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23.3　看漲期權的價值

我們現在考察當期權有可能不被履約兌現時，看漲期權的價值是多少。我們將再次研究未來股票價格存在兩種可能性的簡單模型。這種情況下，我們將確定決定期權價值的第5個因素是什麼。

23.3.1　一個簡單的模型：第二部分

從之前的例子來看，我們的股票目前售價為100美元，它在1年後的價格是110美元或130美元，我們不知道會是哪一個，且無風險利率為20%。然而，我們這次看漲期權的執行價格是120美元而不是105美元。那麼這個看漲期權的價值是多少？

這個案例稍難一些。如果股票最終價格為110美元，那麼這個期權價值就是0。如果股票最終價格為130美元，那麼期權價值就是130-120=10美元。

我們確定看漲期權價值的基本方法是相同的。我們將再次證明，看漲期權和無風險資產的組合價值有可能等於持有股票的價值。唯一的複雜之處是確定如何做到這一點有點困難。

假定我們買入一個看漲期權，就像我們之前做的那樣，將執行價格的現值投資於無風險資產。1年後，我們將獲得從無風險資產投資中得到的120美元加上價值為零或10美元的期權，組合總價值為120美元或130美元。這與股票價值（110美元或130美元）不同，因此這兩種策略是無法比較的。

相反，如果我們將110美元（較低的股票價格）的現值投資於無風險資產，那麼1年後的回報是110美元。因為我們恰好擁有需要的110美元，所以，如果股票價格是110美元，那麼我們擁有的任何看漲期權都是毫無價值的。

當股票價值是130美元時，看漲期權價值是10美元。因為無風險資產價值是110美元，所以我們還差130-110=20美元。因為每個看漲期權價值10美元，於是我們需要購買兩份看漲期權使得組合價值等於股票的價值。

在這種情況下，將較低股票價格的現值投資於無風險資產併購買兩份看漲期權的組合價值等於持有股票的價值。當股票價值110美元時，我們從無風險投資中得到110美元。當股票價值為130美元時，我們將獲得從無風險投資中得到的110美元以及兩份價值10美元的看漲期權。

因為這兩種策略在未來具有完全相同的價值，所以它們現在必須具有相同的價值，否則就可能存在套利：

S₀=100=2×C₀+110/（1+R_f）

2×C₀=100-110/1.20

C₀=4.17（美元）

每份看漲期權價值4.17美元。

【例23-2】計算看漲期權的價值

我們現在考慮同一股票的兩個看漲期權，一個執行價格為20美元，另一個執行價格為30美元。該股票目前的售價為35美元，它的未來價格是25美元或50美元。如果無風險利率為10%，這些看漲期權的價值是多少？

第1種情況（執行價格是20美元）比較簡單，因為期權將來會被兌現。我們知道該值等於股票價格減去執行價格現值：

C₀=S₀-E/（1+R_f）=35-20/1.1=16.82（美元）

第2種情況，執行價格是30美元，所以期權可能不被兌現。到期時，如果股票價值25美元，該期權價值0美元；如果股票價格是50美元，該期權價值是50-30=20美元。

和之前一樣，我們首先將最低股票價格的現值投資於無風險資產。這需要25/1.1=22.73美元。到期時，我們從這筆投資中得到25美元。

如果股票價格是50美元，那麼我們需要額外的25美元來達到和股票相同的收益。因為在這種情況下每份期權價值20美元，我們需要25/20=1.25份期權。因此，為了防止套利，將25美元的現值投資於無風險資產併購買1.25份看漲期權必須具有與股票相同的價值：

S₀=1.25×C₀+25/（1+R_f）

35=1.25×C₀+25/（1+0.10）

C₀=9.82（美元）

請注意，第2種期權價值更小，因為它具有更高的執行價格。

23.3.2　第5個決定因素

我們現在說明決定期權價值的第5個（也是最後一個）因素。假設我們本節示例中的所有內容與之前相同，只是股票價格由110美元或130美元變為105美元或者135美元。請注意，此變化的影響是使股票的未來價格與之前相比更具波動性。

我們採用和之前相同的策略：將最低股票價格（現在是105美元）的現值投資於無風險資產中併購買2份看漲期權。當股票價格是105美元時，和以前一樣，看漲期權沒有價值，我們的總資產價值是105美元。

當股票價格是135美元時，每份期權的價值均為S₁-E=135-120=15美元。因為我們有2份看漲期權，所以投資組合價值105+2×15=135美元。投資組合的價值再一次等於股票的價值。

期權的價值發生了什麼變化？更準確地說，股票收益的波動性增加時，期權的價值是上漲還是下跌？為了找到答案，我們需要像以前一樣計算出看漲期權的價值：

S₀=100=2×C₀+105/（1+R_f）

2×C₀=100-105/1.20

C₀=6.25（美元）

看漲期權的價格從4.17美元上漲到6.25美元。

根據我們的示例，期權價值的第5個也是最後一個決定因素是標的資產的收益波動性。而且，波動越大，期權的價值就越大。增加標的資產的風險（通過收益波動衡量）會增加期權的價值，這個結果一開始看起來有些奇怪，並且可能有點令人驚訝。

而在我們的示例中不難看出標的資產的收益波動性增加是期權價值增加的原因。將股票的較低價格從110美元改為105美元對期權的價值沒有任何影響，因為期權價值在這兩種情況下都為0。然而，將股票較高價格從130美元變為135美元會使得該期權履約時的價值更高。

更普遍來看，當期權不被履約兌現時，增加標的資產未來價格波動不會影響期權的價值。在這種情況下，該值始終為零。另一方面，當期權會被履約時，增加波動性會增加期權的價值。因此，淨效應是增加期權的價值。換句話說，由於下行風險總是有限的，唯一的影響是上行潛力的增加。

在稍後的討論中，我們通常將使用符號σ²來代表標的資產的收益波動。

23.3.3　進一步思考

在繼續之前，我們先來研究最後一個例子。假設股票價格是100美元，之後它的價格會向上或向下變動20%，無風險利率為5%，那麼執行價格為90美元的看漲期權的價值是多少？

股票未來的價格是80美元或120美元。當股票價格是80美元時，該期權價值為零；當股票價格是120美元時，期權的價值是120-90=30美元。我們將80美元的現值投資於無風險資產併購買一些看漲期權。

當股票價格是120美元時，無風險資產價值80美元，還差40美元。在這種情況下，每個期權價值30美元，因此我們需要購買40/30=4/3份期權使得投資組合價值等於股票的價值。期權價值的計算如下：

S₀=100=4/3×C₀+80/1.05

C₀=（3/4）×（100-76.19）=17.86（美元）

為了使我們的結果適用性更強，請注意，為了使投資組合的價值等於股票價值，你需要購買的期權數量總是等於ΔS/ΔC，其中ΔS是股票價格的差異，ΔC是期權價值的差異。在當前的例子中，ΔS是120-80=40美元，而ΔC將是30-0=30美元，因此ΔS/ΔC是40/30=4/3，正如我們計算的那樣。

另請注意，當股票未來價格確定高於執行價格時，ΔS/ΔC始終精確等於1，因此總是需要購買1份看漲期權。否則，ΔS/ΔC大於1，因此需要購買多份看漲期權。

這就是我們對期權估值的討論。最重要的是要記住期權的價值取決於5個因素。表23-2總結了這些因素及其對看跌期權和看漲期權的影響方向。其中，括號中的符號表示影響的方向。^[1]換句話說，這些符號告訴我們當一個因素的值增加時，該期權的價值是上升還是下降。要注意提高執行價格會降低看漲期權的價值，而增加其他4個因素中的任何一個都會增加看漲期權的價值。另外也要注意，到期時間和收益波動對於看跌期權和看漲期權的作用相同。兩種期權的其他3個因素影響方向相反。

表23-2　期權價值的5個決定因素

我們沒有考慮在期權未被履約和股票未來的可能價格超過兩個的情況下，如何評估看漲期權的價值。在這種情況下，我們需要一個非常著名的模型，即布萊克-斯科爾斯（Black-Scholes）期權定價模型，來進行期權估值。我們將在第24章詳細介紹這一模型。

概念問題

23.3a　期權價值的5個決定因素是什麼？

23.3b　5個因素中每個因素的增加對看漲期權價值的影響是什麼？並解釋原因。

23.3c　5個因素中每個因素的增加對看跌期權價值的影響是什麼？並解釋原因。

[1] 表23-2中的符號表示的是美式期權的變化方向。對於歐式看跌期權，期權到期時間的影響是不明確的，其方向可能是正向，也可能是負向。