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【例12-5】　假定兩個獨立貸款項目在1年內均有0.02的概率損失1 000萬美元，同時均有0.98的概率損失100萬美元，任意一個單筆貸款在展望期為1年、97.5%的置信區間下的VaR為100萬美元，將兩個貸款疊加產生一個投資組合，組合有0.02×0.02=0.000 4的概率損失2 000萬美元，並且有2×0.02×0.98=0.039 2的概率損失1 100萬美元，有0.98×0.98=0.960 4的概率損失200萬美元。在展望期為1年、97.5%的置信度下，組合的VaR為1 100萬美元，單筆貸款所對應VaR的和為200萬美元，貸款組合的VaR比貸款VaR的總和高900萬美元，這違反了次可加性。

【例12-6】　我們考慮兩筆期限均為1年、本金均為1000萬美元的貸款。違約的概率由下表所示。

當其中任何一筆貸款違約時，收回本金的數量不定，但我們知道回收率介於0與100%的可能性為均等。當貸款沒有違約時，貸款盈利均為20萬美元。

首先考慮第一筆貸款，違約可能為1.25%，在違約發生的條件之下，損失均勻介於0與1 000萬美元，這意味著有1.25%的概率損失大於0；有0.625%的概率損失大於500萬美元；損失超出1 000萬美元的事件不會發生。損失超出200萬美元的概率為1%（在損失發生的前提下，有80%的概率損失會超出200萬美元，因為損失出現的概率為1.25%，損失大於200萬美元的無條件概率為0.8×0.012 5=0.01，即1%），因此，1年期的99%VaR為200萬美元。同樣的計算也適用於第二筆。

接下來考慮兩筆貸款的組合，違約出現的概率為2.5%。同上，違約所觸發的損失在0與1000萬美元之間均勻分佈。對應這種情況，VaR的估計值為580萬美元，這是因為在兩筆貸款之中有一筆貸款違約的概率為2.5%，在違約發生的條件下，損失超過600萬美元的可能性為40%。因此，損失大於600萬美元的無條件概率為2.5%×40％=1％。當一筆貸款產生違約時，另外一筆貸款會盈利20萬美元，將這一盈利考慮在內，我們得出1年的99%VaR為580萬美元。

將單獨計算的單一貸款所產生VaR相加，我們得出VaR的總和為200萬美元+200萬美元=400萬美元，將兩筆貸款組合在一起得出的VaR比單項VaR的總和580萬美元多180萬美元，這違反了次可加性條件（我們都知道將多筆貸款合成一交易組合會帶來風險分散的效應，但我們看到，兩個交易組合合併之後的VaR可能會大於兩個交易組合VaR的和）。

【例12-7】　讓我們考慮例12-5中的情形。每筆貸款的VaR均為100萬美元。為了計算在97.5%的置信區間下的預期虧空，我們注意到，在2.5%的尾部分佈中，有2%的概率損失為1 000萬美元，有0.5%的概率損失為100萬美元（注意，其他97.5%的分佈所對應的損失也為100萬美元），在2.5%的尾部分佈的範圍內，有80%的概率損失為1000萬美元，有20%的概率損失為100萬美元，損失的期望值（以百萬計）為0.8×10+0.2×1，即820萬美元。

將兩個貸款項目結合到一起時，在2.5%的尾部分佈中，有0.04%的概率損失為2 000萬美元，有2.46%的概率損失為1 100萬美元，在2.5%的尾部分佈的範圍內，損失的期望值為（0.04/2.5）×20+（2.46/2.5）×11，即1 114.4萬美元。

因為8.2+8.2>11.144（以百萬美元計），所以我們得出預期虧空滿足次可加性條件。

【例12-8】　考慮例12-6中的情形，我們已經展示了單筆貸款所對應的VaR為200萬美元，將展望期設為1年，在99%的把握之下所對應的預期虧空等於在損失大於200萬美元的條件之下損失的期望值。我們已知損失服從0～1 000萬美元的均勻分佈，如果損失大於200萬美元，那麼預期虧空為200萬美元與1000萬美元之間的中間值，即600萬美元。

例12-6說明，兩筆貸款組成的貸款組合的VaR為580萬美元，貸款組合的預期虧空等於在損失大於580萬美元的條件之下損失的期望值。當一筆貸款違約時，另一筆貸款不可能違約（這一點是由於假設），這時，貸款組合的價值介於20萬美元的盈利（+20）及980萬美元的損失（-980）之間的均勻分佈，損失介於580萬美元與980萬美元之間的期望值為780萬美元。因此，貸款組合的預期虧空為780萬美元。

因為7.8小於2×6（以百萬美元計），所以我們得出預期虧空滿足次可加性條件。