e1 John Hull 風險管理與金融機構 v5: 23.7 冪律的應用

e1 John Hull 風險管理與金融機構 v5

23.7　冪律的應用

在第10.4節中，我們介紹過冪律。該定律闡明對於許多變量，以下關係式成立

Prob（v > x）=Kx^-α

其中v代表變量的值，x是v所取的一個較大數值，K及α均為常數。在第13.5節中討論極值理論時，我們曾討論過冪律的理論基礎以及最大似然估計的過程。

DeFontnouvelle等（2003）採用由外部供應商給出的數據證明了銀行所經歷的大額損失服從冪律。^[1]這一結果使計算高置信度（如99.9%）的VaR變得更加簡單。應用內部及外部數據和情景分析，我們可以通過第13章所介紹的最大似然估計法估計冪律中的參數。損失分佈中第99.9%百分位數可以由式（13-9）估算得出。

當我們對損失分佈進行迭加時，具有最肥尾部的分佈往往會最顯著，這意味著具有冪律中最低的α值的損失會決定整體損失分佈的尾部極值。^[2]因此如果在計算中我們僅僅是對整體操作損失的尾部極值感興趣，那我們僅需考慮一到兩個業務類別與損失類型不同的組合。

[1] See P. de Fontnouvelle, V. DeJesus-Rueff, J. Jordan, and E. Rosengren, “Capital and Risk: New Evidence on Implications of Large Operational Risk Losses,” Journal of Money, Credit and Banking 38, no.7(October 2006):1819-1846.

[2] 在第13章中，參數ξ與1/α相等，因此具有最大ξ值的損失分佈會決定尾部的極值。