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思考和練習題

基礎問題

1.現值和多期現金流　McCann公司制訂了一個投資計劃，項目現金流如下。如果貼現率為10%，這些現金流的現值是多少？貼現率是18%呢？24%呢？

2.現值和多期現金流　X公司計劃每年給你4 200美元，一共8年。Y公司計劃每年給你6 100美元，一共5年。在貼現率為5%的情況下，哪種現值更高？如果貼現率為15%呢？

3.終值和多期現金流　Fuente公司制訂了一個投資計劃項目，其現金流如下。如果貼現率為8%，這些現金流的現值是多少？貼現率是11%呢？24%呢？

4.計算年金現值　一項投資每年支付4 350美元，支付15年。今年開始支付第1次。如果必要回報率為6%，這項投資的價值是多少？支付40年呢？75年呢？永續呢？

5.計算年金現金流　如果你用41 000美元交換一個貼現率為5.1%，支付15年的年金，該年金每年應該支付多少？

6.計算年金價值　最新的數據顯示你的公司在未來7年中，每年將會得到47 000美元的收益。如果貼現率為7.1%，你未來收益的現值是多少？

7.計算年金價值　你每年年末計劃向一個報酬率為9.7%的賬戶中存入4 500美元，計劃存20年，20年後你的賬戶中將會有多少錢？如果你的計劃是40年呢？

8.計算年金價值　你希望12年之後你的儲蓄賬戶裡會有60 000美元，你計劃每年年末向該賬戶存入等額現金。若該賬戶的收益率為6.4%，你每年需要向其中存入多少錢？

9.計算年金價值　Prescott銀行以6.8%的年利率借給你一筆75 000美元，5年償還的借款。你每年需要償還多少？

10.計算永續年金價值　Maybe Pay生命保險公司希望向你出售一種在你退休後每年支付你35 000美元的保險。若必要回報率為4.7%，你現在需要支付多少？

11.計算永續年金價值　如之前的例子，假如賣給你的保險價值800 000美元。那麼貼現率應該是多少才可以使這次交易公平？

12.計算EAR　求出下表中每種情況下的EAR。

13.計算APR　求出下表中每種情況下的APR。

14.計算EAR　第一國家銀行提供年利率為13.1%，每月複利一次的貸款。第一聯邦銀行提供年利率為13.4%，每半年複利一次的貸款。作為一個潛在的借款人，你會選擇哪一種？

15.計算APR　Elliott Credit公司希望從它提供的消費貸款中賺取17.1%的有效年利率。該銀行每日複利計息。按法律規定，該銀行向借款者報出的利率應該是多少？解釋該利率是如何誤導不瞭解情況的借款者的。

16.計算終值　當年利率為8.4%，每半年複利一次時，3 100美元在17年後的終值為多少？

17.計算終值　Spartan Credit銀行的儲蓄賬戶利率為8.1%，每日複利。若你今天存入了6 500美元，5年後你的賬戶裡會有多少錢？10年呢？20年呢？

18.計算現值　一項投資將會在10年之後支付給你80 000美元。假如貼現率為9%，每日複利計息，投資的現值是多少？

19.EAR和APR　Big Dom's Pawn商店給消費者提供的貸款利率為27%，複利計息，每月複利。該商店必須對外向消費者披露APR。報告的利率是多少？有效年利率又是多少？

20.計算貸款支付額　你希望買一輛價值84 500美元的新款車，金融機構可以提供給你APR為5.2%，需60個月還清的貸款，你每個月應該支付多少？有效年利率是多少？

21.計算付款期　你的一個客戶需要還款了。你同意她每個月償還450美元，你將對該筆拖欠款收取1.3%的利息。若拖欠款的現值是18 000美元，該客戶將需要還多久才能還清？

22.計算EAR　Friendly's Quick Loans公司提供“敲敲門，3換4”的服務。意味著你今天將會得到3美元，一週之後需要償還4美元。該公司在這項服務中賺取的有效年利率是多少？APR是多少？

23.計算永續年金價值　Live Forever Life保險公司對外兜售一款每月償還1 250美元的永續年金。當前售價為245 000美元。該投資的月報酬率是多少？APR是多少？有效年利率是多少？

24.計算年金終值　你計劃每月存475美元於一個每月複利計息，利率為10%的退休賬戶。若你一個月之後存第一次，30年之後你的賬戶裡將會有多少錢？

25.計算年金終值　在之前的問題中，假如你每年存5 700美元於該賬戶。30年之後你將會有多少錢？

26.計算年金現值　3個月之後，每個季度你將從你的銀行賬戶中取出2 500美元來作為今後4年的大學學費。該賬戶的季度利率為0.57%，那麼今天你需要在你的賬戶中存入多少錢才能滿足你未來4年的大學學費支出？

27.貼現現金流分析　如果適用於下表的貼現率為9%，季度複利計息，下表中現金流的現值是多少？

28.貼現現金流分析　若適合下表的貼現率為每年7.17%，下表中現金流的現值是多少？

中級問題

29.單利或複利　First Simple銀行提供利率為6.4%，單利計息的投資品種。First Complex銀行提供的投資品種是每年複利計息的。如果投資期為10年，那麼First Complex銀行提供的利率應該為多少才能匹配First Simple銀行提供的投資？

30.計算EAR　你在研究一個有效年利率為11.6%的投資。該投資的有效半年利率是多少？有效季度利率呢？有效月利率呢？

31.計算利息費用　你收到了一張Shady銀行提供的信用卡，該卡頭6個月的利率為每年1.25%，每月複利計息，6個月之後利率提升至17.8%，同樣每月複利計息。假如你透支了8 000美元，第1年年末你應該償還多少利息？

32.計算年金　你計劃用30年為退休後的日子存錢。你將會每月存750美元於一個股票賬戶，存250美元於一個債券賬戶。股票賬戶的回報預期為10%，債券賬戶的回報預期為6%。退休後，你會把兩個賬戶裡的錢放到一個賬戶中，預計收益率為5%。你在退休後的25年間每個月可以從這個賬戶中支取多少錢？

33.計算終值　你有一項投資的月收益率為0.67%。1年後你投資的1美元將會價值多少？2年呢？

34.計算年金支付額　你希望為你在40年後的退休生活存夠100萬美元。假設投資收益率為9.7%，你每個月需要存多少錢？如果10年後你才開始存錢，那麼你每個月需要存多少錢？20年後呢？

35.計算投資回報率　假設一項投資會在12個月後使你的錢變為4倍（別信）。那麼你得到的季度收益率是多少？

36.計算現金流　你剛剛加入Dewey，Cheatum，and Howe的投資銀行部。他們提供兩種不同的工資支付方式。第一種是，你將會在未來的2年每年得到85 000美元，另一種是你將會在未來兩年每年得到74 000美元，並且現在立即得到20 000美元的簽約獎金，工資在每月月底支付。若利率為7%，每月複利計息，你將如何選擇？

37.增長年金　你剛剛中了一項彩票，獎金1 500 000美元。你將會在未來的30年內陸續收到這筆錢，每年收到的錢比上一年多2.7%。若當前貼現率為6.8%，那麼你獎金的現值是多少？

38.增長年金　你的工作每年僅支付給你一次薪水。今天是12月31日，你收到了55 000美元薪水，你決定全部花掉。但是你決定從明年起為退休後的生活存錢。你計劃將9%的薪水存入一個收益率為10%的賬戶中。在整個職業生涯中你的薪水每年會增長3%，40年後你退休時，賬戶裡會有多少錢？

39.現值和利率　年金現值和利率水平之間的關係是什麼？假如你剛剛投資一項11年，每年支付8 500美元，利率為10%的投資，若利率忽然降為5%，你的投資價值幾何？利率提高到15%呢？

40.計算付息期　你計劃每月存175美元於一個回報率為7%，每月複利計息的賬戶。你需要存多少次，你的賬戶裡才會有15 000美元。

41.計算年金現值　你希望借入115 000美元用於購買遊艇。你最多可以承擔的每月還款額為2 250美元，不能再多。假如每月複利計息，貸款期限為60個月，你可以接受的最高APR是多少？

42.計算貸款支付額　你需要一筆金額為235 000美元，30年期的抵押貸款用於購置房屋。你的銀行為你提供的貸款的APR為5.35%，然而，你每月最多可以負擔925美元，你同意在貸款終了時一次性支付餘款。那麼貸款終了時你支付的總額是多少？

43.現值和終值　在9%的利率水平下，以下現金流的現值是7 500美元。未列示的那一期現金流是多少？

44.計算現值　你剛剛中了大獎。你現在將會收到100萬美元以及之後10期的款項，其中每一期你收到的金額將比上一期多37.5萬美元。因此，未來1年後你將收到137.5萬美元。兩年後你將收到175萬美元。依此類推。若利率為6.5%，你獎金的現值是多少？

45.EAR和APR　你剛買了一個新倉庫。你需要支付的金額3 400 000美元中的80%來自於抵押貸款。該抵押貸款為30年，每月償還16 500美元。這筆貸款的APR是多少？EAR呢？

46.現值和盈虧平衡利率　假如一個公司簽訂了一筆以145 000美元銷售一項資產，4年後執行的合同。標的資產現在的價格是91 700美元。貼現率為每年11%，該公司會獲利嗎？盈虧平衡點的利率是多少？

47.現值和多期現金流　6年後開始支付，20年後停止支付，每年支付4 400美元，貼現率為8.3%的現金流現值是多少？

48.變動利率　有一筆15年期，每月末支付1 475美元的年金。若前7年利率為9%，每月複利，之後利率都為6%，同樣每月複利。該年金現金流的現值是多少？

49.比較現金流　你有兩種投資選擇，A投資是在13年內每月末支付1 250美元，每月複利計息，利率為7.5%的年金。B投資是單筆款項，利率也為7%，連續複利，期限也為13年。你現在需要向B投資一次性投入多少錢，才能使得它和A投資在13年後的價值相同？

50.計算永續年金現值　若利率為每年5.3%，一筆從t=15開始每期支付6 400美元的永續年金在t=7時的現值為多少？

51.計算EAR　一家銀行提供利率為17.1%的1年期貸款。若你借了20 000美元，你的利息為3 420美元。1年後你需要償還23 420美元，或者在之後的12個月每月償還1 951.67（=23 420/12）美元。這是一筆利率為17.1%的貸款嗎？按法律規定，該貸款的報價利率是多少？有效年利率是多少？

52.計算現值　一個5年期，半年支付，每半年支付5 900美元的貸款將會在9年後開始，第一次支付將會發生在9.5年之後。若貼現率為8%，每月複利計息，這筆年金在5年後的價值是多少？3年後的價值呢？當前的現值又是多少？

53.計算預付年金　假如你5年後將收到13 500美元，貼現率為6.8%

a.若該筆年金為普通年金，其現值是多少？若其為預付年金呢？

b.假設你會將這筆錢投資5年。若該筆年金為普通年金，終值是多少？預付年金呢？

c.普通年金和預付年金中的哪一種的現值高？哪一種的終值高？這種比較關係會永遠是這樣嗎？

54.計算預付年金　你計劃從Muscle Motors購買一輛價值57 500美元的運動型轎車。這相當於一筆期限為60個月，APR為5.9%的預付年金。你每月支付多少錢？

55.等額支付攤銷　一筆5年期貸款的金額為71 500美元。利率為每年7%，每年償還的款項相同。為這筆貸款編制還款表。第3年支付的利息是多少？支付的利息總額為多少？

56.等額本金還款　重新計算第55題，假設每年償還14 300美元的本金，而不是等額還款。

挑戰性問題

57.計算年金價值　Bilbo Baggins計劃為3個目的存錢。首先，他計劃30年後退休，退休後的25年中每月可以有17 500美元可用，30年又1個月後，他會收到第一筆款項。其次，他想在10年後買一個價值345 000美元的墳墓。最後，他想留下2 000 000美元給他的後人（估計他退休後還能活25年）。他在未來的10年中可以每月存2 350美元，他退休前的EAR是10%，退休後的EAR是7%，第11～30年，他每月應該存多少錢？

58.計算年金價值　你可以選擇租一輛車或者用3年期的貸款購買它。這輛車的價格是43 000美元。如果你選擇租車，廠商同意你現在支付4 300美元，之後的3年每月支付505美元。如果你購買了這輛車，你可以在之後的3年中按月分期償還，分期貸款的APR是6%。你相信你可以以28 000美元的價格在3年後將這輛車出售。你是應該買這輛車還是租呢？使得買車或租車這兩種選擇對你來說是一樣的盈虧平衡售出價格是多少？

59.計算年金價值　一個職業的防守前鋒正在與球隊商議合同的簽約事宜。球隊報出的薪水結構如下所示：

所有的薪水都會以單筆總額的形式一次性支付。該球員想讓你作為他的經紀人來商議合同條款。他希望簽約獎金1 000萬美元在今天立即就被支付，並且還希望該合同價值每年增長200萬美元。他希望他的工資3個月支付一次，每次金額相等，第一次支付日就是3個月後。如果一年按365天計算，利率為4.8%，每日複利，那麼他的季度工資是多少？

60.貼現利息貸款　該問題說明什麼是貼現利息。你希望借入25 000美元，期限為1年。利率為14.9%。你和放貸人一致同意利息將為0.149×25 000=3 725美元。放貸人將這部分利息從本金中扣除，借給你21 275美元。在這裡，我們說3 725美元是折價，哪兒錯了？

61.計算年金價值　你是陪審團的成員之一。一個原告在一次掃路機事故中受傷，決定控告市政府。醫生檢查後發現，該原告需要5年後才可以返回工作崗位。陪審團決定幫助該原告。你們給該原告提供了一些金錢上的幫助，包括：①支付原告兩年的欠薪，他在過去兩年工資分別應該是43 000美元和46 000美元；②支付未來5年的工資，這將會是每年51 000美元；③一次性支付150 000美元作為賠償；④20 000美元的訴訟費。假設工資會在每個月末支付，且每個月的工資是相等的。假設你認為EAR是6.5%，那麼這幾項賠償金總共有多少？如果你是該原告，你希望利率高點還是低點？

62.計算EAR　你計劃貸款10 000美元，期限為1年。利率是9.8%加上2個點。1個點指的是貸款金額的1%（百分之一個點）。這種報價與住房抵押貸款的報價類似。在這個例子裡，借款人被要求先支付2個點，在借款償還的時候再支付9.8%。實際利率是多少？

63.計算EAR　1年期貸款的利率是12%加上3個點（參考上一個問題），EAR是多少？你的答案是否受到貸款金額的影響？

64.計算利率　你正在買房，你將以30年期固定利率抵押貸款的方式借款22.5萬美元，每月還錢。你的信貸員向你提供了一筆年利率為4.3%的抵押貸款。或者，她會告訴你，如果你提前還款的話，你可以把利率“買下來”到4.05%。貸款的一個百分點是貸款價值的百分之一。你最多可以把利率降到多少？

65.計算利率　在前面的問題中，假設你認為你只會在這所房子裡住8年，然後賣掉這所房子，換另一所房子。這意味著在8年內，你將付清原抵押貸款的餘額。你現在願意支付的最大點數是多少？

66.EAR和APR　兩家銀行提供利率為5.1%，總額是275 000美元，30年期的貸款。申請手續費是4 300美元。Insecurity銀行提供的貸款若申請不成功，將不退還手續費，而I.M.Greedy and Sons Mortgage銀行則會退還。現行法律的要求是：若申請手續費能被退還，那麼當申請被拒絕時，在計算APR時應包括退還的手續費。但手續費如果不退還，那麼計算APR時則不包括手續費（這可能是因為能退還的手續費可以被看作貸款總額的一部分，而不是單純的費用）。這兩家銀行提供的貸款EAR都是多少？APR呢？

67.計算EAR　這個問題說明了一種欺騙性的利率報價方式：附加利息。假設你看到Crazy Judy's Stereo City的廣告上寫著：1 000美元貸款，17.3%的單利！3年支付！月利率很低很低！你不太明白這是什麼意思，所以你問財務經理朱迪來弄清楚。

她解釋說如果你用17.3%的利率借了1 000美元，期限為3年，3年後你將會支付

1 000×1.173³=1 000×1.613 96=1 613.96（美元）

朱迪認為一次性償還1 613.96美元可能壓力太大，因此她允許你每月償還金額很低很低的款項，即每個月需要支付1 613.96美元/36=44.83美元，儘管這將加大她記賬的工作量。

這是筆17.3%利率的貸款嗎？為什麼？這筆貸款的APR是多少？EAR呢？為什麼你認為這叫作附加利率？

68.增長年金　您在過去的10年中成功地開辦和經營了一家公司。你已經決定是時候賣掉你的公司，去夏威夷的海灘度假了。一個潛在的買家對你的公司感興趣，但他無力一次性支付收購款項。相反，他提出今天支付50萬美元，餘額按年支付。第一次付款將在3個月後，15萬美元。這些款項將以每季度2%的速度增長，總共25個季度。如果你要求11%的EAR，你的公司最終價值是多少？

69.計算投資期　你的聖誕假期過得不錯，不過有點超過你的預算。但還是有個好消息：你剛剛被通知需要償還15 000美元的信用卡欠款，並且這個欠款將從舊卡轉到新卡。新卡的年利率為8.9%，少於舊卡的17.5%。你每月償還250美元，按新卡的利率，需要多久你能還清，這個償還時間比舊卡快多少？若舊卡轉新卡需要2%的轉換費呢？

70.終值和多期現金流　一個保險公司為他的客戶提供了一種新的服務。傳統來講，父母或者祖父母會在孩子出生時為孩子購買保險。該服務的信息如下，購買者（比如父母）將會分6次支付給保險公司。在孩子6歲生日後，無須再支付。在孩子65歲時，他將會得到300 000美元。若前6年的利率為10%，之後的年份都為7%，這個保險值得購買嗎？

71.計算支付額　你計劃貸款2 350 000美元購買一大塊地。貸款的APR為5.2%，它需要你在未來的30年內每月償還。但這筆貸款有一個8年期的“氣球”還款，意味著貸款將會在那時被還清。“氣球”還款額將會是多少？

72.計算利率　一家銀行提供教育儲蓄服務。這個計劃要求你在6年內每年支付15 000美元，第一筆支付發生在今天，即你孩子12歲生日的當天。從你孩子的18歲生日當天開始，這個計劃將會在4年內，每年支付32 000美元。這個儲蓄計劃的回報率是多少？

73.投資回報盈虧平衡點　你的理財師給了你兩種不同的方案。方案X將會每年永續提供給你35 000美元。方案Y將會每年提供給你47 000美元，提供15年。兩種方案都會在今天支付第一筆。貼現率為多少時，這兩種方法的回報率相同？

74.永續現金流　一個每隔一年支付25 000美元，第一筆支付發生在1年後，貼現率為7%，每日複利的投資的現值是多少？若第一筆支付發生在4年以後，這項投資的現值又是多少呢？

75.普通年金和預付年金　如我們在這章中介紹的一樣，預付年金的每一期的支付發生在期初（而非期末），除此之外預付年金和普通年金是一樣的。預付年金和類似的普通年金的關係如下

預付年金價值=普通年金價值×（1+r）

用該公式求出兩者現值和終值的關係。

76.計算增長年金　你還有45年退休，你希望退休時有400萬美元。你的工資每年支付，今年年末你可以得到50 000美元。你的工資每年增長3%，若進行投資，將獲得的回報率為9%。若你將固定比例的工資進行投資，你每年需要存工資的百分之多少？

77.計算EAR　一家支票兌現公司向其客戶提供期限為1星期，利率為6.8%的個人貸款。

a.該公司向其客戶報告的APR是多少？而客戶實際所支付的EAR呢？

b.假設該公司提供的貸款是有每週6.8%的貼現利率，這筆貸款的APR是多少？EAR呢？

c.這家公司也提供1個月期限的附加利息貸款，收取每週6.8%的貼現利息，即如果你的貸款期限為1個月（4星期），你的利息是（100×1.068⁴）-100=30.10美元。由於這是一個貼現利息，你今天得到的淨貸款現值是69.90美元。你必須在月末償還100美元。該公司允許你每週分期償還25美元。這筆貸款的APR是多少？EAR呢？

78.增長型永續年金的現值　每年增長C，第一筆支付額為C，從今天開始支付的增長型永續年金的計算公式是？

79.72法則　我們之前討論過72法則，該法則是求解使得一筆錢翻倍的利率和支付期的一種有用的近似方法。當利率為10%時，“73法則”可能更好一些。那麼當利率為多少時，72法則求出的結果是精確的？（提示：使用Excel的求解功能。）

80.69.3法則　72法則的一個推論是69.3法則。69.3法則是完全精確的，除了連續複利的情況。在連續複利的情況下，驗算一下69.3法則的結果。