e1 John Hull 風險管理與金融機構 v5
附錄E
歐式期權定價
對於一個不提供中間收入的資產的歐式看漲期權及歐式看跌期權，布萊克-斯科爾斯-默頓定價公式為
c=S0N（d1）-Ke-rTN（d2）
及
p=Ke-rTN（-d2）-S0N（-d1）
其中
其中N（x）為正態分佈的累積分佈函數（函數表列於本書最後或Excel裡的NORMSDIST功能），變量c及p分別代表歐式看漲期權及歐式看跌期權的價格，S0為在時間0的股票價格，K為執行價格，r為連續複利的無風險利率，σ為股票波動率，T為期權的到期期限。
當資產提供現金收入時，在期權期限內的現金收入的貼現值應該在S0中扣除，當資產提供收入的收益率為q時，以上公式變為
c=S0e-qTN（d1）-Ke-rTN（d2）
及
p=Ke-rTN（-d2）-S0e-qTN（-d1）
其中
對於匯率期權可以通過設定q等於外匯無風險利率來估值。對於遠期或期貨期權，我們可以採用以上公式，其中，S0等於遠期或期貨的現值，σ是遠期或者期貨價格的波動率。
表E-1給出了期權所對應的希臘值，N′（x）代表正態分佈密度函數，其公式為
期權的隱含波動率的定義為使得布萊克-斯科爾斯-默頓模型給出的期權價格等於市場價格的波動性（見第10.2節），即σ為隱含波動率。
表E-1 資產的收益率為q的期權的希臘值
【例E-1】 我們考慮一個6個月期的歐式股指期權，股指的當前價格為1 200，期權執行價格為1 250，無風險利率為5%。股指的股息率為2%，股指的波動率為0.2，這時S0=1 200，K=1 250，r=0.05，q=0.02，σ=0.2，T=0.5，期權價格為53.44，期權的delta為0.45，gamma為0.002 3，theta為-0.22，vega為3.33，rho為2.44，注意表E-1給出的theta的時間單位為每年，我們這裡計算出的theta對應於日曆天。
以上計算可以用RMFI軟件實現，這一軟件可在作者的網頁上下載，在計算中選擇“期權類型：布萊克-斯科爾斯歐式期權”（Option Type：Black-Scholes European），在赫爾（2018）的著作中有關於期權定價更詳細的描述。[1]
[1] See J. C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 10th ed. (Upper Saddle River, NJ: Pearson, 2018).