附錄A
利率複利頻率

某銀行聲明1年期儲蓄利率為每年10%，這句話雖然聽起來簡單明瞭，但事實上，其準確的含義依賴利率的計量方式。

假定利率計量方式為每年複利1次，則銀行聲明中給出的10%利率是指100美元的投資在年終會變成

100×1.1=110（美元）

當利率計量方式為每年複利2次時，這意味著每6個月會有5%的利息收入。如果利息也被用於再投資，則100美元的投資在1年後會增長為

100×1.05×1.05=110.25（美元）

當利率計量方式為每年複利4次時，這意味著每3個月會有2.5%的利息收入。假定投資所得利息均用於再投資，100美元的投資在1年後會增長為

100×1.025⁴=110.38（美元）

表A-1顯示出複利頻率的增長對投資回報的影響。

利率複利的頻率定義了利率的計量方式，一個一年複利1次的利率可以被轉換成一個以不同頻率複利的利率。例如，由表A-1我們可以看出，一年複利1次計息利率10.25%與一年複利2次計息利率10%等價。利率在不同計息頻率下的相互關係可類比為公里同英里的關係，它們是兩個不同的計量單位。

為了推廣以上結果，我們假設將A數量資金以一年複利1次利率投資n年，投資的終值為

A（1+R）ⁿ

如果利率對應於一年複利m次利息，投資終值為

m=1時所對應的利率有時被稱為年等價利率（equivalent annual interest rate）。

連續複利

複利頻率趨於無窮大時所對應的利率就被稱為連續複利（continuous compounding）利率，^[1]在連續複利情況下，我們將A數量資金投資n年，投資的終值為

Ae^Rn

（A-2）

這裡的e=2.71828，在大多數計算器中都有計算函數e^x的功能，所以式（A-2）不會產生任何問題。在表A-1的例子中，A=100，n=1，R=0.1，以連續複利計息，A數量資金在投資1年後將增長到

100e^0.1=110.52（美元）

這個精確到小數點後兩位的數值與用每天覆利所得的結果一樣，在大多數情況下，我們認為連續複利與每天計算複利等價。對一筆資金以連續複利利率R滾動n年，其效果是相當於乘上e^Rn項。而對一筆在第n年的資金以連續複利利率R進行貼現，其效果是相當於乘上e^-Rn。

假設R_c是某一連續複利利率，R_m是與之等價的每年m次複利利率。由式（A-1）及式（A-2），我們得出

及

這就是說

及

R_m=m（e^R_c/m-1）

（A-4）

這些公式可將每年m次複利的利率轉換為連續複利的利率，反之亦然。函數ln是大多數計算器設有的自然對數功能。此函數的定義是：如果y=ln（x），則x=e^y。

[1] 在精算領域，連續複利利率也被稱為利息力（force of interest）。