e1 John Hull 風險管理與金融機構 v5
11.1 相關係數的定義
變量V1及V2的相關係數ρ被定義為
其中E（·）代表期望值，SD（·）代表標準差。如果兩個變量不相關，即E（V1V2）=E（V1）E（V2），因此ρ=0。如果V1=V2，以上表達式中的分子及分母均等於變量V1的方差，此時就像我們期望的那樣ρ=1。
變量V1及V2的協方差被定義為
cov（V1，V2）=E（V1V2）-E（V1）E（V2）
（11-2）
因此相關係數又可以寫為
雖然直覺上我們更容易理解相關係數，但是在今後我們將說明協方差才是我們真正需要分析的變量，這類似於第10章的EWMA及GARCH模型，雖然波動率更容易被人理解，但方差才是真正的基礎變量。
相關係數以及關聯性
如果在兩個變量中，其中任意一個變量的信息（觀測值）不會影響另一個變量的分佈，那麼這兩個變量在統計上被定義為相互獨立。精確地講，如果對於所有的x，等式
f（V2|V1=x）=f（V2）
成立，其中f（·）代表變量的概率密度函數，|代表條件概率，變量V1和V2在統計上被定義為相互獨立。
如果兩個變量的相關係數為0，就意味著變量毫無關聯嗎？答案是否定的。這裡舉一個簡單例子來說明問題，假定變量V1的值有三種均等的可能：-1、0及+1。當V1=-1或V1=+1時，V2=1；當V1=0時，V2=0。在這裡我們可以清楚地看到V1和V2有某種關聯性，如果我們觀測到V1的值，我們也可得出V2的值，同時有關V2的信息也會改變我們有關V1的概率分佈。但由於E（V1V2）=0以及E（V1）=0，我們很容易驗證V1及V2的相關係數為0。
這一例子強調相關係數只是用於表達變量之間的某種相關性。這種相關性只是一種線性的關聯關係，而變量之間可以有許多不同形式的關聯關係。我們可以畫出E（V2）與V1的函數圖來顯示V1和V2的關聯特性。圖11-1顯示了幾種不同的關聯形式，圖11-1a顯示了V2的期望值同V1之間有某種線性關係，圖11-1b顯示了V2的期望值同V1之間有一種V形關聯關係（這同我們前面的例子相似，一種對稱的V形的高度關聯關係會造成相關係數為0），圖11-1c顯示了我們經常看到的金融變量之間的關聯性。在這裡V1和V2代表某些市場變量的變化率。當V1正常變化時，V1和V2之間有很弱的關聯性，但V1的極端變化會觸發V2的極端變化（這和市場受壓時，相關性會增加的情況是一致的）。
圖11-1 V2依賴於V1的幾種不同形式
我們可以從另一個角度來考察V1和V2的關聯性，即通過檢驗在V1條件下，V2的方差。我們在今後將看到，當V1和V2服從二元正態分佈時，該條件標準差為常數，但在其他情形下，V2的標準差與V1有關。