e1 Stephen Ross 公司理財 v12A
24.4 槓桿公司的股權和負債估值
在前面關於期權的章節中，我們指出了一家槓桿公司（一家借入資金的公司）的股權可視為基於企業資產的看漲期權。原因在於，當債務到期時，股東有權選擇償還債務，從而可以自由和明確地獲得資產，又或者選擇違約。償還債務的行為相當於行使一項價內看漲期權來獲得資產，而違約則相當於讓一個價外看漲期權終止。在這一節中，我們將以幾種方式擴展將股權視為看漲期權的概念。
24.4.1 評估一家槓桿公司的股權價值
假設有一家公司發行了一張面值為1 000萬美元的零息債券，6年後到期。公司資產的當前市值為1 200萬美元，公司資產收益率的波動性（標準差）為每年40%，連續複利計算的無風險利率為6%。那麼公司當前的股權市值為多少呢？負債呢？以連續複利計算的負債成本是多少呢？
這種情況意味著股東有權利，但是沒有義務在6年償還這1 000萬美元。如果他們及時償還債務，他們就能得到公司的資產。如果他們不這樣做，就會違約，什麼都得不到。所以，公司的股權被視為一個執行價格為1 000萬美元的看漲期權。
在這裡使用布萊克-斯科爾斯期權定價模型可能會有一點困惑，因為我們現在需要計算的是股票價格。在這種情境下，符號C代表著股票價值，符號S代表著公司資產的價值。考慮到這一點，我們可以通過將S=1 200萬美元、E=1 000萬美元代入布萊克-斯科爾斯期權定價模型（OPM）對公司的股權進行估值。當我們這樣做的時候，我們將得到股權價值為655.4萬美元，delta值為0.852。
現在我們知道了股權的價值，便可以用標準的資產負債恆等式來計算負債的價值。公司資產價值為1 200萬美元，股權價值為655.4萬美元，則債務價值為1 200-655.4=544.6萬美元。
為了得到公司以複利計算的債務成本，我們觀察到債務的當前價值為544.6萬美元，6年後的價值為面值1 000萬美元。我們需要計算出連續複利的利率RD，如下所示：
5.446=10×e-RD（6）
0.544 6=e-RD（6）
RD=-1/6×ln（0.544 6）=0.10
所以公司的債務成本為10%，無風險利率為6%，高出的4%是違約的風險溢價，這是債權人所要求的額外補償，因為公司存在違約風險，債權人有可能將無法收回這1 000萬美元。
我們還知道，這裡期權的delta值為0.852。我們如何理解這個delta值呢？在將股權視為看漲期權的情境下，delta值告訴我們當公司資產價值發生變化時，股權價值將會如何發生變化。這一點很重要。
假設公司有一個淨現值為100 000美元的項目，這意味著公司資產的價值將會增加100 000美元，那麼股權的價值將會增加100 000×0.852=851 62美元。[1]為什麼呢？
原因在於公司提高了資產的價值，這意味著違約風險更小。因此，債權人的價值也相應提升。那麼他們的價值將增加多少呢？答案是100 000-85 162=14 838美元，換句話來說，股東價值並沒有增加多少。
【例24-9】將股權視為看漲期權
假設一家公司發行了一張面值為4 000萬美元的零息債券，5年後到期，無風險利率是4%。公司資產目前的市場價值為3 500萬美元，公司的股權價值為1 500萬美元。如果公司接受一個淨現值為20萬美元的項目，股東將獲得多少收益呢？
要回答這個問題，我們需要知道delta值，所以我們需要計算N（d1）。要做到這一點，我們需要知道相關的標準差，而這是我們沒有的。不過，我們已經知道該期權的價值（1 500萬美元），因此我們可以計算ISD。我們用C=1 500萬美元，S=3 500萬美元，E=4 000萬美元，4%的無風險利率和5年期的到期時間，可以求出ISD為48.1%，delta值為0.725，因此，如果公司的資產價值增加20萬，股東將獲得其中的72.5%，也就是約為14.5萬美元。
24.4.2 期權和風險債券的估值
讓我們繼續我們剛研究的案例，這家公司的資產為1 200萬美元，6年期零息債券的票面價值為1 000萬美元。在考慮到其他數據的情況下，我們已經知道這些債券的價值為544.6萬美元。假設這些債券的持有者想要消除違約風險，換句話說，債券持有人想把他們的風險債券變成無風險債券。他們應該怎樣做呢？
答案是債券持有人可以採取保護性看跌期權策略，就像我們在本章前面描述的那樣。在這種情況下，債券持有人想要確保他們的債券價值永遠不會低於面值1 000萬美元，所以他們需要購買一個6年期，面值為1 000萬美元的看跌期權，該期權提供了一種以1 000萬美元出售公司資產的權利。
如果公司的資產在6年內價值超過1 000萬美元，股東將支付這1 000萬美元。如果資產價值低於1 000萬美元，股東將違約，債券持有人將獲得公司的資產。不過，屆時債券持有人將行使該看跌期權，以1 000萬美元的價格出售這些資產。不管怎樣，債券持有人都能得到1 000萬美元。
我們發現，無風險債券相當於風險債券和基於公司資產的看跌期權（擁有相應的到期時間，執行價格相當於債券面值）的組合：
風險債券的價值+看跌期權的價值=無風險債券的價值 （24-7）
在我們這個例子中，債券的面值為1 000萬美元，無風險利率為6%，所以無風險債券的價值應為：
無風險債券的價值=1 000×e-0.06×6=697.7（萬美元）
如果我們將該值與風險債券的價值544.6萬美元對比，我們可以發現看跌期權的價值為697.7-544.6=153.1萬美元。注意，無風險債券的價值也是在無風險利率下執行價格的現值。
我們可以檢查該看跌期權的價值是否正確。我們知道標的資產的價值是1 200萬美元，看漲期權（股票）的價值是655.4萬美元，執行價格的現值是697.7萬美元。使用買賣平價模型：
P=655.4+697.7-1 200=153.1（萬美元）
這正是我們之前計算的結果。
在此，我們重申我們的結果：
風險債券的價值=無風險債券的價值-看跌期權的價值=E×e-Rt-P （24-8）
這告訴我們，任何增加看跌期權價值的東西都會降低公司債券的價值。考慮到這一點，我們可以使用買賣平價模型將本章（以及本書）的大量討論集中起來。
使用PCP模型，我們可以得出：
S=C+E×e-Rt-P
記住，在此情況下，股票是標的資產。現在，我們將公司的股票視為基於公司資產的看漲期權，我們可以這樣理解：
資產的價值（S）=股票的價值（C）+（E×e-Rt-P） （24-9）
其中，E是執行價格，它代表公司債務的面值。注意，正如我們剛才看到的，括號裡面的是公司風險債券的價值，所以上述表達式實際上也是資產負債恆等式。
資產的價值（S）=股票的價值（C）+債券的價值（E×e-Rt-P） （24-10）
PCP模型和資產負債恆等式說明了同樣的事情，但認識到槓桿公司的股權和債務的期權性質，將使人們對公司財務有更豐富的理解。在下一節中，我們將展示一些重要的應用示例。
概念問題
24.4a 為什麼我們說有債務的公司的股權是一個看漲期權？在此情境下，該看漲期權的delta值的含義是什麼呢？
24.4b 標準資產負債恆等式與PCP模型的聯繫是什麼？
[1] Delta用來評估標的資產價值微小變化的影響，所以看起來我們不應該用它來評估10萬美元的變動。然而，小是相對的，10萬美元相對於1 200萬美元的總資產價值來說是小的。