等於變量V₁的方差，此時就像我們期望的那樣ρ=1。

變量V₁及V₂的協方差被定義為

cov（V₁，V₂）=E（V₁V₂）-E（V₁）E（V₂）

（11-2）

因此相關係數又可以寫為

雖然直覺上我們更容易理解相關係數，但是在今後我們將說明協方差才是我們真正需要分析的變量，這類似於第10章的EWMA及GARCH模型，雖然波動率更容易被人理解，但方差才是真正的基礎變量。

相關係數以及關聯性

如果在兩個變量中，其中任意一個變量的信息（觀測值）不會影響另一個變量的分佈，那麼這兩個變量在統計上被定義為相互獨立。精確地講，如果對於所有的x，等式

f（V₂|V₁=x）=f（V₂）

成立，其中f（·）代表變量的概率密度函數，|代表條件概率，變量V₁和V₂在統計上被定義為相互獨立。

如果兩個變量的相關係數為0，就意味著變量毫無關聯嗎？答案是否定的。這裡舉一個簡單例子來說明問題，假定變量V₁的值有三種均等的可能：-1、0及+1。當V₁=-1或V₁=+1時，V₂=1；當V₁=0時，V₂=0。在這裡我們可以清楚地看到V₁和V₂有某種關聯性，如果我們觀測到V₁的值，我們也可得出V₂的值，同時有關V₂的信息也會改變我們有關V₁的概率分佈。但由於E（V₁V₂）=0以及E（V₁）=0，我們很容易驗證V₁及V₂的相關係數為0。

這一例子強調相關係數只是用於表達變量之間的某種相關性。這種相關性只是一種線性的關聯關係，而變量之間可以有許多不同形式的關聯關係。我們可以畫出E（V₂）與V₁的函數圖來顯示V₁和V₂的關聯特性。圖11-1顯示了幾種不同的關聯形式，圖11-1a顯示了V₂的期望值同V₁之間有某種線性關係，圖11-1b顯示了V₂的期望值同V₁之間有一種V形關聯關係（這同我們前面的例子相似，一種對稱的V形的高度關聯關係會造成相關係數為0），圖11-1c顯示了我們經常看到的金融變量之間的關聯性。在這裡V₁和V₂代表某些市場變量的變化率。當V₁正常變化時，V₁和V₂之間有很弱的關聯性，但V₁的極端變化會觸發V₂的極端變化（這和市場受壓時，相關性會增加的情況是一致的）。

圖11-1　V₂依賴於V₁的幾種不同形式

我們可以從另一個角度來考察V₁和V₂的關聯性，即通過檢驗在V₁條件下，V₂的方差。我們在今後將看到，當V₁和V₂服從二元正態分佈時，該條件標準差為常數，但在其他情形下，V₂的標準差與V₁有關。

11.2　測量相關係數

在第10章中我們解釋瞭如何應用EWMA和GARCH模型來監測變量的方差，我們也可以採用類似的方法來監測兩個變量之間的協方差，一個變量每天變化的方差是指這一變量每天收益的方差。類似地，兩個變量每天變化的協方差是指變量每天收益的協方差。

假定變量X和Y在第i天結束時的價值為X_i和Y_i，變量X和Y在第i天的收益率為

由式（11-2），我們得出變量X和Y在第n天的協方差為

cov_n=E（x_ny_n）-E（x_n）E（y_n）

在第10.5節中我們曾指出風險管理人員在計算每天方差率時常常假定變量的每天預期收益為0，風險管理人員在計算每天協方差時通常需要做出同樣的假設，這意味著變量X和Y在第n天的協方差可以被簡化為

cov_n=E（x_ny_n）

對於x_i和y_i的最近m個觀察值採用同樣的權重，我們得出

採用同樣的權重來估計變量X和Y的每天變化的方差，我們得出關係式

第n天的相關係數的估計值為

11.2.1　EWMA模型

大多數風險管理人員都同意早期歷史數據的權重應該小於近期歷史數據的權重。在第10章中我們曾討論過應用EWMA模型來預測方差，其中我們看到權重隨著回望期的期限的增大而按指數形式下降，對於協方差，我們可以採用類似的權重形式，一種更新協方差的EWMA模型與式（10-8）相似

cov_n=λcov_n-1+（1-λ）x_n-1y_n-1

與EWMA模型中的分析相似，我們可以證明對應於數據x_n-1y_n-1的權重隨著i的增加（也就是隨著回望期的增大）而逐漸降低，λ的值越小，對於近期數據的權重也越大。

【例11-1】　假設λ=0.95，變量X和Y在n-1天的相關係數估計為0.6，同時我們假設變量X和Y在n-1天的波動率估計分別為1％和2％。由協方差及相關係數的關係式，在第n-1天的協方差估計值為

0.6×0.01×0.02=0.000 12

假定變量X和Y在n-1天的百分比變化分別為0.5%和2.5%。在第n天方差及協方差的估計分別為

變量X的最新波動率估計值為，變量Y的最新波動率估計為，X和Y的最新相關係數為

11.2.2　GARCH模型

GARCH模型也可以被用來更新協方差以及預測將來協方差的水平。例如，GARCH（1，1）更新X和Y協方差的表達式為

cov_n=ω+αx_n-1y_n-1+βcov_n-1

這一公式同更新方差的式（10-10）相似，此公式對於長期平均協方差賦予某種權重，對於最新協方差估計賦予某種權重，對於最新觀測到的協方差數據（也就是x_n-1y_n-1）也賦予某種權重，長期平均協方差為ω/（1-α-β）。我們可以推導出類似式（10-14）和式（10-15）的表達式來預測未來的協方差，並且計算對應一個未來期限內的平均協方差。

11.3　相關係數和方差-協方差矩陣

計算出多個變量間的方差、協方差和相關係數後，就可以根據這些數據構造出多個變量之間的相關係數矩陣和協方差矩陣。

表11-1是相關係數矩陣，表中的數據是各變量之間的相關係數。因為變量總是與其自身相關，所以相關係數矩陣中對角線上的值都為1。又因為ρ_ij=ρ_ji，所以相關係數矩陣是對稱的。

表11-1　相關係數矩陣

注：ρ_ij是變量i和變量j之間的相關係數。

通常來說，使用方差-協方差矩陣會更加方便。當i≠ j時，矩陣的（i，j）位置元素對應於變量i和變量j之間的協方差；當i=j時，（i，j）位置元素表示變量i的方差（見表11-2）。

表11-2　方差-協方差矩陣

注：cov_ij是變量i和變量j之間的協方差，var=cov_ii是變量i的方差。

協方差的一致性條件

並不是所有的方差-協方差矩陣都滿足內部一致性條件，一個N×N方差-協方差矩陣Ω滿足內部一致性條件的不等式為：對於所有的N×1向量w

w^TΩw≥0

（11-4）

其中w^T是w的轉置，滿足以上條件的矩陣被稱為半正定矩陣。

為了理解不等式（11-4）為什麼要成立，我們可以假定w^T=［w₁，w₂，…w_n］，表達式w^TΩw為一個組合的方差，其中對第i項資產的投資額是w_i。方差自然不能為負，因此不等式（11-4）必須成立。

為了保證矩陣的半正定性，我們在計算方差及協方差時必須保持一致性。例如，如果我們採用最近m個歷史數據並以均等的權重來計算方差，那麼我們在計算協方差時也應採用同樣的數據及權重。如果我們採用EWMA模型，並假定λ=0.94來更新方差，那麼我們在計算協方差時也應該採用同樣的數據。使用GARCH模型來更新方差-協方差矩陣並保證一致性滿足條件比較複雜，涉及使用多變量GARCH模型。^[1]

以下方差-協方差矩陣是一個不滿足內部一致性條件的實例

以上任一變量的標準差均為1.0，此時協方差與相關係數相等。第一變量同第三變量高度相關，第二變量同第三變量也高度相關，但是第一變量同第二變量無關，這一現象看起來有些奇怪，令w=（1，1，-1）^T，我們可以驗證關係式（11-4）不成立，這因此也證明矩陣不滿足半正定條件。^[2]

如果我們對一個含有3個變量的半正定矩陣產生一個很小的擾動（例如，為了計算敏感性），那麼新矩陣往往仍然還是半正定的。但是，對100個變量進行分析時，我們必須要小心，當我們對一個100×100的矩陣產生一個小的隨意擾動時，矩陣的半正定條件就很有可能不再滿足。

[1] 關於其他的方法，見R. Engle and J. Mezrich, “GARCH for Groups,” Risk (August 1996):36-40。

[2] 可以證明一個3×3矩陣滿足內部一致性的條件為，其中ρ_ij為變量i與j的相關係數。

11.4　多元正態分佈

多元正態分佈很容易被理解及應用，在下一節中我們將解釋，多元正態分佈可以被用來描述變量之間的相關性結構，這甚至在每個單一變量不服從正態分佈時也可以做到。

我們首先假定兩個變量V₁和V₂服從二元正態分佈，假定變量V₁的某個觀察值為v₁，V₂在V₁=v₁條件下的分佈為正態分佈，期望值為

標準差為

這裡的μ₁和μ₂分別為V₁和V₂的（無條件）期望值；σ₁和σ₂分別為V₁和V₂的（無條件）標準差，ρ為V₁和V₂的相關係數。注意V₂的條件期望值（條件為V₁）與V₁有線性關係，這對應於圖11-1a，V₂的條件標準差（條件為V₁）與V₁無關。

用於計算累積雙變量正態分佈的軟件位於作者的網站上：www-2.rotman.utoronto.ca/~hull/riskman。

11.4.1　基於正態分佈來產生隨機抽樣

在大多數計算機語言中都有產生介於0到1之間的隨機數的程序，許多語言也有產生服從正態分佈隨機數的能力。^[1]

當我們需要產生二元正態隨機變量的隨機抽樣ε₁、ε₂（兩個變量的均值均為0，方差均為1）時，我們可以採用如下流程：首先生成兩個服從標準正態分佈（即均值為0且標準差為1的分佈）並且相互獨立的隨機抽樣z₁和z₂，然後採用以下關係式來生成所需要的隨機抽樣

其中ρ為二元正態分佈的相關係數。

接下來我們考慮如何產生n元聯合正態分佈的隨機抽樣（其中所有變量的均值均為0，標準差均為1），這裡變量i與變量j的相關係數為ρ_ij。我們首先生成n個相互獨立並且服從正態分佈的隨機抽樣z_i（1≤i≤n）。服從n元聯合正態分佈的隨機抽樣可由下式產生

這裡參數α_ik的選取需要保證ε_j之間具有特定的方差和相關性。對於1≤j<i，我們有關係式

以及，對於所有的j<i

第一個變量的抽樣ε₁=z₁，所有的α變量可以通過對以上方程求解而得，其中ε₂由z₁、z₂求得，ε₃由z₁、z₂、z₃求得，等等。這裡描述的過程被稱為Cholesky分解（Cholesky decomposition）（見練習題11.9）。

如果我們在Cholesky分解中遇到對負數開根號，那麼最初的方差-協方差矩陣一定不滿足內部一致性條件，如同在第11.3.1節解釋的那樣，這就等於是說矩陣不滿足半正定條件。

11.4.2　因子模型

有時服從正態分佈的幾個不同變量的相關係數是由某個因子來決定的。假設U₁，U₂，…，U_N均服從標準正態分佈（期望值為0、標準差為1的正態分佈被稱為標準正態分佈），在單一因子模型中，每個U_i（1≤i≤N）均同一個共同的因子F及另外一個相互獨立的因子有關，準確地講

其中F及Z_i均服從標準正態分佈，a_i為介於-1與1之間的一個常數，Z_i（i=1，…，N）之間相互獨立，每一個Z_i同F也相互獨立。選擇Z_i的係數使得U_i的均值為0，方差為1。在單一因子模型中，U_i同U_j的相關性起源於共同因子F，變量U_i同U_j的相關係數為a_ia_j。

單因子模型（one-factor model）的優點是這一模型對於相關結構做了某種假設，使得協方差矩陣總是半正定。在沒有因子模型的前提下，我們必須對N個變量之間的相關性進行估計，這就造成我們需要估計N（N-1）/2個參數，而在因子模型的前提下，我們只需要估計a₁，a₂，…，a_N等N個參數。資本資產定價模型是投資行業單因子模型的一個例子，其中股票的回報包括單一市場變量和單一特殊變量，而這個特殊變量與其他股票回報相獨立，被稱為非系統變量（見第1.3節）。

單一因子模型可以被擴展到2個、3個甚至M個因子，在M個因子模型中

因子F₁，F₂，…，F_M服從標準正態分佈，並且相互獨立，因子Z_i之間相互獨立，並且每一個Z_i與所有的F因子也相互獨立，這時U_i與U_j的相關係數為

[1] 在Excel中，我們可以採用指令=NORMSINV(RAND())來達到這一目的。

11.5　Copula函數

考慮兩個相互關聯的變量V₁和V₂。V₁的邊際分佈（marginal distribution，有時也被稱為無條件分佈）是指我們在對V₂一無所知的情況下V₁的概率分佈；類似地，V₂的邊際分佈是指我們在對V₁一無所知的情況下V₂的概率分佈。假定，我們已經對V₁和V₂的邊際分佈有所估計，我們需要對相關結構做什麼樣的假設來決定變量之間的聯合分佈呢？

當V₁和V₂的邊際分佈均為正態分佈時，一種方便的做法是假設V₁和V₂服從二元正態分佈^[1]（見第11.3節關於相關性的討論）。對於其他邊際分佈，我們也可以做類似的假設。但是通常來講，對於兩個不同的邊際分佈，並沒有一個自然的方式定義相關結構，這就是我們需要引入Copula函數的原因。

以下是一個有關Copula函數的應用的實例，假定V₁和V₂的邊際分佈為三角分佈，如圖11-2所示，兩個變量均介於0與1之間。V₁分佈函數的峰值發生在0.2，V₂分佈函數的峰值發生在0.5，兩個分佈函數的最大值均為2.0（因此兩個密度函數下的區域面積均為1.0）。為了應用高斯Copula（Gaussian Copula）函數，我們首先將變量V₁和V₂映射到U₁和U₂上，這裡的U₁和U₂均服從標準正態分佈。這種映射為分位數與分位數（percentile-to-percentile）之間的一一映射。V₁分佈上1%的分位數被映射到U₁分佈上1%的分位數；V₁分佈上10%的分位數被映射到U₁分佈上10%的分位數，等等。對於V₂，我們也做類似的映射。表11-3顯示了V₁的值如何被映射到U₁上，表11-4顯示了V₂的值如何被映射到U₂上。在表11-3中，當V₁=0.1時，對應於（求取三邊形面積）0.1的累積概率為0.5×0.1×1=0.05，即5%，V₁=0.1的值被映射到標準正態分佈的5%的分位數，其值為-1.64。^[2]

圖11-2　V₁和V₂服從某種三角分佈

表11-3　V₁到U₁的映射，V₁服從圖11-2a中的三角分佈，U₁服從標準正態分佈

表11-4　V₂到U₂的映射，V₂服從圖11-2b中的三角分佈，U₂服從標準正態分佈

變量U₁和U₂服從正態分佈，我們假定U₁和U₂的聯合分佈為二元正態分佈，在這種前提下可以推算出V₁和V₂的聯合分佈以及相關結構。Copula函數的精髓就在於不直接定義V₁和V₂的相關性，而是採取一種間接的定義方式。我們將V₁和V₂映射到性狀較好（well-behaved）的分佈上，而對於這些性狀較好的分佈，我們可以較為容易地定義相關性。

假定U₁與U₂的相關係數為0.5。表11-5顯示出V₁和V₂的聯合累積概率分佈。為了說明計算過程，我們首先考慮如何計算V₁<0.1和V₂<0.1的概率。從表11-3及表11-4出發，我們知道這一概率與U₁<-1.64和U₂<-2.05的概率相同，通過二元正態分佈，我們可以得出在ρ=0.5的情形下，這一概率數值為0.006^[3]（在ρ=0的情形下，這一概率僅僅為0.02×0.05=0.001）。

表11-5　在高斯Copula函數模型下V₁和V₂的聯合概率分佈，相關係數=0.5，表中顯示出V₁和V₂分別小於某數值的聯合概率

U₁和U₂的相關係數被稱為Copula相關係數。這一相關係數與通常意義下V₁和V₂的相關係數不同。U₁和U₂服從二元正態分佈，U₂的條件期望值與U₁有線性關係，U₂的條件標準差為常數（在第11.4節中曾討論過），但是對於V₁和V₂，我們沒有類似的結論。

圖11-3　通過Copula函數來定義聯合分佈

11.5.1　Copula函數的代數表達形式

利用Copula模型來定義聯合分佈的方式可由圖11-3來說明。為了能夠以比較正規的形式來描述Copula函數，假定G₁和G₂分別為V₁和V₂的累積邊際（即無條件）概率分佈函數，我們將V₁=v₁映射到U₁=u₁，V₂=v₂映射到U₂=u₂，映射方式如下

G₁（v₁）=N（u₁），　G₂（v₂）=N（u₂）

其中N代表累積正態分佈函數，這意味著

變量U₁和U₂被假設為服從二元正態分佈，Copula函數的主要特徵就是在定義其相關結構時，V₁和V₂的邊際分佈沒有任何改變（不管邊際分佈是何種形式）。

11.5.2　其他Copula函數

高斯Copula函數只是定義V₁和V₂相關性結構的某一種形式，還有許多其他的Copula函數可以用於描述相關性結構。其中一種Copula函數被稱為學生（student）t-Copula函數，這種Copula函數同高斯Copula函數類似，其不同之處只是U₁和U₂被假定為服從二元學生t-分佈。對於一個有f個自由度，相關係數為ρ的學生t-分佈進行模擬抽樣如下：

（1）在一個逆卡方分佈（inverse chi-square）中進行抽樣，抽樣值為χ（在Excel計算表中，我們可以採用CHIINV函數，第一個變量為RAND()，第二個變量為f）；

（2）如第11.4節所述，在一個二元正態分佈中進行抽樣，這裡的相關係數為ρ；

（3）將正態分佈抽樣值乘以。

11.5.3　尾部相關性

圖11-4顯示了二元正態分佈的5000個抽樣。圖11-5顯示了二元學生t-分佈的5000個抽樣，這裡的相關係數均為0.5，學生t-分佈的自由度為4。定義尾部值（tail value）為一個分佈中最左邊或最右邊佔1%區域的尾部所對應的取值。在正態分佈抽樣中，大於2.33或小於-2.33的抽樣值為尾部值。類似地，在t-分佈抽樣中，大於3.75或小於-3.75的抽樣為尾部值，圖中的橫豎線顯示了產生尾部值的情形。圖形顯示在二元t-分佈中兩個變量同時出現尾部值的情形要多於在二元正態分佈中兩個變量同時出現尾部值的情形。換一種說法，二元t-分佈的尾部相關性（tail correlation）要大於二元正態分佈的尾部相關性。我們在前面提到，在極端的市場條件下，變量之間的相關性往往會增加，這說明圖11-1c對相關性的描述往往會比圖11-1a更好，基於這一結果，有些研究人員認為學生t-Copula對市場變量的相關性變化的描述比高斯Copula更好。

圖11-4　二元正態分佈的5 000個抽樣

圖11-5　二元學生t-分佈的5 000個抽樣

11.5.4　多元Copula函數

Copula函數可以用於描述多於兩個變量之間的相關結構，其中最簡單的例子就是多元高斯Copula。假定我們已知N個變量V₁，V₂，…，V_N的邊際分佈，對於任意變量i（1≤i≤N），我們將V_i映射到U_i，其中U_i服從標準正態分佈（這裡的映射是分位數之間的一一對應），我們最後假定U_i（1≤i≤N）服從多元正態分佈。

11.5.5　因子Copula模型

在多元Copula模型中，市場分析員常常假定變量U_i之間的相關性由某種因子來決定。在單一因子模型中，由式（11-6），我們得出

其中F和Z_i分別服從標準正態分佈，Z_i之間相互獨立，Z_i與F之間也相互獨立。其他形式的因子Copula模型在選擇因子時也通常要保證F和Z_i的期望值為0及標準差為1的條件。我們將在第11.6節中進一步討論與信用風險相關的問題。選擇不同的分佈會影響變量U_i之間的相關性，進而影響V_i變量之間的相關性。

[1] 儘管二元正態分佈是個比較方便的假設，但這一習慣性假設並不是唯一選擇。關於兩個服從正態分佈的變量，我們可以通過許多不同的方式來使得兩個變量相互關聯，例如，我們可以令V₂=V₁，對應於-k≤V₁≤k的情形；V₂=-V₁，對應於其他情形。練習題11.11是另一個例子。

[2] 在Excel中可採用公式NORMSINV(0.05)=-1.64來計算。

[3] 在作者的網頁（www-2.rotman.utoronto.ca/~hull/riskman）上，讀者可以下載計算二元正態累積分佈函數的Excel計算表。

11.6　將Copula應用於貸款組合：Vasicek模型

在這裡我們將討論一元高斯Copula函數的一種應用，這對於我們理解第15章中的《巴塞爾協議Ⅱ》資本金要求中的公式會有幫助。假定一家銀行有一個鉅額的貸款投資組合。每個貸款每年的違約概率是1%。如果貸款違約是相互獨立的，則每年違約率的期望值大概是1%。但在實際中，貸款的違約不是相互獨立的，它們全都受宏觀經濟的影響。其結果是，在某些年，違約率會比較高，而在其他一些年份，違約率會比較低。表11-6通過統計1970～2016年的違約率證實了這種情況。違約率從1979年最低的0.088%到2009年最高的4.996%不斷變化。其他一些違約率比較高的年份有1970年、1989年、1990年、1991年、1999年、2000年、2001年、2002年、2008年和2016年。

表11-6　1970～2016年所有被評級的公司的年百分比違約率

資料來源：穆迪。

為了給組合中貸款的違約率建立模型，定義T_i（1≤i≤N）為公司i的違約時間（這裡暗含的假設是，所有的公司在最終總會破產——只是違約發生的時間會在很久的將來，也許是在幾百年後）。在此我們對問題做一下簡化，假定所有貸款的違約時間的累積概率分佈函數相同，並定義PD為到時間T已發生違約的概率

PD=Prob（T_i<T）

高斯Copula模型可用來描述各貸款之間違約時間的相關結構。按照上面討論的步驟，對每一個i，我們將違約時間變量T_i的累積分佈的分位數與變量U_i的累積分佈的分位數之間進行一一對應的映射，這裡的U_i具有標準正態分佈。我們假定U_i之間的相關結構滿足式（11-8）中描述的因子模型，並且所有的a_i都相等，記為a。於是有

與式（11-8）一樣，變量F及Z_i為相互獨立的正態分佈，Z_i之間也相互獨立。在這種情況下，每對貸款之間的Copula相關性是相等的，均為

ρ=a²

於是，U_i可以記作

定義最壞情況下的違約率（worst case default rate）WCDR（T，X）為時間T內的違約率（即違約的貸款數與總貸款數的百分比），且該違約率有X%的概率不被超過（在很多情況下，T的時間跨度是1年）。根據我們的假設，我們會得到以下結論

這個結果看上去有些奇怪，但它非常重要。Vasicek在1987最先得出了這個結果。^[1]N和N^-1是累積正態分佈函數和反累積正態分佈函數，它們可以很容易地由Excel計算表中的NORMSDIST和NORMSINV函數來計算。注意，如果ρ=0，那麼所有貸款的違約是相互獨立的，此時WCDR=PD。隨著ρ的增加，WCDR會隨著增加。

【例11-2】　假如一家銀行對大量零售客戶發放了大量貸款。每筆貸款的年違約概率為2%，在Vasicek模型中，Copula相關係數ρ的估測值為0.1，此時

以上計算顯示我們有99.9%的把握肯定違約率不會大於12.8%。

11.6.1　對Vasicek結果的證明

根據高斯Coupula模型的性質，我們有

PD=Prob（T_i<T）=Prob（U_i<U）

其中

U=N^-1［PD］

（11-11）

在式（11-9）中，到時間T時違約的概率依賴於因子F。該因子可以被理解成宏觀經濟指數。如果F比較高，則宏觀經濟形勢好，每個U_i趨向較高的值，對應的T_i的值也因此更高，這意味著，在較短時間內發生違約的可能性較低，所以Prob（T_i<T）的值也比較低。如果F比較低，則宏觀經濟形勢差，每個U_i及T_i趨向較小的值，所以在較短時間內發生違約的概率較高。為了進一步說明這一點，我們考慮給定F時違約的條件概率。

由式（11-9）可得出

在因子F的值給定的條件下，U_i<U的條件概率為

以上概率與Prob（T_i<T|F）等同，因此

由式（11-11）

對於一個較大的貸款組合，如果各筆貸款具有相同的違約概率，並且每對貸款之間的Copula相關性為ρ，則以上表達式是對T時刻F條件下貸款組合違約百分比的一種很好的估計，我們將以上表達式定義為違約率（default rate）。

當F減小時，違約率會增加，那麼違約率最壞的狀況會是怎樣呢？F服從標準正態分佈，F<N^-1（Y）的概率為Y，因此，存在一個概率Y，使得違約率大於

置信度為X%，展望期為T的情況下的違約率可以通過將Y=1-X代入以上表達式得到。因為N^-1（X）=-N^-1（1-X），所以我們可求得式（11-10）的值。

11.6.2　估計違約概率和相關性ρ

第10章介紹的最大似然估計法可以用來從歷史違約數據中估計違約概率和相關性ρ。我們可通過式（11-10）來計算違約率分佈的高分位數，但實際上，該式對所有的分位數都適用。如果DR為違約率，G（DR）為DR的累積概率分佈函數，由式（11-10）

將該式做變換，可得

對該式求導，違約概率的概率密度函數為

由歷史違約數據計算違約概率PD和相關性ρ的最大似然估計的步驟如下：

（1）選擇PD和ρ的初始值；

（2）對DR的每個觀察值，計算式（11-15）中概率密度函數的對數；

（3）使用Solver搜索PD和ρ的值使得步驟（2）中各值的和最大。

對錶11-6中的數據使用上述步驟。對ρ和PD的最大似然估計值分別是0.098和1.32%（計算過程見作者的網站上提供的計算表）。違約率的概率分佈如圖11-6所示。第99.9%分位數對應的違約率為

即每年9.3%。

圖11-6　違約率的概率分佈，參數由表11-6所示的數據得出

11.6.3　除高斯Copula以外的其他Copula函數

單因子高斯Copula模型有其侷限性。如圖11-4所示，其得出的尾部相關性很小。這意味著一家公司的意外提早違約和另一家公司的意外提早違約很少同時發生。要找到合適的ρ來擬合數據可能比較困難。例如，如果PD為1%而10年中某年的違約率達到3%，則找不到ρ的值可以跟這種情況保持一致。其他一些具備更強的尾部相關性的單因子Copula模型可以更好地擬合數據。

開發這樣一種模型的方法是為F或Z_i選取比式（11-9）中的正態分佈具有更厚尾部的分佈（這些分佈要被放縮，以保證均值為0，標準差為1），然後U_i的分佈再由F和Z_i的分佈（可能通過數值方法）決定。式（11-10）變為

其中，Φ、Θ和Ψ分別是Z_i、F和U_i的累積概率分佈函數。此時，式（11-14）變為^[2]

[1] See O. Vasicek, “Probability of Loss on a Loan Portfolio” (Working Paper, KMV, 1987).Vasicek的結果也發表在2002年12月期的Risk雜誌上，文章的標題為“Loan Portfolio Value”。

[2] 在論文“The Risk of Tranches Created from Mortgages”（J. Hull and A. White, Financial Analysts Journal 66, no.5 (September/October 2010)：54-67）中，本方法被用於估計由房屋抵押貸款創造的分檔證券的風險。在很多情況下，此方法能更好地擬合曆史數據，但它的缺點在於其中使用的概率分佈相較正態分佈處理起來更復雜，有時需要使用數值方法來確定Ψ和函數g（DR）。

小結

風險管理人員常常採用相關性或協方差來描述變量之間的相互關係。每天的協方差是變量每天變化的相關係數與變量每天波動率的乘積。監測協方差的方法同第10章中監測方差的方法相似。風險管理人員常常跟蹤風險變量的方差-協方差矩陣。

一個變量的邊際分佈是指變量的無條件分佈。風險分析人員在產生邊際分佈後往往還需要描述及估計相關性結構。當變量服從正態分佈時，很自然我們會假設變量之間服從多元正態分佈。在其他情形下，我們需要採用Copula函數來描述相關性結構，這時我們將變量的邊際分佈的分位數以一對一的形式映射到正態分佈（或者其他多元分佈）上，我們尋求的變量之間的相關結構由映射後的變量的相關性結構來確定。

在多變量情形下，分析員常常採用因子模型。因子模型可以用於減少估計相關係數的數量。我們可以假定任意兩個變量的相關係數完全由它們因子之間的相關性決定。公司之間的違約相關性可以通過基於因子的違約時間高斯Copula模型來描述。

對於風險管理人員而言，Copula函數的一個重要用途在於計算貸款組合的違約率分佈。風控人員常常假設不同貸款的違約時間的概率分佈是由單因子Copula模型來確定的。因此，一個大型貸款組合的違約次數分佈的分位數可以通過因子概率分佈的分位數來計算。我們在第15章中將看到，通過採用這種辦法，我們可以計算《巴塞爾協議Ⅱ》所要求的銀行的信用風險資本金數量。

延伸閱讀

練習題

11.1　假定變量之間相關係數已知，你還進一步需要什麼樣的信息來計算協方差？

11.2　相關係數與關聯的不同之處是什麼？假定y=x²，x服從正態分佈，期望值為0，標準差為1，x與y之間的相關係數為多少？

11.3　什麼是因子模型？為什麼可以採用因子模型來描述大量變量之間的相關性？

11.4　矩陣半正定的含義是什麼？一個相關係數矩陣不滿足半正定條件的後果是什麼？

11.5　假定資產A和B的日波動率分別為1.6%和2.5%，資產A和B在上個交易日末的價格為20美元和40美元，該日資產回報相關係數的估計值為0.25，EWMA模型中的λ參數為0.95：（a）計算資產之間當前的協方差；（b）假定在今天交易結束時，資產價格分別為20.50美元和40.50美元，相關係數的最新估計為多少？

11.6　假定資產X和Y的當前日波動率分別為1.0%和1.2%，上個交易日結束時資產價格分別為30美元和50美元，資產回報的相關係數為0.5。在這裡我們採用GARCH（1，1）模型來計算更新相關係數及波動率，GARCH（1，1）模型中的參數估計為α=0.04及β=0.94，在相關係數估計中採用ω=0.000 001，在波動率估計中採用ω=0.000 003，假如在今天交易結束時，資產價格分別為31美元和51美元，相關係數的最新估計為多少？

11.7　假定在練習題10.15中，標準普爾500指數（以美元計）與富時100指數（以英鎊計）的相關係數為0.7，標準普爾500指數（以美元計）與美元/英鎊的匯率的相關係數為0.3，標準普爾500指數的日波動率為1.6%，將富時100指數轉換為美元后與標準普爾500指數的相關係數為多少？（提示：對於3個變量X、Y和Z，X+Y同Z的協方差等於X與Z的協方差加上Y與Z的協方差）。

11.8　假定兩個變量V₁和V₂服從均勻分佈，此分佈中的數值介於0與1之間，並且所有數值有均等出現的概率。採用高斯Copula函數來定義V₁和V₂的相關性結構，在這裡Copula相關係數為0.3。將V₁和V₂的數值分別設定0.25、0.5和0.75，請製作類似於表11-5的表格（在作者的網頁www-2.rotman.utoronto.ca/~hull/riskman中，讀者可以下載計算二元正態分佈的計算表）。

11.9　假定你有3個相互獨立並服從正態分佈的變量z₁、z₂、z₃，你想將這3組變量由Cholesky分解來產生服從三元正態分佈的隨機變量ε₁、ε₂、ε₃，請求出由z₁、z₂、z₃及變量之間的相關係數組成的ε₁、ε₂、ε₃的表達式。

11.10　尾部相關的含義是什麼？如何採用不同的Copula函數來改變尾部相關性？

11.11　假定V₁和V₂的邊際分佈均為標準正態分佈，請採用自由度為4、相關係數為0.5的學生t-Copula來定義變量之間的相關性，並構造圖表來顯示聯合分佈的抽樣值。

11.12　在表11-5中，在V₁<0.1條件下，V₂的概率密度函數是什麼？請將這一密度函數同V₂無條件分佈進行比較。

11.13　在表11-3及表11-4中，假定V₁=0.2，此時V₂分佈的中位數為多少？

11.14　假定銀行有一筆大數量的貸款，每筆貸款每年的違約概率為1.5%，違約時的回收率為30%，銀行採用高斯Copula來模擬違約時間。請使用Vasicek模型來估計99.5%置信度下的違約率。假設Copula相關係數為0.2。

11.15　如果過去10年間一個消費貸款組合的違約率為1%、9%、2%、3%、5%、1%、6%、7%、4%和1%。Vasicek模型中參數的最大似然估計是多少？

作業題

11.16　假定在上個交易日結束時某資產X的價格為300美元，價格波動率為每天1.3%，今天X的價格在交易結束時為298美元，假定在上個交易日結束時資產Y的價格為8美元，價格波動率為每天1.5%。Y的價格與X的價格的相關係數為0.8。今天在交易結束時Y的價格同昨天相同，即8美元。請求出最新的X價格及Y價格的波動率及相關係數，在計算中請採用：（a）EWMA模型，參數為λ=0.94；（b）GARCH（1，1）模型，其中模型參數ω=0.000 002、α=0.04及β=0.94。在實踐中，對於X和Y的ω參數是否相同？

11.17　指數分佈的概率密度函數為λe^-λx，其中x為自變量，λ為參數，指數分佈的累積概率分佈為1-e^-λx。假定變量V₁和V₂均服從指數分佈，其對應的參數λ分別為1.0和2.0，採用高斯Copula函數來定義V₁和V₂的相關性結構，其中Copula相關係數為-0.2，製作與表11-5類似的表格，其中V₁和V₂的值分別為0.25、0.5、0.75、1、1.25及1.5（在作者的網頁www-2.rotman.utoronto.ca/~hull/riskman中，讀者可以下載一個計算累積二元正態分佈的計算表）。

11.18　在Excel計算表中製作一個類似圖11-5的圖形，在圖形中請顯示自由度為4、相關係數為0.5的二元學生t-分佈的抽樣值。進一步，假定V₁和V₂的邊際分佈分別為自由度為4的學生t-分佈，採用高斯Copula函數來定義V₁和V₂的相關性結構，Copula相關係數為0.5。請畫出圖形來顯示聯合分佈的抽樣，並比較圖形。

11.19　假定一家銀行有一筆大數量的貸款，每一筆貸款的1年違約概率為1.2%。這家銀行採用高斯Copula來模擬違約時間，求取對應於在99.97%置信度下，貸款損失的最壞數量（99.97% worst case）非常有意義，在這裡請展示對應於不同Copula相關係數，這一最壞損失數量會有什麼樣的不同變化。

11.20　某類貸款過去15年中的違約率為2%、4%、7%、12%、6%、5%、8%、14%、10%、2%、3%、2%、6%、7%、9%。使用最大似然法，計算Vasicek模型中參數的最佳擬合值。違約率的概率分佈是什麼？99.9%置信度下的最壞違約率有多高？

第12章
在險價值和預期虧空

在第8章和第9章中，我們討論了金融機構負責管理某些特定市場變量（例如，股指、利率或大宗商品價格）風險敞口的交易員如何計算delta、gamma及vega等風險指標。金融機構的交易組合往往取決於成百上千個市場變量，交易員每天的分析可能會包括大量計算，雖然這些風險指標對交易員十分重要，但是並不能為金融機構的高管及監管人員提供一個關於整體風險的完整圖像。

在險價值（value at risk，VaR）和預期虧空（expected shortfall，ES）兩項指標都試圖以一個數字來度量金融機構的投資組合面臨的整體風險。其中VaR的概念最先由摩根大通（見業界事例12-1）提出，並已經被企業資產部、基金經理以及金融機構廣泛採用。我們將在第15章和第16章中看到，VaR也是很多監管機構採用的用於計算銀行資本金設定的一種傳統工具，這裡的資本金包括市場風險、信用風險和操作風險資本金。在第18章中我們將會解釋，監管機構正在逐步過渡到ES方法。

本章將解釋VaR和ES的概念，並對其各自的優勢以及弱點進行討論。在第13章及第14章中，我們將解釋如何計算市場在險價值和預期虧空，在第21章中，我們將討論如何將在險價值用於信用風險管理。

12.1　VaR的定義

當使用VaR來度量風險時，我們希望能夠做出以下陳述：

我們有X%的把握，在T時間段內，我們的損失不會大於V。

這裡的變量V就是交易組合的VaR。VaR是兩個變量的函數：時間展望期（T時間段）及置信區間（X%）。VaR給出了在今後的T天及在X%把握之下，交易損失不會超出的值。

VaR可以由交易組合在T時間內的收益概率分佈得出，也可以由損失的概率分佈得出（對於前者，損失可以認為是負收益；對於後者，收益可以認為是負損失）。例如，當T=5天、X=97時，VaR對應於交易組合在5天后收益分佈中第3個分位數對應的損失；或者，VaR對應於交易組合在5天后損失分佈中第97個分位數對應的損失。在更一般的情況下，當採用收益分佈時，VaR等於圖12-1所示收益分佈的第100-X分位數的負值；當採用損失分佈時，VaR等於圖12-2所示損失分佈的第X分位數的值。

圖12-1　由交易組合在時間T的收益概率分佈中來計算VaR，損失可看作是負的收益，置信度為X%，VaR的大小為V

圖12-2　由交易組合在時間T的損失概率分佈中來計算VaR，收益可看作是負的損失，置信度為X%，VaR的大小為V

12.2　計算VaR的例子

在本節中，我們將提供VaR計算的4個例子，在前兩個例子中，收益（損失）分佈為連續形式；在後兩個例子中，收益（損失）分佈為離散形式。

【例12-3】　假定一個1年項目有98%的概率收益為200萬美元，1.5%的概率損失為400萬美元，0.5%的概率損失為1 000萬美元。損失累計分佈如圖12-3所示，在這一累計分佈下，對應於99%累計概率的點為400萬美元，因此，對於1年展望期，在99%置信度下的VaR為400萬美元。

圖12-3　例12-3和例12-4中的累計損失分佈

12.3　VaR的缺陷

VaR的概念比較容易理解，因此很受歡迎。在應用VaR時，事實上用戶在問以下簡單的問題：“情況能壞到什麼樣子？”這一問題的答案是所有的高級管理人員都希望知道的。他們很喜歡將交易組合對多個市場變量的不同敏感度壓縮為一個數字的做法。

但是，當採用VaR來設定一個交易員的風險額度時，也可能會產生我們不希望看到的結果。假定一家銀行限定的某交易員的交易組合在一定展望期的99%VaR的額度為1000萬美元，交易員可以構造一個交易組合，該組合有99.1%的可能每天的損失小於1000萬美元，但有0.9%的可能損失為5000萬美元。該交易員滿足了銀行所設定的風險額度，但很明顯，他承擔了銀行不可接受的風險。交易員所追求的收益的概率分佈形狀如圖12-4所示，圖12-4所示的VaR等同於圖12-1所示的VaR，但圖12-4所對應的風險要遠大於圖12-1所對應的風險，這是因為圖12-4所示的分佈更有可能出現大的損失。

圖12-4　時間T內某交易組合價值的概率分佈

注：置信區間為X%，交易組合具有和圖12-1中相同的VaR，但該圖顯示出現大額損失的可能性更大。

我們可以認為，圖12-4所示的概率分佈在實踐中從未發生過。實際上，這並不罕見。許多交易策略有很大的概率得到非常好的收益，但是也存在很小的概率遭受巨大的損失（例如，採用賣出虛值期權這樣的策略，交易員會收到期權費，且在大多數情形下無須為買家支付收益。然而，一旦期權被執行，交易員往往就會遭受很大的損失）。許多交易員喜歡承擔更大的風險，以期得到更高的收益。如果交易員能夠在沒有超出風險額度的情況下承擔更大的風險，他們往往會那樣去做，這裡引用某交易員同作者的一席對話：“我還從來沒有碰到過一種風險控制系統能限制我進行交易。”

12.4　ES

與VaR相比，一種能給予交易員更多動機合理去控制風險的風險測度為預期虧空（ES）。這一測度有時也被稱為條件在險價值（conditional VaR）或條件尾部期望（conditional tail expectation）或尾部損失（tail loss）。VaR測度的目的是回答“情況能壞到什麼樣子”這樣的問題，而ES則要回答“當糟糕的情況發生時，損失的期望值為多大”。像VaR一樣，ES也是兩個變量的函數，即展望期的時間長度T（展望期）以及置信區間的水平X。實際上，為了計算ES，必須首先計算VaR。ES是指在T時間段的損失超出了第X分位數的條件下損失的期望值。例如，假定X=99，T=10天，VaR=6 400萬美元，ES為在今後10天，損失超出6 400萬美元以上的平均損失。

將ES而不是VaR作為交易員的風險額度，會使得交易員進行如圖12-4所示的交易的可能性降低。另外，在下一節中我們將說明，從風險分散的意義上來講，ES要比VaR有更好的性質，因為前者總是能體現風險分散帶來的益處。但是，ES的不利之處在於其複雜性，因此這一風險測度比VaR更難以理解。另外，與VaR相比，對計算ES的過程進行回溯測試（back-testing）更加困難（我們在今後將解釋，回溯測試是利用歷史數據來檢驗風險計量計算方法可靠性的一種途徑）。

12.5　一致性風險測度

假定對應於99.9%置信區間和1年展望期，某交易組合的VaR為5 000萬美元，這意味著在極端條件下（理論上講，每1 000年出現一次），金融機構在1年時損失會超出5 000萬美元，這同時也說明，如果金融機構持有5 000萬美元的資本金，我們會有99.9%的把握，金融機構不會在1年內完全損失自身持有的資本金。

假定我們想設計某種風險測度來確定金融機構應持有的資本金數量，VaR是最好的選擇嗎（在合適的展望期和置信水平下）？Artzner等研究人員對這一問題進行了研究，他們指出理想的測度應滿足以下性質^[1]：

（1）單調性（monotonicity）：如果在任何情形下，第一個交易組合的回報均低於另一個交易組合的回報，那麼第一個交易組合的風險測度一定要比另一個更大。

（2）平行移動不變性（translation invariance）：如果我們在交易組合中加入K數量的現金，那麼交易組合所對應的風險測度要減少K數量。

（3）同質性（homogeneity）：假定一個交易組合的內含資產品種和相對比例不變，但內含資產的數量增至原數量的λ倍，此時新的交易組合的風險測度應是原風險的λ倍。

（4）次可加性（subadditivity）：兩個交易組合相加所組成的一個新交易組合的風險測度小於或等於最初兩個交易組合的風險測度之和。

以上風險測度的第一個性質顯而易見，如果一個交易組合的回報總是比另一個交易組合要差，那麼第一個交易組合的風險一定會更高；第二個條件也非常合理，如果我們在某個交易組合中加入K數量的現金，那麼該現金可以為損失提供緩衝，相應的額外資本金要求也應該可以減少K數量；第三個條件也很合理，如果我們將某交易組合放大兩倍，那麼相應的資本金要求也應該增大兩倍；^[2]第四個條件是在說明風險分散可以降低風險，即我們將兩個交易組合疊加在一起，新的交易組合的風險應該減少，或至少保持不變。

VaR滿足以上討論中的前3個條件，但VaR並不一定永遠滿足第四個條件，這一點將在以下例子中闡明。

【例12-6】　我們考慮兩筆期限均為1年、本金均為1000萬美元的貸款。違約的概率由下表所示。

當其中任何一筆貸款違約時，收回本金的數量不定，但我們知道回收率介於0與100%的可能性為均等。當貸款沒有違約時，貸款盈利均為20萬美元。

首先考慮第一筆貸款，違約可能為1.25%，在違約發生的條件之下，損失均勻介於0與1 000萬美元，這意味著有1.25%的概率損失大於0；有0.625%的概率損失大於500萬美元；損失超出1 000萬美元的事件不會發生。損失超出200萬美元的概率為1%（在損失發生的前提下，有80%的概率損失會超出200萬美元，因為損失出現的概率為1.25%，損失大於200萬美元的無條件概率為0.8×0.012 5=0.01，即1%），因此，1年期的99%VaR為200萬美元。同樣的計算也適用於第二筆。

接下來考慮兩筆貸款的組合，違約出現的概率為2.5%。同上，違約所觸發的損失在0與1000萬美元之間均勻分佈。對應這種情況，VaR的估計值為580萬美元，這是因為在兩筆貸款之中有一筆貸款違約的概率為2.5%，在違約發生的條件下，損失超過600萬美元的可能性為40%。因此，損失大於600萬美元的無條件概率為2.5%×40％=1％。當一筆貸款產生違約時，另外一筆貸款會盈利20萬美元，將這一盈利考慮在內，我們得出1年的99%VaR為580萬美元。

將單獨計算的單一貸款所產生VaR相加，我們得出VaR的總和為200萬美元+200萬美元=400萬美元，將兩筆貸款組合在一起得出的VaR比單項VaR的總和580萬美元多180萬美元，這違反了次可加性條件（我們都知道將多筆貸款合成一交易組合會帶來風險分散的效應，但我們看到，兩個交易組合合併之後的VaR可能會大於兩個交易組合VaR的和）。

如果一個風險測度滿足以上所有的4個條件，則這樣的測度被稱為一致性風險測度。例12-5和例12-6說明，VaR不滿足一致性條件。我們可以證明以上討論的預期虧空測度滿足一致性條件，以下例子說明了這一點。

可加性條件並非只是一個理論要求，銀行不難發現，有時將兩個交易組合（例如，將股票交易組合和固定收益投資組合）疊加在一起時，疊加後的組合VaR會升高。

譜函數型風險測度

一個風險測度可以通過其分配給損失分佈的分位數的權重來描述。^[3]VaR對第X個分位數設定了100%的權重，而對其他分位數設定了0權重；ES對高於第X個分位數的所有分位數設定了相同比重，而對低於第X個分位數的分位數設定了0比重。我們可以對於分佈中的其他分位數設定不同的比重，並以此定義出所謂的譜函數型風險測度（spectral risk measure）。當譜函數型測度分配給第q個分位數的權重為q的非遞減函數時，該測度一定滿足一致性條件（這種測度滿足次可加性條件）。ES滿足以上要求，但VaR並不滿足以上要求，因為VaR對於高於X的分位數所設定的權重小於對於第X個分位數所對應的權重。研究人員提出了其他形式的風險測度，在這些測度中，第q個分位數的權重隨著q的改變而有較大的變化，其中一種想法是使得第q個分位數所對應的權重與e^{-（1-q）/γ}成比例，這裡的γ為常數，這種權重設定所對應的測度被稱為指數譜函數風險測度（exponential spectral risk measure）。圖12-5展示了當γ為兩種不同的值時，ES及指數譜函數風險測度所對應的不同權重。

圖12-5　在3種情形中，權重作為分位數的函數

注：a）X=90%所對應的ES；b）γ=0.15所對應的指數譜風險測度；c）γ=0.05所對應的指數譜測度。

[1] See P. Artzner, F. Delbaen, J. -M. Eber, and D. Heath, “Coherent Measures of Risk,” Mathematical Finance 9(1999):203-228.

[2] 在組合規模不大時，這樣認為是沒有問題的。但當組合規模變得十分巨大時，其流動性就受到限制，相應地，資本金的要求可能也會提升。

[3] 這裡的分位數（quantiles）也被稱為百分位數（percentiles）或部分分位數（fractiles）。

12.6　VaR和ES中的參數選擇

用戶在計算VaR或者ES時須設定兩個參數：時間展望期及置信度。一個較為普遍的假設是假定交易組合價值變化在某指定展望期服從正態分佈，但正如我們在第10.3節中討論的，一般來說，這並不是一個好的假設。但是在此，討論一下這個假設下的結果還是有意義的。設交易組合損失的均值為μ，標準差為σ

VaR=μ+σN^-1（X）

（12-1）

其中X為置信度，N^-1（·）代表累積正態分佈的反函數（在Excel計算表中，這一項的計算可以通過調用函數NORMSINV來實現）。上式顯示出，對於一個相對較短的時間展望期，μ通常被假定為0，且對應於一定的置信度，VaR與σ成正比。

假設損失服從正態分佈，均值為μ，標準差為σ，置信區間為X的ES為

這裡Y是標準正態分佈第X分位數對應的值（即它是均值為0和標準差為1的標準正態分佈上，有1-X概率被超過的點）。從這裡也能看出，如果假設μ的值為0，則ES和VaR類似，也與σ呈正比。

12.6.1　時間展望期

在計算VaR和ES時，時間展望期的選取要因用途而定。當持倉的流動性很好，交易活躍時，則使用較短的（可能僅有幾天）展望期是合理的。當得出的風險測度不可接受時，管理人員應對交易組合及時進行調整。在這種情況下，一個較長展望期的風險測度意義不大，這是因為在一個較長的展望期內，交易組合的成分往往已經發生較大的變化。

養老基金投資組合的管理人員往往會選擇一個較長的展望期。這是因為此類投資組合的交易行為往往不太活躍，而且組合內的某些資產的流動性也不一定很好。當投資組合的流動性從一種工具變化到另一種工具時，可以更改VaR或ES的定義，以使所考慮的變化從一個市場變量到另一個市場變量都不同。例如，考慮一個由IBM的股票和每年交易少於10次的公司債券組成的投資組合。從IBM的價格變化和債券價格的變化計算出一種風險測度是合理的，其中，我們有99％的把握認為IBM的價格變化將在10天之內不會被超過，有99%的把握認為債券價格的變化不會在60天之內被超過。這是監管機構在《交易賬戶的基本審查》中所採用的方法，將在第18章中進行討論。

無論對應於什麼樣的場合，在考慮市場風險時，風險管理人員往往要首先計算1天展望期的VaR或者ES，對於其他的展望期，一個較為常用的假設為

當交易組合價值的日間變化相互獨立，並服從相同的期望值為0的正態分佈時，以上公式完全正確；對於其他情形，這個公式只是一個近似式。以上公式基於式（12-1）和式（12-2）及以下結果事實：

（1）T個相互獨立並具有等同分佈的標準差等於乘以任意一個分佈的標準差；

（2）多個相互獨立正態分佈的總和仍服從正態分佈。

12.6.2　自相關性的影響

在實際中，投資組合價值每天的變化並不總是相互獨立的，定義ΔP_i為交易組合在第i天的價值變化，一個較為簡單的假設是一階自相關，即對所有的i，假定ΔP_i與ΔP_i-1的相關係數均為ρ。假定對於任意i，ΔP_i的方差為σ²，採用兩個變量之和的方差公式，我們得出ΔP_i-1+ΔP_i的方差為

σ²+σ²+2ρσ²=2（1+ρ）σ²

令ΔP_i-j與ΔP_i的相關係數為ρ^j。因此，我們得出以下計算的標準差的計算公式（見練習題12.11）

表12-1展示了由1天VaR來計算T天VaR時，自相關性（autocorrelation）的影響。在計算中，我們假設交易組合每天價值變化均服從正態分佈，期望值為0。我們應該注意到T天的VaR（ES）和1天的VaR（ES）的比率與每天波動率σ以及置信度均無關，這一結論是基於式（12-1）、式（12-2）及式（12-5）的性質，即T天標準差與1天標準差成正比。將表12-1中ρ=0情形與其他情形進行比較得出：當自相關存在時，由式（12-3）和式（12-4）所估計的VaR和ES會偏低。

表12-1　當存在一階自相關性時，T天的VaR（ES）同1天的VaR（ES）的比率

注：在計算中，我們假定組合的每天價值變化均服從正態分佈，期望值為0，ρ為自相關參數。

【例12-11】　假定某交易組合的每天價值變化服從正態分佈，均值為0，標準差為300萬美元，每天價值變化的一階自相關係數為0.1，由式（12-5）得出，在今後5天交易組合的價值變化的標準差為

因此5天的95%VaR為：726.5N^-1（0.95）=1 195（萬美元）；5天的ES為：726.5×（萬美元）。

注意5天價值變化的標準差同1天價值變化的標準差的比率為726.5/300=2.42。在我們的假設之下，VaR及ES均與標準差成正比，這裡的計算正好對應於表12-1中ρ=0.1及T=5的情形。

12.6.3　置信區間

VaR和ES中選用的置信區間與若干因素有關。假定一家銀行想保持自己的AA信用評級，銀行通過計算得出，具有AA信用評級的公司在1年展望期內只有0.03%的破產可能，因此，銀行在內部管理過程中可以採用99.97%置信區間，並且採用1年的展望期來計算資本金。例如，如果對所有敞口，展望期為1年、置信度為99.97%的VaR為50億美元，則意味著如果銀行擁有50億美元資本金，在1年內破產（即將所有股本損失掉）的可能性只有0.03%。銀行也可將這一信息傳達給評級公司，這一信息表明銀行有資格得到AA信用評級。

在實際計算中所採用的置信區間往往比在銀行報告中採用的置信區間要小得多，這是因為對應於高置信區間VaR的估計會非常困難。提高置信區間的一個常用做法是我們將在第13章中介紹的極值理論。如果每天的價值變化服從正態分佈，期望值為0，那麼我們可以採用式（12-1）與式（12-2）來轉換對應於不同置信區間的VaR和ES。例如，假定σ為對應於某展望期交易組合價值變化的標準差，交易組合價值變化的分佈的期望值為0，對應於置信區間為X的VaR估計為VaR（X），預期虧空為ES（X）。由式（12-1）得出

VaR（X）=σN^-1（X）

以上公式對不同置信區間X均成立，由此我們可知置信區間為X^*的VaR，可以由更低的置信區間X的VaR得出

類似地，由式（12-2）

這裡，Y和Y^*是標準正態分佈上各有（1-X）和（1-X^*）概率被超過的值。

式（12-6）和式（12-7）假定兩個VaR和ES測度具有同樣的展望期，如果我們想同時變換展望期和置信區間，則可以將上述兩式分別與式（12-3）及式（12-4）結合進行計算。

12.7　邊際、遞增及成分VaR測度

假定某交易組合由若干子組合（subportfolio）組成。每個子組合對應不同的資產類別（如國內股票、國外股票、固定收益和衍生產品等）。它們可能對應著銀行不同的業務部門（如零售銀行、投資銀行和自營交易），甚至還可能對應著一筆獨立的交易。分析師有時需要計算每個子組合的VaR或ES等測度。

設對第i個子組合的投資額為x_i，交易組合對第i個子組合的邊際VaR（marginal VaR）是指交易組合的VaR對子組合i的價值變化的敏感度，即

要估算邊際VaR，我們可以將x_i增加一個小的數額Δx_i到x_i+Δx_i，然後重新計算VaR。設ΔVaR是VaR的增量，則我們估計的邊際VaR為ΔVaR/Δx_i。對於一個分散度比較好的投資組合，邊際VaR同資本資產定價模型中的Beta係數有密切關係（見第1.3節）。當一個資產的Beta較高時，這個資產所對應的邊際VaR往往也會較高；當一個資產的Beta較低時，這個資產所對應的邊際VaR會很低，在有些情形下，某資產的邊際VaR為負，這說明增加這一資產的權重會減小投資組合的風險。

第i個子交易組合的遞增VaR（incremental VaR）指該子交易組合對VaR的遞增效應，即交易組合包含此子組合時的VaR與不包含此子組合時的VaR的差。交易員通常對新交易的遞增VaR感興趣。

第i個子交易組合的成分VaR（component VaR）定義為

上式的近似表達式為

要計算成分VaR，我們可以對第i個子交易組合的投資額進行一個小的相對變化y_i=Δx_i/x_i，然後重新計算VaR。假定ΔVaR為VaR的增量，則成分VaR近似為ΔVaR/y_i。在很多情況下，這個近似是合理的。這是因為，如果一個子交易組合的規模相對整個交易組合很小，則我們可以認為邊際VaR在x_i減小到0的過程中保持不變。當採用這個假設後，減小x_i到0的影響為x_i乘以邊際VaR，二者之積就是成分VaR。

邊際預期虧空、遞增預期虧空和成分預期虧空的定義分別與邊際VaR、遞增VaR和成分VaR的定義相仿。

12.8　歐拉定理

由偉大的數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）很多年前發現的一個結果被證明在將一個風險測度指標由整個投資組合向子組合分配時有重要的作用。令V是一個交易組合上的風險測度，而x_i是第i個子組合的大小（1≤i≤M）。假設所有的x_i，當x_i變為λx_i時（即整個交易組合變為原來的λ倍），V變為λV。這對應於第12.5節所述的第三個條件，即線性同質性，這對大部分風險測度是成立的。^[1]

基於上述條件，由歐拉定理，下式是成立的

這一結果提供了將V分配到各個子組合中的方法。

當風險測度為VaR時，根據歐拉定理

這裡，C_i是式（12-8）中給出的第i個子交易組合的成分VaR。這一結果表明，一個交易組合的成分VaR的總和等於交易組合的整體VaR。因此，成分VaR可以方便地將整體VaR分配到子交易組合中。如在前一節中解釋的，成分VaR的另一個吸引人的性質是：一個大交易組合的第i個成分VaR與這一成分的遞增VaR近似。

當以ES為風險測度時，歐拉定理同樣顯示交易組合的整體ES是所有成分ES的和：

由此，與VaR類似，ES也可以被分配到各個不同的業務部門中。在第26章中，我們會介紹怎樣使用歐拉定理對銀行的經濟資本金在各個業務部門中進行分配。

通過歐拉定理，交易組合的風險可以按組成成分被分解，這對確定所謂的風險預算（risk budgeting）非常有用。風險預算的目的就是在交易組合的不同組成成分之間分配風險。如果通過歐拉分解發現分配給某一成分的風險過高，則交易組合就需要重新調整。

[1] 對一個納入了流動性的風險測度可能不成立。當一個交易組合變得很大時，它的流動性會變差。

12.9　VaR和ES的聚合

有時，風險管理部門可能會使用同樣的展望期和置信區間計算銀行不同業務領域的多個VaR，並希望將這些VaR聚合起來求得整體VaR。以下公式可以達到這一目的

其中VaR_i是第i項業務的VaR，VaR_total是整體VaR，ρ_ij是業務i的損失和業務j的損失的相關係數。上式在損失（收益）期望為0的正態分佈下嚴格成立，並且在其他情況下也提供了很好的估計。將式（12-10）中的VaR替換為ES，所得結果仍然是正確的。

12.10　回溯測試

回溯測試是一種重要的衡量風險測度在現實中的表現的手段。在回溯測試中，我們會驗證當前採用的風險測度計算過程如果被用於過去，其表現會如何。對VaR的回溯測試會比ES更簡單，這也解釋了為什麼過去監管機構並不情願把用於市場風險的VaR模型轉換為ES模型。在第18章中我們會解釋，監管部門的計劃是在將來，ES模型會被用來計算監管資本金，而回溯測試還是會依賴VaR的測算。

假設我們開發出一個計算1天的99%VaR的模型。在回溯測試中，我們要找出來交易組合在1天內的損失有多少次超出了1天的99%VaR，實際損失超出VaR情形被稱為例外（exception）。如果例外的天數大約佔整體天數的1%，則我們應該對我們的VaR模型表現感到欣慰。但是，如果例外的天數佔整體天數的比例遠大於1%（例如7%），則我們有理由認為VaR的估計偏低。從監管部門的角度來看，由這樣的VaR而得出的資本金數量會太低。此外，如果例外情形發生的頻率遠低於1%（例如0.3%），則我們有理由認為這裡的VaR估計偏高，由此而得出的資本金數量偏高。

在對1天的VaR進行回溯測試時，我們要考慮在日內交易組合本身的變化。對這一問題有兩種處理方式：第一種方式是假定交易組合的構成沒有任何變化，在這一假設之下，我們可以計算交易組合的價值變化，完成計算之後，將VaR與這一理論價格變化（hypothetical changes）進行比較；第二種方式是將VaR同交易組合價值的真實變化進行比較。在VaR的計算過程中，我們必然要假設在展望期內沒有任何新的交易，正因為如此，將VaR同第一種方式中計算所得的理論價格變化進行比較看起來更為合理。但是，在我們的分析過程中，交易組合的實際價格變化才是我們管理的重心。在實踐中，風險管理人員常常將VaR既同理論價值變化進行比較，也同實際價值變化進行比較（事實上，監管機構堅持在回溯測試中，VaR要與交易組合的真實及理論價值變化同時進行比較）。在計算真實價格變化時，一些與市場風險無關的項目必須被剔除出來，這些項目包括手續費收入及一些非市場中間價格的交易（買入與賣出價格的平均）帶來的損益等。

假定VaR的展望期為1天，置信度為X%。如果VaR模型準確無誤，那麼每天的損失超出VaR的概率p=1-X/100。假定我們總共有n個觀察日，在所有的觀察日中有m天損失超出了VaR。假定m/n>p，因為VaR的估計太低，我們在這裡應該拒絕這個模型嗎？將我們的問題表達得更正式一些，我們考慮以下兩種對立假設：

（1）對應任意一天，例外發生的概率為p；

（2）對應任意一天，例外發生的概率大於p。

這裡的例外是指實際損失超出了VaR的估計。從二項式分佈的性質得出，有m或更多天的天數損失超出VaR的概率為

以上計算可通過Excel中的函數BINOMDIST來實現，在統計假設檢驗中，一個經常被選定的置信度為5%，如果在所有觀察日中，有m或更多天實際損失超出VaR的概率小於5%，那麼我們可以拒絕第一種假設，即例外發生的概率為p；當m或更多天實際損失超出VaR的概率大於5%時，我們不能拒絕第一種假設。

當例外個數m小於例外的期望值時，我們可以採取一個類似的方法來檢驗例外發生的真正概率是否為1%（在這時，我們的對立假設為例外發生的概率小於1%）。此時有m個或更少例外發生的概率為

這一數值要與5%閾值來進行比較。

在這裡我們所考慮的檢驗均為單向檢驗。在例12-14中，我們假定例外發生的概率是1%或者大於1%，在例12-15中我們假定例外發生的概率是1%或者小於1%。Kupiec（1995）開發出一個很有效的雙向檢驗^[1]（two-tailed test）方法。假定在VaR中例外發生的概率為p，而在n個觀察日中例外發生了m次，變量

-2ln［（1-p）^n-mp^m］+2ln［（1-m/n）^n-m（m/n）^m］

（12-11）

應該服從具有一個自由度的chi-平方分佈（chi-square distribution）。當例外發生的次數很高或者很低時，由式（12-11）所計算的統計量會較大。在一個自由度的chi-平方分佈中，統計量大於3.84的概率為5%，因此，當式（12-11）所計算出的值大於3.84時，我們就可以拒絕模型。

一般來講，當VaR置信度增大時，回溯測試的難度也會提高。因此，有觀點認為，應使用相對較低的置信區間來計算VaR，以方便進行回溯測試，然後再使用極值理論（見第13章）來得到足夠高的置信度。

聚束狀態

除了例外發生的頻率這個問題外，我們還要討論聚束狀態（bunching）。如果交易組合的每天價值變化是獨立的，那麼例外的發生應該比較均勻地分佈在回溯測試的區間之內。在實踐中，我們發現例外的發生往往聚束在一起，這說明了連續交易日之間的損失分佈並非獨立。一種檢測聚束狀態的方法是採用由Christofferson（1998）提出的統計量^[2]

其中u_ij為在某天我們處在i狀態而在第二天處在j狀態產生的次數。當聚束狀態不存在時，以上定義的統計量服從有一個自由度的chi-平方分佈，這裡狀態0定義為某一天沒有例外發生，而狀態1定義為在某一天有例外發生，再有

[1] See P. Kupiec, “Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Management Models,” Journal of Derivatives 3(1995):73-84.

[2] See P. F. Christoffersen, “Evaluating Interval Forecasts,” International Economic Review 39(1998):841-862.

小結

計算在險價值（VaR）是為了能夠做出以下陳述：“在X%的把握下，在時間段T內，我們的損失不會超出V。”這裡的變量V就是所謂的VaR，X%為置信度，T為展望期。VaR已經成為一個非常流行的風險測度。另外一種更具有良好特性的測度是預期虧空（ES），這一測度的含義為在損失大於VaR的條件之下損失的期望值。在第18章中我們將會解釋，目前監管機構正將市場風險的測度由VaR向ES過渡。

當交易組合價值變化服從正態分佈時，可以很容易地根據T內投資組合價值變化的平均值和標準差來計算VaR和ES。再有，當每天投資組合價值的變化相互獨立並且服從均值為0的正態分佈時，N天的VaR（ES）值可由1天的VaR（ES）乘以而求得。當每天的變化相互獨立的條件不滿足時，我們可以採用另外一個較為複雜的公式來將1天的VaR轉換為N天的VaR。在實踐中，損失分佈通常比正態分佈具有更肥大的尾部，冪律是一種使用經驗數據對損失分佈的尾部建模的方法，該方法的理論基礎是極值理論，我們將會在第13章中介紹這一方法。

假定一個交易組合由一定數量的子交易組合構成，一個交易組合對於第i個子交易組合的邊際VaR或ES等於交易組合的VaR或ES對於這一子交易組合規模的偏導數。某個子交易組合的遞增VaR或ES等於這個子交易組合對於整個VaR或ES的遞增效應。採用歐拉公式我們可以將VaR或ES按子交易組合的持倉分解為不同成分。成分VaR或ES的總和等於整體VaR或ES。對於一個較大的交易組合，如果每一個成分相對較小，那麼每個成分VaR或ES與遞增VaR近似相等。

回溯測試是風險管理中的一項重要活動。回溯測試是為了檢驗某風險測度應用於歷史數據時表現如何。對VaR的回溯測試較為容易。如果例外發生（即實際發生的損失超出了VaR的值）的比例過高或過低，則意味著VaR模型可能存在缺陷。我們可以利用統計檢驗來判別是否應接受或拒絕某個VaR模型。我們將在第15章中看到，監管機構設定了銀行計算市場風險資本金時所用的VaR乘積因子規則。如果發現銀行的VaR在過去的250天回溯測試中表現欠佳，則監管機構有權增加乘積因子的值。

延伸閱讀

練習題

12.1　VaR與ES的區別是什麼？同VaR比較，ES在理論上的優勢是什麼？

12.2　什麼是譜函數型風險測度？一個譜函數型測度必須滿足什麼樣的條件才可以使得第12.5節中的次可加性條件成立？

12.3　一個基金經理的公告聲明，其管理的基金是1個月展望期的95%的VaR等於投資組合價值的6%，假設你在基金中有10萬美元的投資，你將如何理解基金經理公告？

12.4　一個基金經理的公告聲明，其管理的基金1個月展望期的95%的ES等於投資組合價值的6%，假設你在基金中有10萬美元的投資，你將如何理解基金經理公告？

12.5　假設某兩項投資中的任何一項都有0.9%的可能引發1000萬美元損失，而有99.1%的可能引發100萬美元損失，這兩項投資相互獨立：

（a）對應於在99%的置信水平，任意一項投資的VaR是多少？

（b）選定99%的置信水平，任意一項投資的ES是多少？

（c）將兩項投資迭加在一起所產生的投資組合對應於99%置信水平的VaR是多少？

（d）將兩項投資迭加在一起所產生的投資組合在99%置信水平的ES是多少？

（e）請說明此例中的VaR不滿足次可加性條件，但是ES滿足次可加性條件。

12.6　假定某交易組合的每天價值變化服從正態分佈，分佈的期望值為0，標準差為200萬美元：（a）1天展望期的97.5%VaR為多少？（b）5天展望期的97.5%VaR為多少？（c）5天展望期的99%VaR為多少？

12.7　如果每天價值變化的一階自相關係數等於0.16，對於練習題12.6中（b）和（c）的答案應要進行什麼樣的修改？

12.8　如果某交易組合由若干資產組成，請詳細解釋邊際VaR、遞增VaR以及成分VaR之間的區別。

12.9　假定我們採用1 000個歷史數據來對VaR模型進行回溯測試，VaR所採用的置信度為99%，在觀察日中我們共發現了17個例外，選用5%的置信水平，我們是否應該拒絕模型？在測試中請採用單向檢測。

12.10　請解釋聚束狀態的含義。

12.11　請證明式（12-5）。

12.12　交易組合在1個月內的變化服從正態分佈，均值為0，標準差為200萬美元，計算98%置信度下，3個月展望期的VaR和ES。

作業題

12.13　假定某兩項投資的任何一項都有4%的概率會引發1000萬美元損失，有2%的概率引發100萬美元損失，有94%的概率盈利100萬美元，兩項投資相互獨立：

（a）對應於95%的置信水平，任意一項投資的VaR是多少？

（b）選定95%的置信水平，任意一項投資的ES是多少？

（c）將兩項投資迭加在一起所產生的投資組合對應於95%置信水平的VaR是多少？

（d）將兩項投資迭加在一起所產生的投資組合對應於95%置信水平的ES是多少？

（e）請說明此例的VaR不滿足次可加性條件，但是ES滿足次可加性條件。

12.14　假定一個交易組合的每天價值變化的一階自相關係數為0.12，由1天的VaR乘以而產生的10天的VaR為200萬美元，將自相關考慮在內時，VaR的最佳估計為多少？

12.15　假設我們採用1 000天數據來對VaR進行回溯測試，VaR所採用的置信水平為99%，在1000天數據中我們觀察到15個例外，在5%置信水平下我們是否應該拒絕VaR模型？在檢驗中請採用Kupiec雙向檢驗。

12.16　交易組合在3個月內的變化服從正態分佈，均值為50萬美元，標準差為300萬美元，計算在99.5%置信度下，3個月展望期的VaR和ES。

12.17　一個交易組合在1個月內損失超過1000萬美元的概率為5%：

（a）假設組合價值變化服從均值為0的正態分佈，1個月展望期的99%置信度的VaR是多少？

（b）假設冪律成立且α=3，1個月展望期的99%置信度的VaR是多少？

第13章
歷史模擬法和極值理論

在這一章中，我們將介紹一種計算市場在險價值（VaR）和預期虧空（ES）最常用的歷史模擬法（historical simulation）。歷史模擬法採用市場變量日間變化的歷史數據來直接估計交易組合從今天到明天的價值變化的概率分佈。

在描述歷史模擬法的機制之後，我們將介紹幾種如何提高計算準確性的方法。我們還會討論壓力VaR（stressed VaR）和壓力預期虧空（stressed ES）。這兩項指標被監管機構用於市場風險監管資本金的計算。最後，我們將討論極值理論。極值理論可以改進對VaR和ES的估計，並用來處理對置信水平要求比較高的情況。

本章講述的所有模型都通過一個由4個股票指數組成的投資組合來講解。這些指數的歷史數據和VaR及ES計算過程可以在本書的網站下載：www-2.rotman.utoronto.ca/～hull/RMFI/VaRExample。

13.1　方法論

歷史模擬法以歷史數據為依據來預測將來。假設，我們採用過去501天的歷史數據來計算1天展望期對應於99%置信水平的VaR（這裡選擇的展望期及置信水平是市場風險管理過程中一種典型的選擇，在實際計算中常常流行採用501天的歷史數據，並由此產生500個情景）。

歷史模擬法的第一步是選定影響交易組合的風險源，這些風險源可能是匯率、股價、利率等，然後我們需要收集這些風險源在過去最近501天的數據，通過這些數據我們可以得出從今天到明天市場變量的500種不同變化情景。我們將數據開始的第1天記為D0（day 0），數據開始的第2天記為D1（day 1），依此類推。情景1（scenario 1）是指由D0到D1所對應數據的變化比率；情景2是指由D1到D2所對應數據的變化比率，依此類推。對於每一個情景，我們可以計算從今天到明天的交易組合的價值變化，由此我們可以得出交易組合日損失（即收益為負）的概率分佈圖，分佈中所對應的99%的分位數是500個計算數值中第5個最壞的損失，VaR的估計值是第99個百分比分位數所對應的損失。^[1]假如市場變量的變化是從過去500天提取出來的，這些變量的變化代表從今天到明天變化的不同可能，那麼我們可以有99%的把握肯定，交易組合所對應的損失會小於VaR的估計值。ES是損失分佈中1％的尾部分佈的平均損失。VaR是第5個最大損失值，因此，ES的估計值是比VaR更大的損失的平均值（即第4個最大損失值）。^[2]

採用代數符號描述這一過程，我們將某市場變量在第i天所對應的數值記為v_i，假定今天為第n天，歷史模擬法產生的市場變量在明天所對應的第i個情景為

對於某些變量，如利率、信用價差和波動率，考慮市場變量的實際變化而不是百分比變化，那麼式（13-1）變為

v_n+v_i-v_i-1

為了簡化討論，在本章的其餘部分中，我們將假設歷史模擬基於潛在市場變量的百分比變化。

13.1.1　過程說明

為了說明計算過程，假定一個投資者在2008年9月25日持有一個價值為1000萬美元的投資組合，組合中有4個股票指數：美國道瓊斯工業指數（DJIA）、英國富時100指數（FTSE 100）、法國巴黎40指數（CAC 40）以及日本日經225指數（Nikkei 225）。每個指數在2008年9月25日的取值如表13-1所示，讀者可以在作者網站上下載含有這4個指數過去501天收盤價格的歷史數據及計算VaR的Excel表單，見www-2.rotman.utoronto.ca/~hull/RMFI/VaRExample，^[3]本節中用的計算可以在工作表1～3中找到。

表13-1　用於演示VaR計算過程的投資組合

因為我們考慮的是一個美國的投資者，所以FTSE 100、CAC 40和Nikkei 225這些指數都應該以美元計價。例如2008年8月10日，FTSE 100為5 823.40點，而匯率為1英鎊元兌換1.891 8美元。這意味著，以美元計價的指數為5 823.40×1.891 8=11 016.71。表13-2顯示了以美元計價的指數數據的一部分。

表13-2　採用歷史模擬法計算VaR所需要的股票指數數據　（美元）

2008年9月25日是檢驗股票投資表現非常有意思的一天。2007年8月開始的信用危機已經持續了1年，股票價格持續下跌了幾個月。在這期間，波動率增大，雷曼兄弟在10天前已經申請破產，美國財政部的7000億美元受困資產救助資金（trouble asset relief program，TARP）還沒有在國會通過。

表13-3顯示了市場變量在2008年9月26日對於選定情景的取值。情景1（表13-3的第1行）是在假定9月25日和26日的市場價格百分比變化等同於2006年8月7日和8日市場價格的百分比變化的情景下，市場變量在2008年9月26日的預測值；情景2（表13-3的第2行）是在假定9月25日和26日的市場價格百分比變化等同於2006年8月8日和9日市場價格的百分比變化的情景下，市場變量在2008年9月26日的另一種預測；依此類推。一般來講，情景i（表13-3的第i行）假定9月25日和26日的市場價格百分比變化等同於歷史數據中第i-1天與第i天的百分比變化（1≤i≤500），情景i定義了市場變量在2008年9月26日的第i種預測。表13-3中的500行就是我們考慮的500個情景。

表13-3　由表13-2的數據所產生的對於2008年9月26日市場變量的不同情景　（所有指數以美元計）

2008年9月25日，DJIA的值為11 022.06，2006年8月7日為11 219.38，2006年8月8日下跌為11 173.59，因此，DJIA在情景1下的預測值為

與此類似，在情景1下，FTSE 100、CAC 40、Nikkie 225的預測值分別為9 569.23、6 204.55和115.05。因此在情景1下，組合資產價值為（以千美元計）

在情景1下，組合收益為14334美元，對於其他情景，我們可以進行類似的運算。在圖13-1中，我們展示了損失分佈的直方圖（柱條代表損失（以千美元為計）出現在450～550、350～450、250～350的次數）。

圖13-1　2008年9月25日和26日損失分佈的直方圖（頻率圖）

然後我們將500個不同的損失進行排序，最終結果的一部分被展示在表13-4中，損失最糟糕的情景對應於情景494（其股指變化對應於雷曼兄弟破產那一天的股指變化）。在1天展望期及99%置信區間下，VaR對應於損失中第5個最糟的情景，為253 385美元。

表13-4　對應500個情景損失的排序

如第12.6節所示，10天展望期及99%置信區間的VaR等於乘以1天展望期及99%置信區間的VaR，10天的VaR等於美元。

在我們的例子中，每天計算VaR時，都應採用最近501天的數據。例如，考慮2008年9月26日（第501天）的情景，我們可以確定所有市場變量所對應的新值，並計算出相應的交易組合的價值。我們可以根據前面描述的過程來求得一個新的VaR。在計算中將採用2006年8月8日～2008年9月26日（第1天到第501天）的數據（我們可以由市場變量的百分比變化來確定500個觀察值，2006年8月7日，即第0天的數據將不再會被使用）。類似地，在下一個交易日，即2008年9月29日（第502天），在計算VaR時，我們將採用2006年8月9日～2008年9月29日的數據；依此類推。

在實際中，一個銀行的交易組合遠比我們在這裡考慮的情形要複雜，銀行的交易組合可能會包括成千上萬的頭寸，銀行的某些頭寸常常是遠期合約、期權和其他衍生產品，而且交易組合本身也在不斷變化。如果一家銀行的交易使得組合變得風險更大，10天展望期的99%VaR一般會增大；如果交易使得組合變得風險更小，10天展望期的99%VaR一般會減小。對於任意一天VaR的計算，我們須假定組合頭寸在兩個交易日之間保持不變。

在計算VaR時，我們考慮的市場變量包括匯率、商品價格和利率等。對於利率，為了能夠對相應的交易組合定價，銀行常常需要不同貨幣的由短期國債、LIBOR和OIS所生成的零息利率期限結構的信息。生成這些期限結構的互換利率和債券收益率就是VaR計算所考慮的市場變量（見附錄B）。任意貨幣的零息曲線都可能會涉及十幾個市場變量。

13.1.2　ES

使用歷史模擬來計算ES時，我們可將觀察到的損失分佈的尾部值取平均。在上面的例子中，最壞的4個情景（以千美元計）是494、339、349和329（見表13-4）。這些情景的平均損失為345630美元，這就是我們對ES的估計。

13.1.3　壓力VaR和壓力ES

前面給出例子中，計算某日的VaR或ES時，我們總是用最近的數據來進行歷史模擬。例如，在第4個例子中，計算VaR或者ES時，我們用到的是最近501天的歷史數據。我們將以此方式計算的VaR和ES稱為當前VaR和當前ES，但實際上，歷史模擬法可採用過去任意時間段的數據。使用波動率較高的時段的數據，預測出的VaR和ES就會較高；使用波動率較低的時段，預測的VaR和ES就會較低。

監管機構已經引入了被稱作壓力VaR和壓力ES的風險測度。要計算這些測度，金融機構首先要尋找一個251天的時間段。在這251天的時間段中，其現有投資組合的VaR或者ES會最大。然後，這251天的歷史數據會扮演前面例子中501天時間段中數據的角色。251天中第0天和第1天之間的市場變化被用來產生情景1，第1天和第2天之間的變化被用來產生情景2，依此類推，這樣總共會生成250個情景。展望期為1天、置信度為99%的壓力VaR是第二大損失和第三大損失之間的中間值。展望期為1天、置信度為99%的ES的估計量是兩個最大損失的平均值。^[4]

[1] 在這裡我們有不同的選擇，在這時我們既可以選取第5個最壞或第6個最壞所對應的數值，或者第5個最壞及第6個最壞的平均值，來作為500個抽樣數據中的1%的分位數。在採用Excel計算表的PERCENTILE函數時，假定有n個觀察值，k為某個整數，k/（n-1）分位數是對應於觀察值名列第k+1的數據值，而其他的分位數由線性插值計算求得。

[2] 第1個頁下注指出，可以根據離散數據估算出其他的VaR值。ES也是如此。例如，我們可以對5個最壞的觀察結果取平均值（包括VaR估計值）。另外，我們也可以將第5個最大損失值的權重設為其他4個值權重的一半。這裡提出的建議似乎符合市場慣例。

[3] 為了簡化例子的計算，我們只包括了所有4個股指都開放交易的日期。這解釋了我們為什麼需要2006年8月7日～2008年9月25日這麼長的時間段來提取501個數據。在實際中，在對美國的金融機構進行分析時，我們要對非美國假日的數據進行補充。

[4] 這些不是唯一的方法。VaR可以估計為第三大損失值或第二大損失值（美國聯邦儲備委員會等一些監管機構更喜歡後者）。ES的算法是0.4c₁+0.4c₂+0.2c₃，其中c₁、c₂、c₃是三個最大的損失值，並且c₁>c₂>c₃。

13.2　VaR的精確度

在歷史模擬法中，對於交易組合價值變化分佈的估計是基於過去發生的有限的觀察值，正因為如此，歷史模擬法對分佈的分位數的估計並不是絕對精確的。

Kendall和Stuart（1972）的研究結果給出了由抽樣數據所計算出的概率分佈的分位數的置信區間。^[1]假定概率分佈的第q個分位數的估計值為x，這一估計的標準誤差為

其中n為觀察值的個數，f（x）為對應於損失量為x的損失分佈的密度函數值，這一函數值可以通過將經驗數據與已知分佈進行匹配來估計。

【例13-1】　假如我們採用500個觀察數據來估計損失分佈的99%分位數（第99個分位數），這時n=500，q=0.99。我們可以通過採用某性質已知的標準分佈來對實證數據進行擬合，並由此來求得f（x）的近似值。假定我們選擇正態分佈作為該標準分佈，最佳擬合參數分別為期望值為0，標準差為1 000萬美元。在Excel中，99%分位數所對應數值為NORMINV（0.99，0，1 000）=2 326萬美元，f（x）的取值為

NORMDIST（2 326，0，1 000，FALSE）=2.7

分位數估計值的標準誤差為

假如採用歷史模擬法所求取的0.99分位數的估計值為2 500萬美元，在95%置信程度下VaR的置信區間為2 500-1.98×167～2 500+1.96×167，即2 170萬～2 830萬美元。

例13-1說明，歷史模擬法所求得VaR的估計的標準誤差較大，隨著置信度的下降，標準誤差也會降低。例如，假定例13-1中VaR所對應的置信程度為95%而不是99%，標準誤差會由167萬美元降至95萬美元。標準誤差隨著抽樣數據數量的增加會有所降低，但標準誤差的大小僅僅與數據量的平方根成反比。如果將例13-1所對應的抽樣數據增加3倍，即由500個增至2 000個，標準誤差僅減小一半，即由167萬美元降至83萬美元。

另外，我們應該認識到歷史模擬法假設市場變量每天變化的聯合分佈是不隨時間的推移而變化的。這一條件在計算VaR過程中往往不完全成立，因此，這對VaR的估計增加了一定的不確定性。

對於表13-1～表13-4的數據，損失的均值（以千美元計）為0.870，標準差為93.698。假定損失服從正態分佈，採用與例13-1類似的計算得出，f（x）為0.000 284，估計的標準誤差（以千美元計）等於

VaR等於253 385美元，相應的95%的置信區間為［220 000美元，280 000美元］。

對於損失估計，採用正態分佈的假設並不一定很好，這是因為損失分佈比正態分佈有更肥大的尾部（表13-1和表13-2中數據的損失分佈的超額峰度為4.2）。要獲得更好的標準誤差估計，f（x）可被假設為服從帕累託分佈（Pareto distribution），我們在第13.5節中將對這一分佈進行討論。

[1] See M. G. Kendall and A. Stuart, The Advanced Theory of Statistics, vol.1, Distribution Theory, 4th ed. (London: Charles Griffin, 1972).

13.3　歷史模擬法的擴展

對非壓力VaR和ES使用歷史模擬法計算的一個關鍵假設是歷史在某種意義上是對將來的一種指導。更為準確地講，即假設由過去幾年數據得出的關於市場變量的實證概率分佈，是對明天市場變量行為的一個指導。不幸的是，市場變量的行為並非平穩的，有時市場波動率會很高，有時會很低。在這一節中，我們將提出第13.1節中的基本歷史模擬法的幾種拓展方法，這些拓展的目的是對歷史數據非穩態的情況進行調整。我們還會介紹一種被稱作自助法的統計方法，該方法可用來確定標準誤差。

13.3.1　對觀察值賦權

在最基本的歷史模擬法中，過去每一天觀察值所對應的權重都相等。更精確地講，當我們採集了n天的日價格變化數據後，我們對於這n個觀察值中任意一個所設定的權重均為1/n。Boudoukh（1998）等建議，對最近的觀察數據應該賦予更大的權重，這可以保證模型充分反映當前市場波動率以及當前市場經濟環境的變化。^[1]一種較為自然的權重選擇是使得觀測值的權重隨時間回望期的延伸而呈指數遞減（在第10章中介紹指數加權平均移動模型時，我們曾經對這一方法進行過討論）。情景1所對應的權重（對應於最遙遠的數據）等於λ乘以情景2的權重，情景2所對應的權重等於λ乘以情景3的權重，依此類推。所有權重之和為1，情景i所對應的權重為

其中n為觀察值的天數。當λ趨向於1時，這一權重趨向於基本歷史模擬法的權重，也就是說權重趨向於1/n（見練習題13.2）。

將所有的觀察值由最壞到最好進行排序，我們可以計算出VaR。由損失最壞的情景開始，我們開始累積計算每一項權重的和，當權重總和達到某指定的分位數界限時，停止計算。例如，假定我們需要計算置信程度為99%的VaR，將觀察數據排序後，我們由最壞的損失開始計算權重和，當權重和剛好超過0.01時，我們停止計算。這時所對應的損失恰恰是置信程度為99%的VaR。對於最佳參數λ的選取，我們可以通過實驗不同的λ，並選擇在回顧檢驗中表現最佳的。與一般的歷史模擬法相比，指數加權方法的缺點在於其應用的有效抽樣的數量較小，但採用一個較大的n是對這一缺陷的補救。事實上，隨著時間的推移，我們並不需要捨棄那些較為陳舊的數據，因此它們對應的權重很低。