BUSINESS BOOKS

20.2　庫存控制系統

庫存系統為企業提供其保持和控制庫存的組織機構與運營政策。該系統負責預訂和接收貨物：安排訂貨時間和跟蹤已訂的貨物、數量以及賣方。該系統也應該能回答如下問題：供應商是否收到訂單？貨物是否交付運送？日期是否正確？是否確定了重新訂貨或召回不合格產品的程序？

該部分將系統分為單期系統和多期系統。這種分類方法基於決策是否只是一個一次性採購決策。設計這種採購是為了滿足某一固定時間段且不重複訂購，或者適用於那些定期採購且保持庫存以滿足需求的產品。我們先看一下一次性採購決策和單期庫存模型。

20.2.1　單期庫存模型

一個簡單的例子就是經典的單期“報童”問題。例如，思考一個報童每天早晨考慮要購進多少報紙到他的報亭。如果那個人沒有購進足夠的報紙，部分顧客就買不到報紙，賣報人就會失去與這部分銷售相關的利潤。另外，如果報亭積壓了太多的報紙，報童將為那些當天沒有售出的報紙買單，這將降低當天的利潤。

左邊的售貨員Alberto Tilghman正在體育用品商店擺出費城人隊的商品。

事實上，這是十分常見的問題。假設一個賣T恤的人贊助籃球錦標賽或足球比賽。這相當有難度，因為他必須等到得知哪些球隊將參加比賽，然後才能在T恤上印上合適的球隊標識。當然，他必須估計事實上有多少人想要這些T恤。賽前售出的T恤很有可能會獲得一個很可觀的價格，但賽後售出將大打折扣。

思考這個問題的一個簡單方法就是考慮我們願意承擔多大的缺貨風險。我們來看看，假設賣報人已經收集了幾個月的數據，並且發現週一售出報紙的平均數量為90份，標準差是10份（當然，這是假設這些報紙從沒缺貨）。根據這些數據，賣報人就能夠簡單地確定一個可接受的服務水平。例如，賣報人可能希望保證週一80%的不缺貨水平。

回顧你們學過的統計學，假設報紙銷售服從正態的概率分佈，那麼如果我們每週一早上正好儲備90份報紙，則可能缺貨的概率是50%，因為我們認為50%的時間需求小於90份，另外50%的時間需求大於90份。為了達到80%的不缺貨水平，我們需要持有更多的報紙。從附錄G給出的累計標準正態分佈概率表中，我們可以看出需要大約0.85的過剩報紙的標準差，以保證80%的不缺貨水平。為一個給定的不缺貨概率找出準確的標準差的一種快速方法是運用Excel裡面的NORMSINV（概率）函數（NORMSINV（0.8）=0.841 62）。Excel得出的結果比較精確，根據這個結果，得出過剩的報紙數量將為0.841 62×10=8.416 2，或者9份報紙（0.4份報紙是賣不出去的）。

為了更充分地利用這個模型，我們可以考慮與報亭庫存太多或太少相關的潛在利潤和損失。假定每份報紙的進價是0.2美元，售價為0.5美元。在這種情況下，低估需求的邊際成本就是0.3美元，即丟失的利潤。類似地，高估需求的邊際成本是0.2美元，即購買過量報紙的成本。運用邊際分析法，最佳庫存水平發生在持有下一單位所獲得的預期收益小於預期成本時。要記住，特定的利潤和成本取決於問題本身。

用符號的形式，定義：

Co ——高估需求的單位成本；

Cu ——低估需求的單位成本。

引入概率後，期望邊際成本等式變為：

這裡P是該單位產品不能被售出的概率，1-P是其被售出的概率，因為兩種情況中必定有一種會發生（該單位產品被售出或沒被售出）。 [1]

整理上式，我們得到：

該不等式表明，我們應該繼續增加訂貨量直到售出我們所預訂貨物的概率等於或小於 。

回到報童的問題，高估需求的成本（Co ）是每份報紙0.2美元，低估需求的成本（Cu ）是0.3美元，所以概率為0.3/（0.2+0.3）=0.6。現在我們需要從需求分佈上找出對應累計概率為0.6的那個點。使用NORMSINV函數得到持有多餘報紙的標準差（通常被稱為Z值），得到0.253。這意味著我們應該儲備0.253×10=2.53或3份過剩報紙。因此，這個報紙每週一應該進93份報紙。

單期庫存模型對很多服務業和製造業都很適用，例如：

（1）航班超額預訂。 乘客因為各種原因取消預訂的航班普遍發生。這裡低估航班取消數量的成本就相當於由航班空座導致的收入損失。高估取消數量的成本是賠償金，例如讓不能登機的乘客免費搭乘下一個航班或支付現金給他們。

（2）預訂時尚商品。 銷售時尚商品的零售商面臨的一個問題就是，他們經常整個季度只能下一個訂單，這通常是由提前期長及商品壽命有限引起的。低估需求的成本就是由於不能實現交易而丟失的利潤，而高估需求的成本則是其折扣銷售時的成本。

（3）任何一次性訂貨類型。 例如，因某一體育賽事預訂T恤或者印製一段特定時期後就會不再使用的地圖。

例20-1　旅館房間預留

一家靠近大學的旅館在足球比賽的前夜總是客滿。歷史數據表明，當旅館全部被訂滿時，最後取消預訂的平均值為5、標準差為3。平均房價為80美元。當預訂超過旅館房間數量時，旅館需要為顧客找一家附近的旅館併為其買單。這通常需要旅館花費200美元，因為這麼遲訂，房價變得很高。旅館應該接受多少超額預訂呢？

解答

低估預訂取消數量的成本是80美元，高估的成本則為200美元。

Excel中的NORMSINV（0.285 7）給出一個Z值，為-0.565 99。負值表明我們應該設置少於5單位的超額預訂。準確的值應該為0.565 99×3=1.697 97或2間預留房間，或者比均值5小2的預訂量。旅館在足球賽前夜應該接受3個超額預訂。

分析該類問題的另一個常用的方法是使用離散型概率分佈，結合真實值和邊際分析。對於該旅館，假設我們已經收集了如下數據和預訂房間卻未出現的那些人的分佈。

使用這些數據，就得出了關於超額預訂影響的表格。接著，就能用每一個可能的結果乘以其相應的概率算出每一種超額預訂選擇的期望總成本及加權成本合計。成本最低的就是最佳的超額預訂戰略。

從上表可以看出，最小總成本出現在設置3單位超額預訂時。當有歷史數據的時候，這種採用離散概率的方法是很有用的。

20.2.2　多期庫存系統

多期庫存系統大體上有兩種類型：定量訂貨模型 （f ixed-order quantity models，又稱經濟批量EOQ和Q模型 ）和定期訂貨模型 （f ixed-time period models，又稱定期系統、定期盤存系統、固定訂貨間隔期系統及P模型 ）。設計多期庫存模型是為了保證某一產品全年都能持續供應。這種產品通常一年需要多次訂貨，該系統就是要給出準確的訂貨數量和訂貨時間。

兩種模型的基本區別在於：定量訂貨模型是“事件驅動”的，而定期訂貨模型是“時間驅動”的。也就是說，當到達一個特定再訂貨水平的事件發生時，定量訂貨模型就會提示訂貨。這個事件可能隨時發生，這取決於該產品的需求量。相反，定期訂貨模型僅限於在某一預先確定的時期發出訂單，只有時間的變化驅動該模型。

運用定量訂貨模型（當剩餘庫存降至某一預先確定的再訂貨點R時才發出訂單），必須連續監控剩餘庫存量。這樣，定量訂貨模型就是一個連續的系統，它要求每次提取庫存或增加庫存都必須及時更新庫存記錄，以反映是否達到再訂貨點。而定期訂貨模型只是在訂貨間隔期（review period）盤點庫存（我們將討論幾個結合以上兩個模型特徵的系統）。

影響系統選擇的一些附加差異如表20-1所示。

表20-1　定量訂貨模型與定期訂貨模型的差異

·定期訂貨模型的平均庫存水平較高，因為它必須防止訂貨間隔期（T）發生缺貨情況，而定量訂貨模型沒有訂貨間隔期。

·定量訂貨模型更適用於貴重物品，因為它的平均庫存水平較低。

·定量訂貨模型比較適合如關鍵維修零件等重要物品，因為其檢查頻率較高，對潛在的缺貨反應較快。

·定量訂貨模型需要較多時間來管理，因為每一次補充或提取庫存都需要登記。

當使用這兩種模型，使其變為運營系統時，將會發生什麼？圖20-3說明了這個問題。我們可以看出定量系統側重訂貨量和再訂貨點。根據程序，每次從庫存中提取一單位，就要登記並立即將剩餘庫存量與再訂貨點做比較。如果庫存降至再訂貨點以下，就需要發出數量為Q的訂單；如果沒有，系統將處於閒置狀態直到下一次庫存物資被提取。

圖20-3　定量訂貨模型和定期訂貨模型下庫存系統的比較

在定期系統中，只有盤點或檢查過庫存，才會做出訂貨決策。訂單是否準確，取決於當時的庫存水平。

20.2.3　定量訂貨模型

定量訂貨模型是要確定企業發出訂單的特定點R和訂貨量Q。再訂貨點R是一個固定單位數量的特定點。當現有庫存（目前在倉庫中的和已訂的）達到再訂貨點時，企業將發出數量為Q的訂單。庫存水平 （inventory position）被定義為現有的庫存加上已訂購的產品，然後再減去延期交貨的產品。定量訂貨模型的答案可以表示如下：當庫存水平降至36單位時，發出數量不少於57單位的訂單。

圖20-4　基本定量訂貨模型

該類別中最簡單的模型發生在所有條件都是確定的前提下。假設某產品的年需求量為1 000單位，即確切的1 000單位，而不是1 000×（1±10%）。準備成本與持有成本也是一樣。雖然完全確定的情況幾乎不可能，但這一假設為我們研究庫存模型提供了一個良好的基礎。

圖20-4以及關於確定最佳訂貨數量的討論就是基於該模型的以下特徵。這些假設是不現實的，但它們給了我們一個起點，使我們能夠運用簡單的例子。

·對產品的需求是固定的，且在整個時期內保持一致。

·提前期（從訂貨到收貨之間的時間間隔）是固定的。

·單位產品價格是固定的。

·庫存持有成本是由平均庫存決定的。

·訂貨成本或準備成本是固定的。

·對產品的所有需求都被滿足（不允許延遲交貨）。

圖20-4顯示與Q和R相關的“鋸齒效應”表明，當庫存水平降至再訂貨點R時發出訂單，預訂的這批貨物將在提前期L結束時收到。在該模型中，提前期是不變的。

在建立任何庫存模型時，第一步就是要在感興趣的變量與效益指標之間建立一個函數關係。在庫存模型中，因為我們關心的是成本，所以方程為：

總成本=年採購成本+年訂貨成本+年持有成本

或者

式中　TC——年總成本；

　D——年需求量；

　C——產品單位成本；

　Q——訂貨量（最佳數量被稱為經濟批量EOQ或Qopt ）；

　S——準備成本或訂貨成本；

　H——單位年持有成本（或保有成本）和倉儲費用（持有成本通常取產品成本的一個百分比，例如H=iC，這裡的i是指保管費率）。

等式右邊的DC是年採購成本，（D/Q）S是年訂貨成本（訂貨次數D/Q乘以每次訂貨費用S），（Q/2）H是年持有成本（平均庫存Q/2乘以單位持有成本和倉儲費用H）。圖20-5給出了這些成本之間的關係。

建立模型的第二步是找出使總成本最低的訂貨量Qopt 。從圖20-5中可以看出，總成本最低出現在曲線斜率為零的點。運用微積分，我們可以求出總成本對Q的導數，並令其為零。該基本模型的計算如下。

圖20-5　基於不同訂單大小的年生產成本

由於這個簡單模型假設需求和提前期都是不變的，所以不需要安全庫存，可以簡單地算出再訂貨點R：

式中　d ——平均日需求（不變）；

　L——提前期（不變）。

例20-2　經濟批量與再訂貨點

已知如下條件，求經濟批量與再訂貨點。

需要訂購多少？

解答

最佳訂貨量為：

再訂貨點為：

取最接近的整數單位，庫存策略如下：當庫存水平降至14單位時，應訂購多於89單位。

年總成本為：

注意，總訂貨成本（1 000/89×5=56.18美元）與總持有成本（89/2×1.25=55.625美元）非常相近，但不完全相同，因為Q取了近似值——89。

我們注意到在該例中，產品的採購成本在決定訂貨量與再訂貨點過程中並不起作用，因為該成本是不變的，與其訂貨量無關。

1.設置安全庫存水平

前面的模型都假設需求是已知並且不變的。然而，在大多數情況下，需求並非不變而是每天都在變動。因此，必須持有安全庫存以對缺貨做出某種程度的預防。安全庫存 （safety stock）可以被定義為超過預期需求的庫存數量。在正態分佈下，它指的就是平均值。例如，假設平均月需求量為100單位且我們期待下個月也一樣，如果我們持有120單位，那麼我們將有20單位的安全庫存。

安全庫存可以基於很多不同的原則來確定。一個普遍的方法就是企業簡單地將幾周的供應量設置為安全庫存。但是，採用能夠反映需求變動的方法會更好。

例如，目標可以類似“設置安全庫存使得需求超過300單位時，缺貨概率僅為5%”。我們將這種設置安全庫存的方法稱為概率法。

2.概率法

用概率標準來確定安全庫存是十分簡單的。運用本章講過的模型，我們假設一定時期的需求服從正態分佈，有其期望和標準差。再次強調一下，這種方法只考慮缺貨的概率，而不考慮缺貨的數量。為了確定某一時期的缺貨概率，我們可以簡單地畫出預期需求的正態分佈圖，並在曲線上標出我們現有的數量。

我們用幾個簡單的例子來說明。假定下個月的預期需求為100單位，並且我們知道方差為20單位。如果我們只持有100單位，缺貨的概率將為50%。我們期望需求有一半大於100單位，也有一半可能小於100單位。再進一步考慮，如果我們一次訂100單位並在每個月月初收到貨物，從長期來看，我們全年中大約有6個月缺貨。

如果缺貨這麼多是難以接受的，我們將持有額外的庫存以降低這種缺貨的風險。可能持有20單位額外的產品庫存。在這種情況下，我們還是每次訂一個月的庫存量，但是當我們還有20單位庫存時，我們將調整到貨時間。這將使我們沒有緩衝安全庫存用以降低缺貨的概率。如果需求的標準差為20單位，我們將持有與標準差相等的安全庫存。查看累計標準正態分佈概率表（見附錄G），將平均值往右移動一個標準差，得到的概率為0.841 3，所以大約有84%的時間我們將不會遇到物資短缺的情況，而16%的時間會遇到。如果我們每個月都訂購，我們大約每年有兩個月會出現缺貨（0.16×12=1.92）。如果使用Excel的話，給定z值，就可以用NORMSDIST函數求出相應的概率。

企業經常用這種方法來確定不缺貨概率為95%的安全庫存，這意味著我們應當建立1.64倍標準差的安全庫存。在我們的例子中，安全庫存是33單位（1.64×20=32.8）。這並不是說我們每月應額外訂購33單位，而是除了每次訂購一個月的使用量外，還應有33單位的貨物作為安全庫存，但是我們必須計劃收貨時間，這樣我們才能在貨物到達時還有33單位的預期庫存。在這種情況下，我們每年大約有0.6個月出現缺貨，或者每20個月中將有1個月會發生缺貨。

３.設置安全庫存的定量訂貨模型

固定訂貨量系統對庫存水平進行連續監控，且當庫存量降至某一水平R時就再進行新的訂購。在該模型中，缺貨的危險只會發生在提前期，即介於發出訂單與收到貨物之間的那段時間。如圖20-6所示，當庫存水平降至再訂貨點R時發出訂單。在提前期L，需求可能在一定範圍內變動。確定該範圍，不是根據歷史需求數據的分析就是通過估計得出（如果無法取得歷史數據）。

圖20-6　定量訂貨模型

前面提到過，安全庫存的數量取決於要求的服務水平。計算訂貨量Q還是用同樣的方法，考慮需求、缺貨成本、訂貨成本、持有成本等。定量訂貨模型可以用來計算Q，正如前面討論過的簡單Qopt 模型。然後，確定訂貨量以滿足提前期的期望需求以及服務水平要求的安全庫存。這樣，需求確定的定量訂貨模型與需求不確定的定量訂貨模型之間的主要區別就在於再訂貨點的計算。在兩種情況下，訂貨量是一樣的。確定安全庫存時考慮了不確定因素。

再訂貨點為：

式中　R——再訂貨點；

d ——平均日需求；

L——提前期（發出訂單與收到貨物之間的時間）；

z——特定服務水平概率對應的分位數；

σL ——提前期中需求的標準差。

zσL 是安全庫存量。注意，當安全庫存是正值的時候，其影響在於要提前訂貨。也就是說，沒有安全庫存的R只是簡單的提前期的平均需求。例如，如果提前期的預期用量為20，計算出來的安全庫存為5單位，那麼當剩餘25單位庫存時，就應該儘快發出訂單。安全庫存越多，就應越早發出訂單。

4.計算d 、σL 和z

提前期的需求確實是從發出訂單到收到貨物期間庫存用量的估計值或預測值。它可以是一個簡單的數字（例如，如果提前期為1個月，月需求可以用前一年的年需求除以12），或者可以是提前期日需求量的合計（例如提前期30天日需求的總和）。至於日需求d可以用第18章講過的任何一種模型的預測需求。例如，用30天為週期來計算d，簡單的平均為：

這裡n為天數。

日需求標準差即為：

σd 指的是日標準差，如果提前期不止1天，我們就可以運用統計的結論：一系列獨立事件的標準差等於所有偏差和的平方根。也就是，大體上等於：

例如，假設計算出每天需求的標準差為10單位，如果提前期為5天，就可以計算出這5天的標準差，因為每天都可以看作獨立的。

接下來，我們需要找出安全庫存的標準差z值。

假設我們希望提前期不缺貨的概率為95%。與95%的不缺貨概率相對應的z值為1.64（查看附錄G或使用Excel中的NORMSINV函數）。得到這個，我們就能算出安全庫存如下：

現在，我們對比以下兩個例子。它們之間的區別在於，前者需求的總偏差是用整個提前期的標準差表示的，而後者是用每天的標準差表示的。

例20-3　經濟批量

考慮一個經濟批量的例子：年需求量D為1 000單位，經濟批量為Q為200單位，不缺貨的期望概率P為95%，提前期的需求標準差σL 為25單位，提前期L為15天。試求再訂貨點。假設需求是基於一年250天工作日的情況。

解答

在我們的例子中， ，提前期為15天。我們運用公式：

在本例中，z值為1.64。

這就是說，當現有庫存降至101單位時，需要再訂購200單位。

例20-4　訂貨量與再訂貨點

某一產品的日需求服從均值為60、標準差為7的正態分佈。供貨源可靠，且提前期保持6天不變。訂貨的成本為10美元，單位年持有成本為0.50美元。缺貨沒有成本，且未完成的訂單在訂單到達後儘快補齊。假定全年365天銷售。試求滿足提前期不缺貨概率為95%的訂貨量和再訂貨點。

解答

在本例中，我們既要計算訂貨量Q，又要計算再訂貨點R。

最佳訂貨量為：

為了計算再訂貨點，我們需要求出提前期產品使用的數量，並把這些加上安全庫存。

6天提前期的需求標準差由每天需求方差求出，因為每天的需求是獨立的： [2]

z值還是1.64。

由以上計算得出的策略為：只要庫存降至388單位，就要發出936單位的訂單。

20.2.4　定期訂貨模型

在定期系統中，只在特定的時間盤點庫存，例如每週或每月一次。定期盤點庫存併發出訂單適用於以下兩種情形：當賣方進行日常拜訪時，順便帶走對其產成品的訂單，或是買方想要拼單以節省運輸費用。其他公司為了方便其庫存盤點計劃而採用定期操作。例如，分銷商X每兩週訂一次貨，員工就知道必須按時盤點分銷商X的所有產品。

定期模型產生的訂貨量每期都在變動，這取決於使用率。大體上，這需要比定量系統持有較高的安全庫存水平。定量系統需要連續檢查現有庫存，以便達到再訂貨點就立即發出訂單。相對而言，定期模型只要求定期對庫存進行檢查。發出訂單後，可能一個大批量需求就會使庫存馬上降至零點。這種狀況直到下一次檢查才會被發現。而當新訂單發出後，需要一定時間才能到貨。這樣，在整個檢查間隔期T和提前期L內就可能一直處於缺貨狀態。因此，安全庫存不僅要防止檢查期內，還要防止從發出訂單到收到貨物之間的提前期都不斷貨。

設置安全庫存的定期訂貨模型

在一個定期系統中，在檢查庫存期（T）發出訂單，其中需要預訂的安全庫存為：

圖20-7是一個檢查週期為T、提前期保持為L不變的定期系統。在這裡，需求隨機分佈的均值為d ，要訂購的量q為：

式中　q——訂貨量；

T——兩次盤點間的間隔天數；

L——提前期（發出訂單與收到貨物之間的時間）；

d ——平均日需求；

z——特定服務水平概率對應的分位數；

σT+L ——盤點週期與提前期需求的標準差；

I——現有庫存量（包括已經訂購而尚未到達的）。

圖20-7　定期庫存模型

注意：需求、提前期、檢查期等可以是任意時間單位，例如天、周或者年，只要整個公式中時間單位保持統一。

在該模型中，需求量（d ）可以採用預測值，如果需要，可以在每個盤點週期加以修改；或者如果相近，可以使用年平均值。我們假定需求服從正態分佈。

z值取決於缺貨概率，並從附錄G或用Excel中的NORMSINV函數求得。

例20-5　訂貨量

某一產品的日需求均值為10單位，標準差為3單位。檢查期為30天，提前期為14天。管理層設立了這樣一個政策，即用庫存來滿足98%的需求。在檢查期開頭，庫存量為150單位。

需要訂購多少單位？

解答

訂購量為：

在我們得出答案之前，我們需要找出σT+L 和z值。為了找出σT+L ，我們使用前面提到過的方法，即一系列獨立隨機變量的標準差等於各自方差和的平方根。因此，T+L期間的標準差就是每天方差和的平方根：

由於每天都是獨立的且σd 不變，因此：

對應於概率P=98%的z值為2.05。

那麼，訂購量為：

為了保證98%的不缺貨概率，在該檢查期需要訂購331單位。

20.2.5　庫存週轉的計算

對經理而言，很重要的一件事是瞭解運用庫存控制思想進行產品運營是如何與企業財務業績直接相關的。與企業業績相關的一個主要衡量指標是庫存週轉率。回想一下，庫存週轉率的計算如下：

如何管理某一產品與其庫存週轉率是什麼關係呢？這裡，我們把問題簡化，只考慮一種產品或一攬子產品的庫存週轉率。首先，如果我們只看分子，某一所售產品成本與該產品預期的年需求量（D）有直接關係。給定該產品單位成本（C），則所售產品成本正好是C的D倍。回想一下，這與我們在經濟批量公式中用過的一樣。其次，考慮平均庫存總值。如果我們假設需求是不變的，經濟批量模型中的平均庫存就為Q/2。當我們把不確定因素引入公式時，就需要設置安全庫存以應對由需求變動帶來的風險。定量模型與定期模型中用於計算安全庫存的公式都要求給定不缺貨的概率。在兩個模型中，我們都假設在整個訂貨週期中，有一半的時間我們需要使用安全庫存，另一半的時間我們並不需要用到安全庫存，因此平均而言，我們可以將現有的庫存當作安全庫存（SS）。給定了這個，平均庫存就如下：

那麼單一產品的庫存週轉率就為：

例20-6　計算平均庫存：定量模型

假設採用設置安全庫存的定量模型管理如下的產品。

年需求量（D）=1 000單位

訂貨量（Q）=300單位

安全庫存（SS）=40單位

該產品的平均庫存水平與庫存週轉率為多少？

解答

例20-7　計算平均庫存：定期模型

考慮採用設置安全庫存的定期模型管理如下的產品。

周需求量（d）=50單位

檢查期（T）=3周

安全庫存（SS）=30單位

該產品的平均庫存水平與庫存週轉率為多少？

解答

這裡我們需要確定每個週期需要訂購多少單位。如果我們假定需求是相當平穩的，那麼我們可以預期訂購的數量就為檢查週期期間的預期需求量。如果我們假設需求模式不存在任何趨勢性或季節性，該預期需求量就等於dT。

這裡我們假設一年有52周。

20.2.6　價格分界模型

價格分界模型主要研究的是銷售價格隨著訂單大小變動的情況。這是不連續或間隙變動而不是一單位一單位地變動。例如訂購1～99個木釘，其單位成本為0.02美元，而每100個的成本為1.6美元，每1 000個的成本為13.5美元。為了確定任何一種產品的最佳訂貨量，我們只要簡單地求出每一價格下與價格轉變點的經濟批量。然而，不是所有用公式算出的經濟批量都是可行的。在木釘的例子中，最佳訂貨量Qopt 公式告訴我們，價格為1.6美分時的最佳訂貨量為75個木釘。然而，這是不可能的，因為訂購75個時，每一個木釘的成本為2美分。

總之，為了找出成本最低的訂貨量，我們需要計算每一個可能價格對應的經濟批量，並驗證其是否可行。計算出來的經濟批量可能高於也可能低於該價格對應的數量範圍。我們也需要求出每一個價格分界點訂貨的總成本，因為我們知道在這些點價格是可行的，總成本可能在其中某一點達到最低。

如果持有成本是取單位價格的一定百分比（在該書給出的所有例子和問題中都是如此），那麼計算就可以稍微簡化一點。在這種情況下，我們只需要看價格分界點訂貨量的一個子集，可以採用以下兩步法。

第一步 ，將價格從低到高排列，然後從最低的價格開始，分別計算各個價格水平對應的經濟批量，直到找出一個可行的經濟批量。可行指的是，價格處於正確的對應範圍內。

第二步 ，如果第一個可行的經濟批量在最低的價格下就出現，那麼該數量就為最佳訂貨量，計算結束。否則，要計算第一個可行經濟批量的總成本（從最低價算到最高價），還要計算低於第一個可行經濟批量對應價格的所有價格分界點的總成本。這就是充分利用價格分界的最低的訂貨量。成本最低的訂貨量即為最佳的Q。

通過圖20-8，我們可以依次從右到左或從最低到最高單位價格計算訂貨量，直到求得一個有效的Q，然後用該Q以上的每一個價格分界點的訂貨量來找出具有最低成本的訂貨量——是算出的Q或是在某個價格分界點的Q。

圖20-8　3個價格分界點下的3個獨立定量模型曲線（黑線表示採購的可行域）

例20-8　價格分界

考慮如下案例，其中：

D=10 000單位（年需求）

S=20美元訂一次貨

i=成本的20%（年保有成本、倉儲、利息、過期作廢等）

C=單位成本（根據訂單大小：0～499單位，每單位5.00美元；500～999單位，每單位4.50美元；1 000單位及以上，每單位3.90美元。）

應該訂購多少單位？

解答

基本的定量模型告訴我們：

且

求解經濟訂貨量，我們得到：

圖20-8是成本與訂貨範圍的關係圖。該圖中大部分的數量-成本關係都落在可行域外，只有各個連續的區間有解。這是很顯然的，例如，第一個訂貨量為632的對應價格為5.00美元。然而，如果訂購632，其價格為4.50美元，而不是5.00美元。第三個訂貨量同樣是如此，單位價格為3.9美元時對應的訂貨量應該為716單位，而在訂貨量未達到1 000單位時是得不到這個價格的。

表20-2給出了經濟批量下及價格分界點的總成本，我們可以看出最佳訂貨量為1 000單位。

表20-2　3個價格分界點模型的相關成本

價格分界模型中需要考慮一個現實的問題，即價格隨著採購量的增加而下降經常讓人感覺訂購比Qopt 多的數量看起來更經濟。因此在運用這個模型的過程中，當估計產品廢棄與倉儲成本時就必須格外小心。

[1] P實際上是一個累計概率，因為第n個單位產品的銷售不僅取決於正被需求的n，還取決於任何數字大於n的單位產品的需求。

[2] 如前所述，自變量和標準差等於方差的平方根。