附錄H
特徵向量和特徵值

考慮一個n×n矩陣A，假定x為一個n×1的向量，考慮方程

Ax=λx

（H-1）

以上方程可以寫為

（A-λI）x=0

其中I為n×n單位矩陣（在該n×n矩陣中，對角元素為1，非對角元素均為0）。顯然x=0是式（H-1）的解，但在什麼條件下，以上方程具有非零解呢？線性代數的一個定理保證，如果A-λI的行列式為零，那麼式（H-1）有非零解。滿足以上方程的λ就是滿足令A-λI的行列式為零的一個n次多項式的解，一般來講，這個n次多項式有n個解，這些解被稱為是矩陣A的特徵值，對應於某個特徵值，滿足式（H-1）的向量x為特徵向量。一般來講矩陣A有n個特徵向量，即每一個特徵值會對應一個特徵向量。

作為一個簡單例子，假定

這時

以上矩陣的行列式等於

（1-λ）（4-λ）-（-1）×2=λ²-5λ+6

以上的解為λ=3及λ=2，這兩個值即為矩陣的特徵值。

為了確定對應於λ=3的特徵向量，我們對式（H-1）求解，即

令

以上方程等價於

與此相對應的聯立方程為

x₁-x₂=3x₁

及

2x₁+4x₂=3x₂

以上兩個方程均等價於

x₂+2x₁=0

以上方程說明當λ=3時滿足x₂=-2x₁的任意x₁和x₂均滿足以上方程。一種約定是選取x₁和x₂保證向量x的長度為1，這意味著，這時滿足x的長度為1的解為及（另外一組解為及），向量

就是對應於特徵值λ=3的特徵向量。

通過一個類似的計算得出，對應於λ=2，式（H-1）為x₁+x₂=0，滿足以上方程，並且長度為1的向量為及（另外一組解為及），向量

就是對應於特徵值λ=2的特徵向量。對於大型矩陣，我們必須採用數值分析方法來確定特徵值和特徵向量，一種數值方法是由Press等（2007）提供的。^[1]

附錄I和附錄J是關於特徵值和特徵向量的應用，計算特徵值和特徵向量的軟件在作者的網站上。

[1] See W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd ed. (Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2007).