e1 John Hull 風險管理與金融機構 v5

13.6　極值理論的應用

考慮表13-1～表13-4中的數據。當u=160時，nu=22（即有22個情景損失大於160，以千美元計），表13-10顯示了對於β=40和ξ=0.3時的計算。這時，由式（13-7）給出的似然函數的對數為-108.37。

表13-10　對於表13-4的極值理論計算，u=160、β=40及ξ=0.3

採用Excel計算表中的Solver程序，我們可以求得使得似然函數達到最大值的β和ξ的取值為

β=32.532　　ξ=0.436

最大似然函數的對數為-108.21。

假定我們希望估計交易組合在2008年9月25日和9月26日之間，損失大於300 000美元（交易組合價值的3%）的概率，由式（13-8）得出，這一概率為（以下計算式中的金額均以千美元計）

這比從觀察值直接數出來要更為準確。類似地，損失大於500 000美元（交易組合價值的5%）的概率為0.000 86。

由式（13-9）得出，在99%的置信區間下的VaR值為

即227 800美元（在本例中，估計的VaR比觀察到的第五大損失少25 000美元）。在99.9%的置信區間下的VaR值為

即474 000美元。當置信度進一步增大到99.97%時，VaR值為

即742 500美元。

式（13-10）可用來提高ES估計的準確度，並可以提升ES估計的置信度。在我們的例子中，當置信水平為99%時，ES為

即337 900美元。當置信水平為99.9%時，ES為

即774 800美元。

極值理論可以用於非壓力或壓力風險測度，也可以比較容易地與第13.3節的波動率調節過程結合起來使用（見練習題13.11）。它還可以與第13.3節討論的數據加權方法結合使用。這時，式（13-7）中的求和部分的每一項必須要乘以賦予不同觀察值的權重。

最後一個應用是對第13.2節中99%置信度的VaR值的置信區間進一步優化。在損失大於160的條件下，取值在VaR水平（227.8）的損失概率分佈的概率密度函數由式（13-6）中的gξ,β（y）給出，其值為

無條件概率密度在VaR水平下的取值為nu/n=22/500與以上數量的乘積，即0.000 16。顯然，這比第13.2節中估計的0.000 284要低，從而使VaR值的置信區間更寬。

有關u的選擇

在計算過程中，我們會遇到一個很自然的問題，那就是如何選定變量u。雖然我們常常發現ξ和β取決於u，但F（x）的估計值大致相同（練習題13.10考慮了我們討論的例子中將u從160變為150的情景），我們希望將u設定為足夠大，來保證確實考慮了尾部分佈的情形，同時我們還希望將u設定為足夠低，來保證使用最大似然估計時的觀測數據不至於太少。在計算中使用更多的數據會提高對於尾部評估的精度，我們在例子的計算過程中應用了500個數據，理想的做法是應用更多的數據。

一個經驗法則是保證u近似等於實證分佈中的95%的分位數（在我們考慮的數據中，實證分佈中的95%的分位數為156.5）。對ξ和β最佳值進行求解時，我們要保證這些參數為正，如果優化程序將ξ設為負值，這可能是由於：①分佈的尾部不比正態分佈更為肥大；②對參數u的選取不當。