e2 Sanjeev Bordoloi 服務管理：運作、戰略與信息技術 v9

8.5.1　交叉中值法的單一設施

在平面上用城市距離定位單一設施以求整個消耗距離Z最小化，可直接用交叉中值法。目標函數為：

式中　w_i——第i點的近似權重（例如人口）；

x_i,y_i——第i個需求點的座標；

x_s,y_s——服務設施的座標；

n——需求點的數目。

注意，目標函數可以被重新表達為兩個獨立的表達式：

回想我們前述的海岸特許經營的例子中，之所以選擇離散系列數值的中間是因為它的絕對偏差最小。因此，最佳位置需符合以下兩個條件：①在x方向，x_s位於w_i數值的中間；②在y方向，y_s位於w_i數值的中間。因為x_s、y_s或者兩者可能是唯一的，也可能在一個範圍內變動，最佳位置可能在一點上、一條線上或者一個區域內。

⊙例8-1

複印服務

一家複印服務公司要在城市的中心商業區開設一間辦公室。管理者已經找出四處能開發主要商業活動的場所，圖8-6表明了xy座標系統上需求點的分佈情況。每一點的權重已經標出，並且表明了每個月在數百個訂單中潛在的需求。管理者想選擇一箇中心位置，使每個月顧客來享受複印服務的所需距離最小。

對於城市定位來說，城市距離是最恰當的。解決這個問題可以運用中值法。首先，中值可用式（8-7）來計算：

從圖8-6中，我們得出中間值為（7+1+3+5）/2=8。為了鑑別x座標上的中間值x_s，我們把在x座標方向上的w_i由東到西和由西到東彙總起來。根據圖8-6，在表8-3的上部按遞增的順序列出了由西到東的需求點（如，1、2、3、4）。將每個需求點的權重按遞增順序彙總，直到中間值達到8或者超過8。當位置2處的權重加上位置1處的權重時，正好達到8。因此，第一個x座標上的中值應建立在2英里處（x定位點的座標2被圈了起來）。

圖8-6　用交叉中值法定位複印服務

命令需求點從東到西，繼續重複同樣的步驟，如表8-3（例如4、3、2、1）下半部分所示，按遞減排列，第二個x方向上的中值點應建立在3英里處（定位點的x座標3被圈定）。

表8-4介紹了用同樣的程序來確定y_s在y座標上的中值點。根據圖8-6（即4、1、2、3），表8-4的上半部分由南向北按遞減順序列出了各個需求點。其中，中值第一次超出8是在位置1處，這時候，位置1的權重加上位置4的權重等於12。y方向上的中值點應建立在2英里處（把y座標上的定位點，即位置1處的符號“2”圈起來）。再次根據圖8-6（即3、2、1、4），在表8-4的下部，按遞減順序由北向南列出各需求點。中值8首次超出是在位置1處，這時位置1處的權重加上位置3處和位置2處的權重達到11。因而，y座標上的中值點應建立在2英里處。

表8-3　x_s的中值

表8-4　y_s的中值

從範圍內的四個點中確定中值點的中值法可以保證：如果存在一個恰當的定位點變化範圍，則這個範圍很容易被確定。在本例中，線段AB上的任一位置都能保證距離消耗的最小化。從表8-5中，我們可以得出A點和B點的總距離權重都是35英里；因此，無論在A點、B點還是在它們之間的連線上進行定位，都是可以接受的。此例說明，一個目標位置可以是一個點、一條線或者一個區域。因此，中值法具有很大的靈活性。

表8-5　位置A與B的總加權距離