e1 Stephen Ross 公司理財 v12A: 6.3 比較利率：複利的影響

e1 Stephen Ross 公司理財 v12A

6.3　比較利率：複利的影響

我們接下來要探討利率的報價方式。由於利率有很多種不同的報價方式，因此經常引起混淆。不同的利率報價方式有時是來自傳統習慣，有時是源於法律規定。不幸的是，利率的報價方式經常帶有欺詐性，以誤導借款人和投資人。我們將在接下來的部分進行討論。

6.3.1　實際年利率和複利

如果一個利率報價為10%，每半年複利一次，這意味著這項投資實際上每6個月支付5%的利息。伴隨而來的問題是，每半年5%的利率同10%的年利率一樣嗎？顯而易見的是這兩者不一樣。如果你將1美元以10%的利率投資1年，年底時你將會有1.1美元。如果將這1美元投資於半年利率為5%的投資，2期後你將會有

1×1.05²=1.102 5（美元）

你將會多得到0.002 5美元。原因很簡單，6個月後你將會有1美元×0.05=0.05美元的利息進賬。這筆利息在之後的6個月將給你帶來5%的利息，即0.05美元×5%=0.25美分。

像我們舉的例子說明的，10%、半年複利一次情況帶來的實際利率為每年10.25%。換句話說，利率為10%、半年複利一次的情況和10.25%的年利率是一樣的。只要複利計算發生在年度當中，我們就需要關注真正的利率是多少。

在我們的例子中，10%叫作設定利率（stated interest rate），或是報價利率（quoted interest rate）。同時還有一些也被廣泛使用的名字。10.25%是你實際得到的利率，叫作有效年利率（effective annual rate，EAR）。為了對比不同的投資或不同的利率，我們需要將報價利率轉換為實際利率。接下來我們將會介紹一些轉換過程。

6.3.2　計算和比較實際年利率

為了說明為什麼必須使用實際年利率，我們假設有如下3種利率：

A銀行：15%　每日複利

B銀行：15.5%　每季度複利

C銀行：16%　每年複利

對你來說，如果開一個儲蓄賬戶，這幾種選擇哪種比較好？如果它們代表的是貸款利率，你認為哪種比較好？

首先，C銀行提供的年利率為16%。由於它在一年內沒有複利，這就是有效利率。B銀行實際在每季度支付0.155/4=0.038 75或3.875%的利率。在此利率水平下，每投資1美元，年末將會變為

1×1.038 75⁴=1.164 2（美元）

有效年利率為16.42%。作為一個投資者，這比C銀行的16%要好。作為借入者，銀行B不如銀行C。

A銀行提供每日複利。這看起來有點極端，但是每日計息是很常見的。在這種情況下，日利率實際上是

0.15/365=0.000 411

因此日利率為每日0.041 1%。在這種利率下，投資1美元，365天后將會變為

1×1.000 411³⁶⁵=1.161 8（美元）

有效年利率EAR為16.18%。對於投資者來說，不如B銀行的16.42%，對於借入者來說，不如C銀行的16%。

這個例子說明了兩件事情。首先，報價最高的利率不一定是最好的。其次，年內複利將會使得報價利率和有效利率出現很大的不同。記得有效利率是你實際得到或支付的。

如果仔細考察我們的例子，你會發現計算有效利率需要3步。我們首先將報價利率除以複利次數，之後在結果上加1，以複利次數作為次方算出結果，最後再減去1。如果我們令複利次數為m，這些步驟可以寫成

有效年利率=[1+（報價利率/m）]^m-1　（6-7）

例如，假如年利率為12%，每月複利一次。在這種情況下，利率一年複利12次；因此m等於12。你可以計算有效年利率為

有效年利率=[1+（報價利率/m）]^m-1=[1+（0.12/12）]¹²-1

=1.01¹²-1=1.126 825-1=12.682 5%

【例6-8】有效年利率是多少

一家銀行提供的利率是年利率12%，每季度複利一次。如果你在一個賬戶中存入100美元，到年底你的賬戶中將會有多少錢？有效年利率是多少？2年後你會有多少錢？

這家銀行每季度支付12%/4=3%的利率。如果你在3%的利率水平下投資4期，終值為

終值=100×1.03⁴=100×1.125 5=112.55（美元）

有效年利率是12.55%：100×（1+0.125 5）=112.55（美元）

我們也可以知道2年之後你將會有多少錢。一種方法是將2年看作8個季度。在3%的利率水平下，8期後你將會有

100×1.03⁸=100×1.266 8=126.68（美元）

或者我們可以使用有效年利率12.55%計算2年後的終值

100×1.125 5²=100×1.266 8=126.68（美元）

這兩種計算過程得到的結果是一樣的。這裡說明了一個很重要的事情。當我們計算終值或是現值時，我們使用的必須是實際利率或有效利率。在這個例子中，實際利率是每季度3%。有效年利率是12.55%。只要知道有效年利率，我們使用兩者中的哪一個都行。

【例6-9】報價利率

現在我們明白了已知報價利率，如何求實際利率的情況，再來看看相反的情況。作為出借人，你希望可以從一筆放款中賺到18%。你希望報價利率是每月複利一次的。你的報價利率應該是多少？

在這個例子中，我們知道有效年利率為18%，每月複利一次。令q代表報價利率。我們因此得到

有效年利率=[1+（報價利率/m）]^m-1

0.18=[1+（q/12）]¹²-1

1.18=[1+（q/12）]¹²

我們需要通過這個等式求解報價利率。計算過程和我們在第5章中求解未知利率的過程很相似

1.18^（1/12）=1+（q/12）

1.18^{0.083 33}=1+（q/12）

1.013 9=1+（q/12）

q=0.013 9×12=16.67%

因此，你的報價利率為16.67%，每月複利一次。

6.3.3　EAR和APR

有時候很難分辨一個利率是不是有效年利率。貸款的年百分率（annual percentage rate，APR）就是一個很好的例子。美國的誠實貸款法要求放款人披露所有消費貸款的APR，而且該利率必須以清晰、明確的方式被報告在貸款契約文件上。^[1]

既然已經規定了必須披露APR，那麼有一個問題是，APR是有效年利率嗎？換句話說，如果一家銀行的汽車貸款標示其APR為12%，消費者真的是按照12%的利率支付利息嗎？令人意外的是，答案是否定的。這令人很難理解，我們接下來會討論這個問題。

對APR產生混淆的原因是法律規定放款人必須以一種特別的方式計算APR。法律規定，將一年中的每期利率乘以期數後得到APR。例如，如果一家銀行的汽車貸款利息為按月複利，每月利息1.2%，那麼APR必定被標註成1.2%×12=14.4%。因此，我們討論的APR實際上是一種報價利率，又叫作設定利率。比如說，一個每月還款12%的APR，實際是月利率為1%。這種貸款的有效年利率（EAR）為

EAR=[1+（APR/12）]¹²-1=1.01¹²-1=12.682 5%

【例6-10】你實際支付的利率是多少

典型的信用卡合約的利率是18%，每月支付一次。那麼你實際支付的利率是多少？根據我們之前的討論，一個利率為18%、每月支付一次的APR實際是每月支付0.18/12=0.015或1.5%。因此，EAR為

EAR=[1+（0.18/12）]¹²-1=1.015¹²-1=1.195 6-1=19.56%

這是你實際支付的利率。

令人意外的是，誠實貸款法有時要求放款人隱瞞貸款的實際利率。同時還有誠實儲蓄法，規定銀行或其他借款人在儲蓄賬戶交易中披露“年收益率”（即APY）。令人疑惑的是，APY就相當於EAR。因此，根據法律規定，面向借款人的利率（APR）和麵向儲戶的利率（APY）採用的是不同的計算方法。

當利率很大的時候，APR和EAR是有很大不同的，例如，“發薪日貸款”即如此。發薪日貸款是一種向消費者提供的短期貸款，通常期限不超過兩個星期，由AmeriCash Advance或是National Payday之類的公司提供。這種貸款是這樣的：你今天開出一張在未來某天支付的遠期支票，並將該支票交給這些公司，公司會給你一些現金。當支票到期後，你可以去商店購物，償付與支票金額相等的現金，或者貸款公司會將支票兌現（或是自動將貸款展期）。

舉例來講，在某個州，Check Into Cash公司同意你開出一張價值115美元、14天后到期的短期支票，你在今天可以得到100美元。這項交易的APR和EAR各是多少？首先，我們需要求出利率，我們可以通過終值公式得到它

FV=PV×（1+r）¹

115=100×（1+r）¹

1.15=1+r

r=15%

這看起來並不太壞，但你要意識到這是一個14天的利率！這筆貸款的APR為

APR=0.15×365/14

=3.910 7，或391.07%

這筆貸款的EAR是

EAR=（1+報價利率/m）^m-1

=（1+0.15）^365/14-1

=37.236 6，或3 723.66%

這就是你的利率！接下來我們看看費用的一個微小的變化將會使結果出現怎樣的不同。Advance America Cash Advance公司同意你開出一張價值117.5美元的支票以換取今天的100美元。經過計算你會發現這筆交易的APR是456.25%，EAR是6 598.65%——這可不是我們想要的貸款！

6.3.4　關於連續複利的說明：推向極限

如果將錢存入儲蓄賬戶，一年中你的錢會複利幾次呢？在考慮此類問題時，複利次數並沒有上限。我們之前已經舉過每日複利的例子，然而，其實複利次數還可以更多。我們可以每小時或者每分鐘就複利一次。在這種情況下，EAR是多少呢？表6-3說明了在複利間距越來越短的情況下，10%的利率將會產生的EAR。注意EAR確實越來越大，但是增加的幅度越來越小。

表6-3　複利次數和實際年利率　（%）

如表6-3所示，EAR的增長有上限。如果q代表報價利率，那麼EAR將會趨近於

EAR=e^q-1　（6-8）

e等於2.718 28（在你的財務計算器上找到ex鍵）。例如，在我們10%的利率水平下，EAR最高可以達到

EAR=e^q-1=2.718 28^0.1-1=1.105 170 9-1=10.517 09%

在這裡，我們假定持續或瞬間計息。由於利息在賺取的瞬間又轉變為本金，因此利息持續增長。

【例6-11】法律是怎樣規定的？

不久前，商業銀行和儲蓄貸款協會（S&L）都被限定了利率上限。在著名的Q法則下，S&L最多只可以支付5.5%的利息，而商業銀行不能支付高於5.25%的利息（這是為了給予S&L一個相對的競爭優勢，但並未奏效）。然而法律沒有對利率的複利頻率做出規定。在Q法則下，利率最高可以達到多少呢？

最高的利率發生在連續或瞬間計息的情況下。對於商業銀行而言，5.25%的連續複利將會變為

EAR=e^{0.052 5}-1=2.718 28^{0.052 5}-1=1.053 902 6-1=5.390 26%

這是銀行實際支付的利率。你可以自己算一下S&L可以支付的最高利率為5.654 06%。

概念問題

6.3a　如果利率為12%，每日複利，我們怎樣稱呼這種利率？

6.3b　什麼是APR？什麼是EAR？它們一樣嗎？

6.3c　總的來講，報價利率和有效利率的關係是什麼？哪一個和財務決策的關係更緊密？

6.3d　什麼是連續複利？

[1] 法律規定借款人應標註出所有消費貸款的APR。在這裡，我們通過將每期利率乘以一年內複利期數的方法計算APR。根據聯邦法律，消費信用貸款以年計息，它包括了利息和非財務利息費用。在實務中，如放款人在計算APR時將大量的費用包含在內，那麼APR將會比借款利率高很多。