e1 John Hull 風險管理與金融機構 v5

12.10　回溯測試

回溯測試是一種重要的衡量風險測度在現實中的表現的手段。在回溯測試中，我們會驗證當前採用的風險測度計算過程如果被用於過去，其表現會如何。對VaR的回溯測試會比ES更簡單，這也解釋了為什麼過去監管機構並不情願把用於市場風險的VaR模型轉換為ES模型。在第18章中我們會解釋，監管部門的計劃是在將來，ES模型會被用來計算監管資本金，而回溯測試還是會依賴VaR的測算。

假設我們開發出一個計算1天的99%VaR的模型。在回溯測試中，我們要找出來交易組合在1天內的損失有多少次超出了1天的99%VaR，實際損失超出VaR情形被稱為例外（exception）。如果例外的天數大約佔整體天數的1%，則我們應該對我們的VaR模型表現感到欣慰。但是，如果例外的天數佔整體天數的比例遠大於1%（例如7%），則我們有理由認為VaR的估計偏低。從監管部門的角度來看，由這樣的VaR而得出的資本金數量會太低。此外，如果例外情形發生的頻率遠低於1%（例如0.3%），則我們有理由認為這裡的VaR估計偏高，由此而得出的資本金數量偏高。

在對1天的VaR進行回溯測試時，我們要考慮在日內交易組合本身的變化。對這一問題有兩種處理方式：第一種方式是假定交易組合的構成沒有任何變化，在這一假設之下，我們可以計算交易組合的價值變化，完成計算之後，將VaR與這一理論價格變化（hypothetical changes）進行比較；第二種方式是將VaR同交易組合價值的真實變化進行比較。在VaR的計算過程中，我們必然要假設在展望期內沒有任何新的交易，正因為如此，將VaR同第一種方式中計算所得的理論價格變化進行比較看起來更為合理。但是，在我們的分析過程中，交易組合的實際價格變化才是我們管理的重心。在實踐中，風險管理人員常常將VaR既同理論價值變化進行比較，也同實際價值變化進行比較（事實上，監管機構堅持在回溯測試中，VaR要與交易組合的真實及理論價值變化同時進行比較）。在計算真實價格變化時，一些與市場風險無關的項目必須被剔除出來，這些項目包括手續費收入及一些非市場中間價格的交易（買入與賣出價格的平均）帶來的損益等。

假定VaR的展望期為1天，置信度為X%。如果VaR模型準確無誤，那麼每天的損失超出VaR的概率p=1-X/100。假定我們總共有n個觀察日，在所有的觀察日中有m天損失超出了VaR。假定m/n>p，因為VaR的估計太低，我們在這裡應該拒絕這個模型嗎？將我們的問題表達得更正式一些，我們考慮以下兩種對立假設：

（1）對應任意一天，例外發生的概率為p；

（2）對應任意一天，例外發生的概率大於p。

這裡的例外是指實際損失超出了VaR的估計。從二項式分佈的性質得出，有m或更多天的天數損失超出VaR的概率為

以上計算可通過Excel中的函數BINOMDIST來實現，在統計假設檢驗中，一個經常被選定的置信度為5%，如果在所有觀察日中，有m或更多天實際損失超出VaR的概率小於5%，那麼我們可以拒絕第一種假設，即例外發生的概率為p；當m或更多天實際損失超出VaR的概率大於5%時，我們不能拒絕第一種假設。

【例12-14】　假定我們採用600天的數據來檢測VaR模型，在計算VaR時我們選取了99%的置信區間，在600天觀察數據中我們發現了9個例外，而在這裡我們對例外所發生的個數的期望值為6，這時我們應該拒絕這一VaR模型嗎？通過Excel計算，對應於9個或更多的例外發生的概率為1-BINOMDIST（8，600，0.01，TRUE），以上的計算數值為0.152，因此如果採用5%置信區間，我們不應該拒絕模型。但是假如我們發現例外的個數為12，我們計算出的例外個數為12或更多的概率為0.019，這時我們應該拒絕模型。事實上，當例外個數超出11時我們就應該拒絕模型（例外個數為10或更多的概率大於5%，但例外個數為11或更多的概率小於5%）。

當例外個數m小於例外的期望值時，我們可以採取一個類似的方法來檢驗例外發生的真正概率是否為1%（在這時，我們的對立假設為例外發生的概率小於1%）。此時有m個或更少例外發生的概率為

這一數值要與5%閾值來進行比較。

【例12-15】　假定我們採用600天的數據來檢測VaR模型，在計算中我們選用99%的置信程度，在600天觀察數據中我們只發現了1個例外，這一數值遠低於例外的期望值6，這時我們應該拒絕VaR模型嗎？用Excel計算有1個或沒有例外發生的概率為BINOMDIST（1，600，0.01，TRUE）。

以上的計算數值為0.017，因此如果採用5%的置信區間，我們應該拒絕模型，但是，如果例外發生的次數大於或等於2個，那麼我們就不應該拒絕模型。

在這裡我們所考慮的檢驗均為單向檢驗。在例12-14中，我們假定例外發生的概率是1%或者大於1%，在例12-15中我們假定例外發生的概率是1%或者小於1%。Kupiec（1995）開發出一個很有效的雙向檢驗[1]（two-tailed test）方法。假定在VaR中例外發生的概率為p，而在n個觀察日中例外發生了m次，變量

-2ln［（1-p）n-mpm］+2ln［（1-m/n）n-m（m/n）m］

（12-11）

應該服從具有一個自由度的chi-平方分佈（chi-square distribution）。當例外發生的次數很高或者很低時，由式（12-11）所計算的統計量會較大。在一個自由度的chi-平方分佈中，統計量大於3.84的概率為5%，因此，當式（12-11）所計算出的值大於3.84時，我們就可以拒絕模型。

【例12-16】　假設在以上兩個例子，我們採用600天的數據來檢驗VaR模型，VaR的置信度仍為99%，當例外出現的次數小於等於1或者大於等於12時，由式（12-11）計算出的統計量大於3.84，因此當2≤m≤11時，我們接受VaR模型，否則，我們拒絕模型。

一般來講，當VaR置信度增大時，回溯測試的難度也會提高。因此，有觀點認為，應使用相對較低的置信區間來計算VaR，以方便進行回溯測試，然後再使用極值理論（見第13章）來得到足夠高的置信度。

聚束狀態

除了例外發生的頻率這個問題外，我們還要討論聚束狀態（bunching）。如果交易組合的每天價值變化是獨立的，那麼例外的發生應該比較均勻地分佈在回溯測試的區間之內。在實踐中，我們發現例外的發生往往聚束在一起，這說明了連續交易日之間的損失分佈並非獨立。一種檢測聚束狀態的方法是採用由Christofferson（1998）提出的統計量[2]

其中uij為在某天我們處在i狀態而在第二天處在j狀態產生的次數。當聚束狀態不存在時，以上定義的統計量服從有一個自由度的chi-平方分佈，這裡狀態0定義為某一天沒有例外發生，而狀態1定義為在某一天有例外發生，再有

[1] See P. Kupiec, “Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Management Models,” Journal of Derivatives 3(1995):73-84.

[2] See P. F. Christoffersen, “Evaluating Interval Forecasts,” International Economic Review 39(1998):841-862.