e2 Sanjeev Bordoloi 服務管理：運作、戰略與信息技術 v9
例題
1.計算系統特徵值
問題陳述
夕陽航空公司準備開展主題為“一張機票，兩人旅行”的促銷活動，公司正為此而重新考慮其檢票程序。目前只有一名檢票員負責檢查行李和發放登機憑證，每位乘客通過檢票口平均需要3分鐘。服務時間服從負指數分佈，乘客到達數服從泊松分佈，在登機期間的預期平均值為每小時15人。
（1）乘客到達後不用等待，可立即接受服務的概率是多少？
解答
這是一個M/M/1排隊系統，λ=每小時15人/小時，μ=60/3=20人/小時。利用式（I-1）：
P（系統空閒）=P0=1-ρ
=1-（15/20）
=0.25
（2）目前航空公司檢票口前的空間只夠容納3名顧客，包括正在接受服務的1人。等待區域無法容納全部等待顧客的時間佔多大比例？
解答
利用式（I-2）：
P（等待空間不夠大）=P（n≥4）=ρ4
=（15/20）4=0.316
因此，在32%的時間裡，這個等待區域不夠大。
（3）由於預計到需求將會增加，公司決定，當顧客在隊伍中的平均等待時間達到17分鐘時，就增加一名檢票員。在檢票口可記錄顧客的到達率，請確定每小時的到達率為多少時，就表明需要再增加一名檢票員。
解答
令式（I-8）等於17/60，代入μ=20，解得λ：
所以，λ=17人/小時。
2.能力規劃
問題陳述
乘客的平均到達率已達到每小時20人，夕陽航空公司必須再增加一名檢票員以提高其檢票系統的服務能力。根據對乘客進行的調查，乘客認為排隊等待的機會成本是每小時15美元。檢票員的工資是每小時10美元，每位乘客通過檢票口仍需要3分鐘。評估下列檢票系統方案，確定在哪一種方案下，檢票員和乘客排隊等待的每小時總成本最小。
（1）考慮一個多排隊結構，等待隊伍互相獨立，不存在乘客在隊伍之間移動的情況。假設兩個檢票口的服務需求相等，這種方案下的小時總成本是多少？
解答
將每條隊伍視為一個獨立的M/M/1排隊模型，系統的總成本即為單一隊伍成本的2倍。利用式（I-5）計算Lq的值，代入式（13-7），求出隊伍的成本：
所以，系統總成本=2[10+15×0.5]=35美元每小時。
（2）考慮增加一臺自動檢票機（ATM）與第一名檢票員一起檢票，檢票機的服務時間為常數3分鐘。假設服務需求平均分佈在檢票員和檢票機兩個入口處。如果自動檢票機的操作成本可以忽略不計，該方案的每小時總成本是多少？
解答
兩條隊伍互相獨立，一個同上一問一樣，是一個M/M/1排隊模型，Lq=0.5；另一個為M/D/1排隊模型（自動檢票機勻速服務）。
首先，令V(t)=0，利用式（III-2）計算自動檢票口的隊伍的Lq：
所以，系統總成本=檢票員成本+自動檢票機成本=10+15×0.5+0+15×0.25=21.25美元/小時。
（3）考慮兩名檢票員、一條隊伍的方案。這種方案的每小時總成本是多少？
解答
由附錄C可知，c=2，ρ=20/20=1。所以，可查出Lq=0.333，故系統總成本=10×2+15×0.333=25美元/小時。