e1 John Hull 風險管理與金融機構 v5
練習題
11.1 假定變量之間相關係數已知，你還進一步需要什麼樣的信息來計算協方差？
11.2 相關係數與關聯的不同之處是什麼？假定y=x2，x服從正態分佈，期望值為0，標準差為1，x與y之間的相關係數為多少？
11.3 什麼是因子模型？為什麼可以採用因子模型來描述大量變量之間的相關性？
11.4 矩陣半正定的含義是什麼？一個相關係數矩陣不滿足半正定條件的後果是什麼？
11.5 假定資產A和B的日波動率分別為1.6%和2.5%，資產A和B在上個交易日末的價格為20美元和40美元，該日資產回報相關係數的估計值為0.25，EWMA模型中的λ參數為0.95：（a）計算資產之間當前的協方差；（b）假定在今天交易結束時，資產價格分別為20.50美元和40.50美元，相關係數的最新估計為多少？
11.6 假定資產X和Y的當前日波動率分別為1.0%和1.2%，上個交易日結束時資產價格分別為30美元和50美元，資產回報的相關係數為0.5。在這裡我們採用GARCH（1，1）模型來計算更新相關係數及波動率，GARCH（1，1）模型中的參數估計為α=0.04及β=0.94，在相關係數估計中採用ω=0.000 001，在波動率估計中採用ω=0.000 003，假如在今天交易結束時，資產價格分別為31美元和51美元，相關係數的最新估計為多少？
11.7 假定在練習題10.15中，標準普爾500指數（以美元計）與富時100指數（以英鎊計）的相關係數為0.7，標準普爾500指數（以美元計）與美元/英鎊的匯率的相關係數為0.3，標準普爾500指數的日波動率為1.6%，將富時100指數轉換為美元后與標準普爾500指數的相關係數為多少？（提示：對於3個變量X、Y和Z，X+Y同Z的協方差等於X與Z的協方差加上Y與Z的協方差）。
11.8 假定兩個變量V1和V2服從均勻分佈，此分佈中的數值介於0與1之間，並且所有數值有均等出現的概率。採用高斯Copula函數來定義V1和V2的相關性結構，在這裡Copula相關係數為0.3。將V1和V2的數值分別設定0.25、0.5和0.75，請製作類似於表11-5的表格（在作者的網頁www-2.rotman.utoronto.ca/~hull/riskman中，讀者可以下載計算二元正態分佈的計算表）。
11.9 假定你有3個相互獨立並服從正態分佈的變量z1、z2、z3，你想將這3組變量由Cholesky分解來產生服從三元正態分佈的隨機變量ε1、ε2、ε3，請求出由z1、z2、z3及變量之間的相關係數組成的ε1、ε2、ε3的表達式。
11.10 尾部相關的含義是什麼？如何採用不同的Copula函數來改變尾部相關性？
11.11 假定V1和V2的邊際分佈均為標準正態分佈，請採用自由度為4、相關係數為0.5的學生t-Copula來定義變量之間的相關性，並構造圖表來顯示聯合分佈的抽樣值。
11.12 在表11-5中，在V1<0.1條件下，V2的概率密度函數是什麼？請將這一密度函數同V2無條件分佈進行比較。
11.13 在表11-3及表11-4中，假定V1=0.2，此時V2分佈的中位數為多少？
11.14 假定銀行有一筆大數量的貸款，每筆貸款每年的違約概率為1.5%，違約時的回收率為30%，銀行採用高斯Copula來模擬違約時間。請使用Vasicek模型來估計99.5%置信度下的違約率。假設Copula相關係數為0.2。
11.15 如果過去10年間一個消費貸款組合的違約率為1%、9%、2%、3%、5%、1%、6%、7%、4%和1%。Vasicek模型中參數的最大似然估計是多少？