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25.8　構建模型過程中的誤區

建立模型的精髓是保證模型能夠抓住產品定價和對衝的要點，同時又不能過於複雜。有時，為了抓住產品的重要特性的要求，模型不得不變得複雜，但情況並非總是如此。

模型構建中一個誤區是過度擬合（over-fitting）。考慮表25-1所定義的波動率曲面，我們可以擴展布萊克-斯科爾斯-默頓模型，使波動率成為標的資產價格和期限的某種複雜函數，^[1]這對於某些應用程序可能是可取的，但是模型將變得很複雜而難以使用。我們可能會發現與簡單模型相比，擴展模型的其他一些性質不夠合理。特別是，資產價格在多個時間點的聯合概率分佈變得不夠合理，而且在某些情況下，模型給出的未來波動率曲面與今天市場上觀察到的波動率曲面相比，可能變化會非常大。^[2]

模型構建中的另一個潛在錯誤是過度參數化（over-parameterization）。我們可以擴展布萊克-斯科爾斯-默頓模型，加入隨機波動率或標的資產價格的跳躍等特性。這樣做不可避免地會引入更多需要估計的參數，使模型更難使用。通常認為，複雜模型中的參數比簡單模型中的參數更穩定，不需要逐日調整。這可能是真的，但是應注意我們不是在處理物理過程。雖然複雜系統的參數在某一個較長的時間會相對穩定，但在一段時間後，參數可能會發生變化，這可能是因為存在經濟學家所說的“常態轉型”（regime shift）的現象。在常態變化發生之前，金融機構可能會認為複雜模型是對簡單模型的改進，但是在變化發生以後，這些複雜的模型可能沒有靈活性來應付不斷變化的市場情況。^[3]

正如我們剛剛討論的那樣，簡單模型通常是最成功的。用戶通常對複雜模型持懷疑態度，他們認為這些模型是“黑匣子”（black box），並認為這些模型在直觀上很難理解。在某些情況下，由於以上討論的原因，這種懷疑態度是有根據的。

[1] 這一隱含波動率函數模型在以下論文中被提出：B. Dupire, “Pricing with a Smile,” Risk, 7(February 1994), 18-20; E. Derman and I Kani, “Riding on a Smile,” Risk, 7(February 1994), 32-39; M. Rubinstein, “Implied Binomial Trees,” Journal of Finance 49, 3(July 1994), 771-818。

[2] 如果模型能匹配將來各個時間點的波動率，則對未來收益只依賴即時資產價格的產品，這類模型可以準確地定價。但對障礙期權或複合期權等產品的定價就不那麼準確，這些產品的價格與標的資產在不同時間點的價格的聯合分佈有關。赫爾和索吾林教授發現，隱含波動率函數模型對於複合期權的定價大體上合理，但是對於障礙期權會產生較大的誤差，見J. C. Hull and W. Suo, “A Methodology for the Assessment of Model Risk and its Application to the Implied Volatility Function Model,” Journal of Financial and Quantitative Analysis, 37, 2(June 2002), 297-318。

[3] 經濟學家羅伯特·盧卡斯在1976年提出的著名的盧卡斯評論中討論了這類社會科學問題的性質。參見R. Lucas, “Economic Policy Evaluation: A Critique,” Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy 1(1976):19-46。